四川省射洪中学2024届高三数学（文）上学期10月月考试题（PDF版附答案）

射洪中学高2021级高三上期10月月考数学(文科)试题命题人：杨勇审题人：龚旻时间：120分钟满分：150分第I卷(选择题共60分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上。x1.命题“∀x∈R，e+2>0”的否定是()x0xA.∃x0∈R，e+2≤0B.∀x∈R，e+2≤0x0x0C.∃x0∈R，e+2>0D.∀x0∈R，e+2<01+i2.已知a+bi(a,b∈R)是的共轭复数，则a+b=()1-i11A.-1B.-C.D.12223.已知集合A=xx-4x≤0，B=xx=2n-1，n∈N，则A∩B的子集个数为()A.2B.4C.8D.164.“cosα=cosβ”是“α=β+2kπ，k∈Z”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列函数中，既是奇函数又在0，+∞上单调递增的为()A.y=tanxB.y=ln1+x-ln1-xx−xC.y=e−eD.y=x高三文科第1页共4页 6.已知函数f(x)在区间[-2，2]上的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()y12112x1x-xx-xA.f(x)=e-exB.f(x)=e-esinxx-x2x-xC.f(x)=e-exD.f(x)=e-ecosx7.2021年10月16日，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻天和核心舱，中国空间站开启有人长期驻留时代，而中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式Δv=m0veln，其中Δv为火箭的速度增量，ve为喷流相对于火箭的速度，m0和m1分别代表发动机开启和关闭m1m0时火箭的质量.在未来，假设人类设计的某火箭ve达到5公里/秒，从100提高到200，则速度增量Δvm1增加的百分比约为(参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6)()A.13%B.15%C.17%D.19%8.已知函数fx=Asin4x+φ(0<φ<π)的图象与y轴交点的坐标为0，3，且图象关于直线x=π-对称，将fx图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的4倍，得到函数gx的图象，则24gx在区间0，π6上的最小值为()A.1B.2C.3D.2x9.已知函数f(x)=，g(x)=lnx，若直线y=t与fx和gx的图象分别交于点M，N，则MN的最小值2为()A.2−2ln2B.1C.2−ln2D.22π310.已知△ABC中，若A=，c=2，△ABC的面积为，D为边BC的中点，则AD的长度为()3232A.3B.2C.D.2311.已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=()A.25B.0C.2D.1lnxx12.已知函数fx=，gx=，若fm=gn<0，则mn的最小值为()xxe11A.-1B.1C.-D.ee高三文科第2页共4页 第II卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.23x13.函数f(x)=+ln(x+1)的定义域为.1-xπ14.已知锐角α满足tanπ+α=2，则cos2-α=．π32π15.已知cosα−6−sinα=5，则sinα+3=.16.给出下列命题：对于定义在R上的函数fx，有下述结论.①若fx+1=fx-1，则fx的周期为2；②若fx是奇函数，则fx-1的图象关于点A−1,0对称；129③若函数fx满足fx+f1-x=4，则f10+f10+⋯+f10=18；x④若关于x的方程2−1−m=0有两解，则实数m的取值范围是0，1．其中所有正确结论的序号为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.本小题12分x-(a+1)已知集合A=x-3<x≤2，函数g(x)=的定义域为集合B．x-a(1)当a=1时，求A∩B；(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.本小题12分在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a=1，b=2.π(1)若B=，求角A的大小；4π(2)若A=，求△ABC的面积.4高三文科第3页共4页 19.本小题12分32设x=-3是函数fx=ax+bx-3x+c的一个极值点，曲线y=fx在x=1处的切线斜率为8.(1)求fx的单调区间；(2)若fx在闭区间-1，1上的最大值为10，求c的值.20.本小题12分ππ已知函数fx=2cosx+4cosx-4+23sinxcosx+1．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且fC=3,c=1，求△ABC的周长最大值．21.本小题12分x已知函数fx=xe.(1)求fx过原点的切线方程；x(2)已知对任意的x≥0，都有不等式fx-e-ax+1≥2sinx恒成立，求实数a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.