江苏省扬州中学2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题（PDF版附答案）

高三数学10月考试一、单选题1.sin1050（）11A.B.2233C.D.22x22.已知集合Ax210，Bxx2x30，则AB（）A.0,3B.0,1C.3,D.1,3.已知fx()x4，则fx()（）11A.x4B.2x4C.D.x42x4π4.已知函数fxaxsinxaR，则“a1”是“fx在区间,上单调递增”的（）2A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移ym和时间ts的函数关系为ysint0,π，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t30t1t2t3，且t1t22，t2t35，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（）124A.sB.sC.1sD.s333π47π6.已知为锐角，若cos，则sin2的值为（）6512第1页/共4页学科网（北京）股份有限公司 272172312A.B.C.D.101050507.已知函数fx()cosx，函数gx()的图象可以由函数fx()的图象先向右平移个单位长度，再将所得613函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(0)倍得到，若函数gx()在(,)上没有零点，则22的取值范围是（）448488A.(0,]B.[,]C.(,]D.(0,]9999998.已知函数fx()及其导函数fx的定义域均为R，且满足fx()2f(6x)，fx()2f(4x)，18f(3)1，若gx()f(3x)5，则gk（）k1A.18B.20C.88D.90二、多选题9.下列求解结果正确的是（）633A.243322B.2lg2lg5lg20lg2lg50lg256C.不等式x1x20的解集为1,sin11cos1D.若，则cos12sin210.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（）A.若sinAsinB，则ABB.若tanAtanBtanC0，则ABC是锐角三角形C.若a10，b8，A60，则符合条件的ABC有两个D.对任意ABC，都有cosAcosB011.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为xxfxaebe（其中a，b是非零常数，无理数e2.71828），对于函数fx以下结论正确的是（）A.ab是函数fx为偶函数的充分不必要条件；第2页/共4页学科网（北京）股份有限公司 B.ab0是函数fx为奇函数的充要条件；C.如果ab0，那么fx为单调函数；D.如果ab0，那么函数fx存在极值点.12.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinAsinsinBC，则下列说法正确的是（）222bca12A.tanA2B.SABCa2a2sinBsinC24C.有最大值D.abcsinCsinB5三、填空题213.若函数fx=(lgxmx1)的值域为R，则实数m的取值范围是________________．xx14.定义在R上的奇函数fx，当x0时，fx()2a2，当x0时，fx________．15.已知lgalgblgclgblgclgaabc5，abc2，则abc的值为___________.16.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b3，sinAasinB23，则ABC周长的取值范围为______.四、解答题17.已知x0，y0，且x2y1．（1）求xy的最大值；21（2）求的最小值．xyxae18.已知函数fx为奇函数.x1e（1）求a的值；22（2）若存在实数t，使得ft2tf2tk0成立，求k的取值范围.19.在①2sinAsinB2sinCcosB，②acsinAsinCsinBab，③1S△ABCcasinAbsinBcsinC这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．2问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．（1）求角C；第3页/共4页学科网（北京）股份有限公司 （2）若c2，求2ab的取值范围．20.已知函数fx2asinxcosx2sin2bx2，（aR，bR）1π（1）若a1，b0，证明：函数gxfx在区间0,上有且仅有1个零点；24（2）若对于任意的xR，fx0恒成立，求ab的最大值和最小值.21.铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，OAOC,就是一个合页的抽象图，AOC可以在0,π上变化，其中OC2OA8cm，正常把合页安装在家具π门上时，AOC的变化范围是,π，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不2受影响，在以AC为边长的正三角形ABC区域内不能有障碍物.π（1）若AOC使，求OB的长；2（2）当AOC为多少时，△OBC面积取得最大值？最大值是多少？sinx22.已知函数fx()ax．