湖南省 2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

绝密★启用前高一数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为，又，所以.故选：B2.已知命题：，，则命题的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定求得结果.【详解】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，则命题的否定为“，”.故选：C.3.“”是“”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】举反例说明充分性不成立，再说明必要性成立，即可判断.【详解】由不能推出，比如，但，所以充分性不成立；反过来，由可得，所以必要性成立.所以“”是“”必要不充分条件.故选：B4.如图所示的Venn图中，集合，，则阴影部分表示的集合是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，再结合交集、并集、补集的定义得出结果.【详解】由已知得，，令，，则阴影部分表示的集合是.故选：D.5.若，，且，，则（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，求出，或，结合，得到正确答案. 【详解】因为，，所以，又因为，所以或，因为，所以不合要求，所以，综上：.故选：B6.某汽车制造厂建造了一个高科技自动化生产车间，据市场分析这个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行（）年时，其产出的年平均利润最大．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据图象可求得二次函数解析式，由此可得，根据基本不等式取等条件可求得结果.【详解】由题意可设：，由图象可知：当时，，解得：，，（当且仅当时取等号），当车间运行年时，其产出的年平均利润最大.故选：B. 7.已知函数的最小值为2，且图象关于直线对称，若当时，的最大值为6，则的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的对称轴公式以及顶点坐标求解，再令进行求解即可.【详解】由图象关于直线对称，可得，，所以.因为的最小值为2，所以，可得，故.令，解得或.所以最小为，最大为3，则的最大值为4.故选：D.8.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式恒成立以及基本不等式“1”的妙用求得结果.【详解】已知，，，当且仅当且时取等号，即，时取等号，所以，由恒成立可得，即，解得. 故实数的取值范围为.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知非空集合都是的子集，满足，，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义及性质判断各选项.【详解】对于A，由可得，故A正确；对于B，由，可得，从而，故B正确；对于C、D，结合与，可知，又，所以，故C错误，D正确.故选：ABD.10.若，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质，作差与0比较大小即可得出结果.【详解】对于A，因为，所以，则，则故选项A错误；对于B，因为，所以，则，则选项B正确；对于C，因为，所以，则，故选项C正确；对于D，因为，所以，则，故选项D错误， 故选：BC.11.已知关于x的不等式的解集为或，则（）A.B.C.不等式的解集为D.不等式的解集为【答案】BC【解析】【分析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且，对四个选项逐个求解或判断即可.【详解】因为关于的不等式解集为或，所以和是方程的两个实根，对应的二次函数图像开口向下且，故A错误；所以，，所以，因为，又，所以，故B正确；不等式可化为，因为，所以，故C正确；不等式可化为，又，所以，即，解得，故D错误.故选：BC.12.已知，，且，则()A.B.的取值可以为10C当且仅当，时，取得最小值16D当且仅当，时，取得最小值36【答案】CD 【解析】【分析】将两边同时除以xy可得，由此可判断A；，结合基本不等式可判断B；，结合基本不等式可判断C；，结合基本不等式得到关于的不等式，由此即可判断D．【详解】．故，故A错误；，当且仅当，即x＝y＝10时等号成立，故B错误；，当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；，当且仅当，即，时等号成立，故D正确．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线的顶点坐标为______.【答案】【解析】 【分析】利用配方法得出二次函数的顶点坐标.【详解】因为，故抛物线的顶点坐标为.故答案为：.14.给出一个能够说明命题“，”为假命题的数：______．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】根据不等式写出一个答案即可.【详解】当时，，不满足，故答案为：（答案不唯一）15.已知，，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意可得Ü，从而可求出m的取值范围【详解】因为q是p的必要不充分条件，所以Ü，所以，因此．故答案为：16.已知集合，，则集合B中的元素个数为______．【答案】13【解析】【分析】由题列举出集合B，即得.【详解】将x，y及的值列表如下，去掉重复的值，可知集合中的元素个数为13．12346 11234621233124161故答案为：13四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设集合，．（1）若，求，；（2）设，若集合C有8个子集，求a的取值集合．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）解方程得、，应用集合的交并运算求结果；（2）由题设集合C有3个元素，讨论、满足题设情况下的取值，即可得结果.【小问1详解】由题设，，所以，.【小问2详解】由，且集合C有8个子集，故集合C有3个元素，当时，此时或满足题设；当时，满足题设；综上，. 18.已知关于x的不等式．（1）若此不等式的解集为，求a，b的值；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1），（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，和1是方程的两个实数根，利用根与系数关系可得结果；（2）由题意可得，分类讨论可得不等式的解集.【小问1详解】由题意可得，和1是方程的两个实数根，所以，解得，，【小问2详解】∵，∴，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19.已知一个二次函数当时取得最小值，且其图象过点.（1）求此函数的图象与轴的交点坐标；（2）当时，求此函数的最大值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）设二次函数为顶点式，利用待定系数法求得解析式，再令求得结果.（2）根据二次函数的单调性求得结果. 【小问1详解】因为二次函数当时取得最小值，所以可设其解析式为()，即（），又因为函数图象过点，所以，得，所以函数为.令，得，，所以此函数的图象与轴的交点坐标为.【小问2详解】函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，故当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，当时，，当时，，故当时，函数的最大值5.20.（1）设，，，均为正数，且，证明：；（2）已知，且，比较和的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；（2）利用作差法比较大小.【详解】（1），，由，，得，所以.（2）因为，且，所以 ，所以.21.LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）（2）当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．【解析】【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分和即可求出L(x)的解析式；(2)根据二次函数和基本不等式分别求出L(x)在和时的最大值，比较即可得到答案．【小问1详解】∵每件产品售价为6元，∴万件产品的销售收入为万元，依题意得，当时，，当时，． ∴【小问2详解】当时，，当时，取得最大值．当时，，当且仅当，即时，取得最大值15．∵，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．22.已知函数，其中，，.（1）若且，设此函数图象与轴的两个交点间的距离为，求的取值范围；（2）若且不等式的解集为，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知结合不等式性质可得且，再求出时的方程二根即可得解.（2）由已知结合一元二次不等式的解集规律可得且，再结合不等式性质消元，借助基本不等式求解即得.【小问1详解】由且，得，即，，显然，即，则，即，由，得方程的一个根为1，则另一个实根，因此函数的图象与轴的两个交点间的距离，所以的取值范围为.【小问2详解】 因为的解集为，显然，否则，不等式的解集为，矛盾，于是且，则且，因此，令，则，当且仅当，即，也即时取等号，