本小题10分3在平面直角坐标系xOy中，曲线C的极坐标方程是ρ=，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建2-cosθ立极坐标系．(1)求曲线C的普通方程；11(2)若点A,B在曲线C上，且∠AOB=90°，求+的最大值．OAOB[选修4-5：不等式选讲]23.本小题10分已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)求不等式f(x)<3的解集；22(2)若f(x)的最小值为a+3b，求a+b的最小值.高三文科第4页共4页 射洪中学高2021级高三上期10月月考数学(文科)试题参考答案1.【答案】A2.【答案】A21+i1+i2i【解析】===i，其共轭复数为-i，所以a=0，b=-1，1-i1-i1+i1-i2则a+b=-1.3.【答案】B【解析】A=x0≤x≤4，B=-1，1,3,5⋯，则A∩B=1，3，2则A∩B的子集个数为2=4个.4.【答案】B【解析】α=10°，β=-10°，则cosα=cosβ，但不满足α=β+2kπ，k∈Z，故充分性不具备；必要性：cosα=cosβ+2kπ=cosβ，故必要性具备.5.【答案】C【解析】因为y=x是偶函数，故排除D，πy=tanx，定义域为x|x≠kπ+2，故排除A，2B，C均为奇函数，但是y=ln1+x-ln1-x=ln1-x在0,+∞上单调递减，x−xy=e−e在0,+∞上单调递增.6.【答案】D【解析】由图象可知f(x)为奇函数，故排除A，B，由图象f2<0，对于C，D分别有f2>0，f2<0.7.【答案】Bm0m0【解析】当=100时，Δv=5ln100，当=200时，Δv=5ln200，m1m1Δv增加的量为5ln200-5ln100，5ln200-5ln100ln2+ln100-ln100ln20.7增加的百分比约为==≈≈15%.5ln1002ln2+ln52ln2+ln52×2.3文科答案第1页共8页 8.【答案】A【解析】函数fx的图象与y轴交点的坐标为0,3，所以f0=Asinφ=3，πππ2π图象关于直线x=-对称，所以-+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，246232π2π当k=0时，φ=3，所以A=2，即fx=2sin4x+3，2π故gx=2sinx+3，π2π2π5π∵0≤x≤，∴≤x+≤，6336π5π∴gx的最小值为g6=2sin6=1.9.【答案】Ax【解析】t=，t=lnx，2ttMN=2t-e=e-2t，tt记ht=e-2t，，则ht=e-2，令ht>0解得t>ln2，所以ht在0，ln2上单调递减，在ln2，+∞单调递增，故ht的最小值为hln2=2-2ln2.10.【答案】CC【解析】DAB312π3∵△ABC的面积为，∴×2×AC×sin=，所以AC=1，223211由向量知识可得AD=AC+AB，22212121112π3故AD=AC+AB+AC∙AB=+1+×1×2×cos=，44242343故AD=.211.【答案】D【解析】由f(1-x)=f(1+x)可得f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,所以f(x)的图象关于0，0对称，且f0=0，文科答案第2页共8页 故fx的一个周期为4，f2=f0=0，f3=f-1=-f1=-1，f4=f0=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)+f(2)=1.12.【答案】C1-lnx【解析】fx=，所以fx在0，1单调递减，在1，+∞单调递增，2xxxlnexgx==x=x=fe，ee所以若存在m，n使得fm=gn<0，nn则0<m<1且fm=gn=fe，所以m=en<0，n所以mn=ne，xx构造函数hx=xex<0，hx=x+1e，易得hx在-1，0单调递增，在-∞，-1单调递减，1所以hx=h-1=-.mine13.【答案】(-1,1)1-x>0【解析】，解得-1<x<1，即(-1,1)x+1>02514.【答案】5sinα【解析】因为锐角α满足tanπ+α=2=tanα，即=2，cosα1可得cosα=sinα，22221225所以sinα+cosα=sinα+sinα=1，解得sinα=，45π2525则cos2-α==sinα=5．故答案为：5．π32π15.已知cosα−6−sinα=5，则sinα+3=.3【答案】5313【解析】由题意得cosα+sinα-sinα=，225313即cosα-sinα=，2251332π3所以sinα×-2+cosα×2=5，即sinα+3=5.文科答案第3页共8页 16.【答案】①③④【解析】①：∵fx+1=fx-1，∴fx+2=fx，故周期为2，正确；②∵fx是奇函数，∴fx的图象关于0，0对称，而fx的图象右移1个单位得到fx-1的图象，即0，0右移1个单位得到1，0，错误；③fx+f1-x=4中x+1-x=1，所以有：19283746f10+f10=4，f10+f10=4，f10+f10=4，f10+f10=4，555又f10+f10=4，即f10=2，129所以f10+f10+⋯+f10=18，正确；④由下图可得m∈0，1，正确.yy=1Ox17.