2cosx（1）当a1时，讨论fx()的单调性；（2）若x0都有fx()0，求a的取值范围第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司 高三数学10月考试一、单选题1.sin1050（）11A.B.2233C.D.22【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果.1【详解】sin1050sin336030sin30.2故选：B【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题.x22.已知集合Ax210，Bxx2x30，则AB（）A.0,3B.0,1C.3,D.1,【答案】B【解析】【分析】先将集合A和集合B化简，再利用集合的交集运算可得答案.【详解】2x10x0，即212由指数函数的单调性可得，x0，Axx0，2由x2x30，解得3x1，Bx3x1，ABx0x10,1.故选：B.3.已知fx()x4，则fx()（）11A.x4B.2x4C.D.x42x4第1页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．1【详解】fxx4x42，111则fxx42．22x4故选：Dπ4.已知函数fxaxsinxaR，则“a1”是“fx在区间,上单调递增”的（）2A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当a1时，fxxsinx，fx1cosx0，∴fx在R上单调递增，故充分性成立，π当fx在,单调递增，∴fxacosx0，即acosx，∴a1，故必要性不成立，2π所以“a1”是“fx在区间,上单调递增”的充分不必要条件.2故选：B5.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移ym和时间ts的函数关系为ysint0,π，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t30t1t2t3，且t1t22，t2t35，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（）第2页/共21页学科网（北京）股份有限公司 124A.sB.sC.1sD.s333【答案】C【解析】2π2π【分析】先根据周期求出，再解不等式sint0.5，得到t的范围即得解.332π2π【详解】因为t1t22，t2t35，t3t1T，所以T3，又T，所以，32π2π则ysint，由y0.5可得sint0.5，33π2π5π所以2kπt2kπ，kZ，63613535313所以3kt3k，kZ，故3k3k1，42π42π42π42π所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.故选：C.π47π6.已知为锐角，若cos，则sin2的值为（）6512272172312A.B.C.D.10105050【答案】D【解析】π4ππ【分析】根据为锐角，cos，得到sin，再利用二倍角公式得到sin2，6563π7πππcos2，然后再由sin2sin2求解.31234ππ2ππ4【详解】Q为锐角，,cos，66365π3sin，65πππ24π2π7sin22sincos，且cos22cos1．366253625第3页/共21页学科网（北京）股份有限公司 7πππ故sin2sin2，1234ππππsin2coscos2sin，343424272312，25225250故选：D．7.已知函数fx()cosx，函数gx()的图象可以由函数fx()的图象先向右平移个单位长度，再将所得613函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(0)倍得到，若函数gx()在(,)上没有零点，则22的取值范围是（）448488A.(0,]B.[,]C.(,]D.(0,]999999【答案】A【解析】【分析】由函数fx()cosx，根据三角函数的图象变换得到gxcosx，令6gxcosx，函零不即可.6【详解】函数fx()cosx，向右平移个单位长度，得ycosx，661再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(0)倍得到gxcosx，6令gxcosx0，6得xk，6212所以xk，33若函数gx()在(,)上没有零点，22T3则需，222第4页/共21页学科网（北京）股份有限公司 2所以2，所以01，3若函数gx()在(,)上有零点，22123则k，23212344当k=0时，得，解得，232931531010当k=1时，得，解得，232933441010综上：函数gx()在(,)上有零点时，或，22939334所以函数gx()在(,)上没有零点，0.224所以的取值范围是(0,].9故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.8.已知函数fx()及其导函数fx的定义域均为R，且满足fx()2f(6x)，fx()2f(4x)，18f(3)1，若gx()f(3x)5，则gk（）k1A.18B.20C.88D.90【答案】B【解析】【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由fx()2f(6x)得fx2f6xf6x，fxf6x①，则fx关于直线x3对称.另外fx()2f(4xfx),()f(4x)2②，则fx关于点2,1对称.所以fx42f4x42fx2f6x22f46xf2xf62xfx8，所以fxfx4，所以fx是周期为4的周期函数.第5页/共21页学科网（北京）股份有限公司 gx()f(3x)5，gx()f(3x)，则g(0)f(3)1，由②，令x2，得2f22,f21.所以g1f21，由②，令x1，得f(1)f(3)2,f(1)2f(3)3；所以g(2)f(1)3，由①，令x4，得f4f21；令x5，得f5f13.