湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高一数学上学期第一次质量检测试题（Word版附解析）

南雅中学2023年下期高一第一次质量检测数学一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.)1.下列各组对象可构成一个集合的是（）A.与10非常接近的数B.本班视力差的女生C.中国漂亮的工艺品D.我校学生中的女生【答案】D【解析】【分析】根据集合的性质判断即可.【详解】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性.故选：D2.已知集合，集合，则集合的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】C【解析】【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，再求，根据元素个数判断真子集个数.【详解】不等式，解得，又，得，集合，得集合，则集合的真子集个数为.故选：C.3.某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A.27B.23C.15D.7【答案】B【解析】【分析】由题意，结合韦恩图可求解【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为,参加田赛项目的学生组成的集合为，参加径赛项目的学生组成的集合为 由题意集合有15个元素，有20个元素，中有8个元素所以有个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为故选：B4.若，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式，积定和最小，凑积为定值，即可求出．【详解】因为，所以，∴（当且仅当时，等号成立），所以，的最小值为．故选：B．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．5.下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）A.至少有一个，使得成立B.菱形的两条对角线长度相等C.，D.对任意，，都有【答案】D【解析】【分析】由定义选择全称量词命题，再判断真假.【详解】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误，对任意，，都有，即，D选项正确.故选：D6.下列说法中，错误的是（）A.若，，则B.若，则C.若，，则D.若，，则 【答案】A【解析】【分析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B，，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果.【详解】对A，取，所以，故错误；对B，由，，所以，故正确；对C,，由，，所以，所以，故正确；对D，由，所以，又，所以故选：A7.设集合A＝｛x|＜0，B＝｛x||x－1|＜a，则“a＝1”是“A∩B≠”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【详解】由题意得A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|1－a<x<a＋1}．①当a＝1时，B＝{x|0<x<2}，则A∩B＝{x|0<x<1}≠∅成立，即充分性成立．②若a＝，则A∩B＝{x|－1<x<1}∩≠∅，故必要性不成立．综合得“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分不必要条件，故选A.8.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9.下列关系式中正确的是（）A.B.ÜC.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据元素与集合的关系、空集的概念逐个判断即可.【详解】对A，元素0是集合中的元素，故，故A正确；对B，是任何非空集合的真子集，故B正确；对C，是自己本身的子集，故成立，故C正确；对D，不是中的元素，故D错误.故选：ABC10.图中矩形表示集合是的两个子集，则阴影部分可以表示为（）A.B. C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据阴影部分不在集合A中，在集合B中可得答案,【详解】根据图形可得阴影部分不在集合A中，在集合B中，即阴影部分可以表示为故选：BC11.下列命题为真命题的是（）A.若，且，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AD【解析】【分析】A选项，作差法得到，结合，得到结论；B选项，可举出反例；CD选项，作差法比较大小.【详解】对于A，，又，故，A正确；对于B，不妨设，则，故B错误.对于C，，∵，∴，，，∴，∴，所以C错误.对于D，，∵，∴，，∴，∴，所以D正确.故选：AD12.设正实数满足，则（） A.的最大值是B.的最小值为9C.的最小值为D.的最大值为2【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A，∵，∴，当且仅当时，即，时等号成立，故A正确；对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误．故选：ABC．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知命题，使得，则为___________.【答案】【解析】【分析】由存在量词命题的否定求解即可【详解】命题，使得，则为，故答案为： 14.在R上定义运算，则满足的实数x的取值范围是____________【答案】【解析】【分析】由新定义转化条件，解一元二次不等式即可得解.【详解】由题意，，即，解得，所以实数x的取值范围是.故答案为：.15.若实数，满足且，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】先计算出，从而得到.【详解】设，即，故，解得，所以，故，，故，即故答案为：16.已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是_________；【答案】 【解析】【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合对进行分类讨论，分，和三种情况，求出符合要求的实数a的取值范围.【详解】可变形为，因为，所以，其中，当时，开口朝下，不合题意；当时，，解得：，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去；当时，开口朝上，因为，所以不等式解集为，此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2，则必有，所以，结合，所以，所以，综上：故答案为：.四、解答题(本题共6小题，共70分，第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.集合．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】化简集合B,根据集合交并补运算直接求解. 【小问1详解】由得,所以,因为,所以.【小问2详解】因为或，所以.18.已知集合，或.（1）当时，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出或，从而求出交集；（2）根据题意得到是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围.【小问1详解】时，或，故或=【小问2详解】是的充分不必要条件，故是的真子集，因为，故要满足是的真子集，则或，解得：或故实数的取值范围是.19.求下列函数的最值（1）求函数的最小值. （2）若正数，满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）化为，再根据基本不等式可求出结果；（2）化为，再根据基本不等式可求出结果.【详解】（1），当且仅当即时等号成立，故函数的最小值为.（2）由得，则，当且仅当,即，时等号成立，故的最小值为5.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20.对平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义：如果，那么称点是点的“上位点”，同时称点是点的“下位点”．（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）设a，b，c，d均为正数，且点是点的“上位点”，请判断点是否既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为（答案不唯一，正确即可）（2）是，证明见解析【解析】【分析】（1）由已知“上位点”和“下位点”的定义，可得出点（3，5）的一个“上位点”的坐标为（3，4），一个“下位点”的坐标为（3，7）；（2）由点是点的“上位点”得出,然后利用作差法得出与的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论.【小问1详解】解：由题意，可知点的一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为．（答案不唯一，正确即可）【小问2详解】解：点既是点的下位点，又是点的“上位点”，证明如下：∵点是点的“上位点”，∴，又a，b，c，d均为正数，∴，∵，∴是点的“下位点”，∵，∴是点的“上位点”，综上，既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．21.设．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式． 【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论和两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数的取值范围；（2）按，和三种情况分类讨论，当，比较和1的大小，分情况写出不等式的解集．【小问1详解】由得，恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意；当时，满足，即，解得；故实数的取值范围是．小问2详解】不等式，等价于．当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为或；③当时，，不等式的解集为或.综上：当时，等式的解集为或 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.22.此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为万元.（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?（2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）75人；（2）存在，m的范围为.【解析】【分析】（1）求出对应的100-x名研发人员的年总投入，建立方程关系进行求解即可；（2）根据条件①②建立不等式利用参数分离法转化求最值问题即可．【详解】（1）由题意得：，解得，所以调整后的技术人员的人数最多75人.（2）由技术人员年人均投入不减少得（ⅰ），得，由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入得（ⅱ），两边除以ax得，整理得，故有 ，，当且仅当时取等号，，又因为，当时，令取得最大值7，，，即存在这样的m满足条件，其范围为.