【答案】(1)A∩B=-3,1∪2，(2)-∞,-4∪2,+∞x-(a+1)x-2【解析】1当a=1时，g(x)==，x-ax-1x-2由题意≥0，解得x<1或x≥2，x-1所以B={x|x<1或x≥2}，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又A=x|-3<x≤2，所以A∩B=-3,1∪2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分x-(a+1)(x-a)[x-(a+1)]≥02由题意≥0，即，解得：x≥a+1或x<a，x-ax-a≠0所以B={x|x≥a+1或x<a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因为p是q的充分不必要条件，所以，集合A是集合B的真子集，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分所以a>2或a+1≤-3，解得a>2或a≤-4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分故实数a的取值范围-∞,-4∪2,+∞．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分文科答案第4页共8页 π118.【答案】(1)，(2)62asinB1【解析】(1)由正弦定理得：sinA==，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分b2π5π∵0<A<π，∴A=或，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分665π当A=时，此时A+B>π，65ππ所以A=舍去，所以A=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分66222(2)法1：由余弦定理可得BC=AB+AC-2AB∙ACcosA222即1=AB+2-22AB∙，即AB-2AB+1=0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分2解得AB=1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分11所以△ABC的面积为×1×2×sinA=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分22法2：通过正弦定理解决1119.【答案】(1)单调递增区间是-∞,-3和3,+∞，单调递减区间是-3,3，(2)42【解析】(1)fx=3ax+2bx-3，f-3=027a-6b-3=0由已知得，得，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分f1=83a+2b-3=8解得a=1,b=4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分2于是fx=3x+8x-3=x+33x-1，1由fx>0，得x<-3或x>，31由fx<0，得-3<x<，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分3可知x=-3是函数fx的极大值点，a=1,b=4符合题意，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分11所以fx的单调递增区间是-∞,-3和3,+∞，单调递减区间是-3,3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分32(2)由(1)知fx=x+4x-3x+c，因为fx在区间-1,1上是单调递减函数，在1,133上是单调递增函数，又f1=2+c<f-1=6+c，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分所以fx的最大值为f-1=6+c=10，解得c=4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分文科答案第5页共8页 ππ20.【答案】(1)-3+kπ,6+kπ(k∈Z)；(2)6+2+1.【解析】(1)依题意：22f(x)=2×cosx-sinx×cosx+sinx+3sin2x+12222=cosx-sinx+3sin2x+1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分=cos2x+3sin2x+1π=2sin2x+6+1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分πππππ由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z得：-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z，26236ππ所以函数f(x)的单调递增区间是-3+kπ,6+kπ(k∈Z).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分ππ(2)由(1)知，f(C)=2sin2C+6+1=3，即sin2C+6=1，而C∈0,π，ππ13ππππ则2C+6∈6,6，于是2C+6=2，解得C=6，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分2222由余弦定理有c=a+b-2abcosC，即1=(a+b)-(2+3)ab，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分a+b2222+32由ab≤2，可得1=(a+b)-(2+3)ab≥a+b-4a+b，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2-324即a+b≤1，所以a+b≤=6+2.42-3所以△ABC的周长的最大值为6+2+1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21.【答案】(1)y=x，(2)(-∞,-2]x【解析】(1)因为x∈R,fx=x+1e，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分x0设切点为x0,x0e，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分x0x0x0所以切线斜率为x0+1e，切线方程为y-x0e=x0+1ex-x0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分将点0,0代入切线方程解得x0=0，故切线方程为y=x；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分文科答案第6页共8页 xx(2)令gx=fx-e-ax+1-2sinx=x-1e-ax-2sinx+1,x∈0,+∞，则原不等式即为gx≥0，又gx=xex-a-2cosx，且g0=-a-2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分若a≤-2时，则-a≥2,xx∴gx=x-1e-ax-2sinx+1≥x-1e+2x-2sinx+1，再令hx=x-1ex+2x-2sinx+1,∴hx=ex⋅x+2-2cosx且h0=0，x因为x≥0，xe≥0，而2-2cosx≥0，故hx≥0(当且仅当x=0时等号成立)，所以hx在0,+∞上为增函数，所以hx≥h0=0，x此时不等式gx≥0恒成立即fx-e-ax+1≥2sinx恒成立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分当a>-2时，-a<2，则g0=-a-2<0，设tx=g(x)=xex-a-2cosx,tx=(x+1)ex+2sinx，ππ则当x∈0,2时，有tx>0即gx在0,2上单调递增，ππ若g2<0，则∀x∈0,2，有gx<0恒成立，π故g(x)在0,2上单调递减，故g(x)<g(0)=0，不合题意；若gπ≥0，则存在s∈0,πs=0，22，使得g故∀x∈0,s，，有gx<0恒成立，故g(x)在0,s上单调递减，故g(x)<g(0)=0，不合题意；综合上述，实数a的取值范围为(-∞,-2].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分224+222.【答案】(1)3x+4y-6x=9，(2)33【解析】(1)由题意得，ρ=2-cosθ22则：2ρ=ρcosθ+3，平方得4ρ=(ρcosθ+3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分222把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入方程得4x+4y=x+3，22化简即得曲线C的普通方程为3x+4y-6x=9；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分π(2)由条件∠AOB=90°，不妨设Aρ1，θ,Bρ2，θ+2，文科答案第7页共8页 333所以ρ1=，ρ2==，2-cosθπ2+sinθ2-cosθ+2π11114-cosθ-sinθ4-2cosθ+44+2即+=+==≤，OAOBρ1ρ2333π当cosθ+4=-1时等号成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分π当Aρ1,θ,Bρ2,θ-2时，333同上易得ρ1=,ρ2==，2-cosθπ2-sinθ2-cosθ-2π114-cosθ+sinθ4-2cosθ-44+2+==≤，OAOB333π当cosθ-4=-1时等号成立．114+2综上，所以+最大值为.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分OAOB3123.【答案】(1)0，3，(2)102x-3,x>2【解析】(1)fx=x-1+x-2=1,1≤x≤2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分3-2x,x<1当x>2时，不等式fx<3可化为2x-3<3，解得x<3，所以2<x<3；当1≤x≤2时，不等式fx=1<3，所以1≤x≤2；当x<1时，不等式fx<3可化为3-2x<3，解得x>0，所以0<x<1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分综上，不等式fx<3的解集为0,3；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)由绝对值三角不等式可得fx=x-1+x-2≥x-1-x-2=1，当且仅当x-1x-2≤0，即1≤x≤2时，等号成立，故a+3b=1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分22222221由柯西不等式可得1+3a+b≥a+3b=1，即a+b≥，101ba=a=10当且仅当3时，即当时，等号成立，a+3b=1b=310221故a+b的最小值为10⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分文科答案第8页共8页