由②，令x0，得f(0)f(4)2,f(0)1；令x=1，得f(1)f(5)2,f(1)2f(5)1，则g(3)f(0)1，g4f11；g5f2f21，g6f3f13，以此类推，gx是周期为4的周期函数.18所以gk131141320.k1故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如faxfax，则fx关于直线xa对称；如f2axfx，则fx关于直线xa对称；如faxfax，则fx关于点a,0对称；如faxfax2b，则fx关于点ab,对称.二、多选题9.下列求解结果正确的是（）633A.243322B.2lg2lg5lg20lg2lg50lg256C.不等式x1x20的解集为1,第6页/共21页学科网（北京）股份有限公司 sin11cos1D.若，则cos12sin2【答案】AD【解析】【分析】对于A选项：把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断A选项；对于B选项：利用对数的运算法则化简求值可判断B选项；对于C选项：根据根式的定义域和值域，求不等式的解集可判断C选项；对于D选项：分子和分母同时乘sin,再利用同角三角函数关系化简可判断D选项.111111163363326322【详解】对于A选项：24324324323221511115=23363622222236362033，所以A选项正确；对于B选项：2222lg2lg5lg20lg2lg50lg252lg2lg5lg210lg2lg510lg522lg2lg5lg21lg2lg512lg522lg22lg2lg5lg23lg52lg2lg2lg5lg2lg52lg52lg2lg513，所以B选项错误；对于C选项：因为yx20且x2，当x2时取等号x2则x1x20，即或x2，解得：x1或x2，x10所以不等式x1x20的解集为21,，所以C选项错误；sin1对于D选项：若，则cos1且sin0，cos1222sin1cos1cos1cos1cos1即，sincos1sincos1sincos1sin21cos1所以，所以D选项正确.sin2故选：AD.10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（）A.若sinAsinB，则ABB.若tanAtanBtanC0，则ABC是锐角三角形第7页/共21页学科网（北京）股份有限公司 C.若a10，b8，A60，则符合条件的ABC有两个D.对任意ABC，都有cosAcosB0【答案】ABD【解析】【分析】由正弦定理边角转化可判断A；根据两角和的正切公式结合三角形内角和定理可判断B；由正弦定理及三角形性质可判断C；由三角形内角性质及余弦函数单调性可判断D.ab【详解】对于A选项，由sinAsinB，根据正弦定理得，（r为ABC外接圆半径），即ab，2r2r则AB，故A正确；tanAtanB对于B，tanCtanπABtanAB，1tanAtanB所以tanAtanBtanCtanAtanB1，所以tanAtanBtanCtanCtanAtanB1tanCtanAtanBtanC0，所以tan,tan,tanABC三个数有0个或2个为负数，又因ABC,,最多一个钝角，所以tanA0,tanB0,tanC0，即ABC,,都是锐角，所以ABC一定为锐角三角形，故B正确；3ab8对于C，由正弦定理得，则bsinA223，sinAsinBsinB1a105又ba，则BA60，知满足条件的三角形只有一个，故C错误；对于D，因为ABπ，所以0AπBπ，又函数ycosx在0,π上单调递减所以cosAcosπBcosB，所以cosAcosB0，故D正确；故选：ABD11.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为xxfxaebe（其中a，b是非零常数，无理数e2.71828），对于函数fx以下结论正确的是（）第8页/共21页学科网（北京）股份有限公司 A.ab是函数fx为偶函数的充分不必要条件；B.ab0是函数fx为奇函数的充要条件；C.如果ab0，那么fx为单调函数；D.如果ab0，那么函数fx存在极值点.【答案】BCD【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A，当ab时，函数fx()定义域为R关于原点对称，xxfxaebe=fx，故函数fx()为偶函数；xx当函数fx()为偶函数时，fx()f(x)=0，故abebae0，abe=2xab，又2x即e0，故ab，所以ab是函数fx为偶函数的充要条件，故A错误；对于B，当ab0时，函数fx()定义域为R关于原点对称xxfx()f(x)=abeabe=0，故函数fx为奇函数，xx当函数fx为奇函数时，fx()f(x)=abeabe=0，xx因为e0，e0，故ab0.所以ab0是函数fx为奇函数的充要条件，故B正确；xx对于C，fx=eabe，因为ab0xx若a0,b0，则fx=aebe0恒成立，则fx为单调递增函数，xx若a0,b0则fx=aebe0恒成立，则fx为单调递减函数，故ab0，函数fx为单调函数，故C正确；2xxxaeb对于D，fx=aebe=，xe1b令fx=0得x=ln，又ab0，2a第9页/共21页学科网（北京）股份有限公司 若a0,b0，1b当x,ln，fx0，函数fx为单调递减.2a1b当xln,，f¢(x)>0，函数fx为单调递增.函数fx()存在唯一的极小值.2a若a0,b0，1b当x，ln，f¢(x)>0，函数fx为单调递增.2a1b当xln,，fx0，函数fx为单调递减.故函数fx()存在唯一的极大值.2a所以函数存在极值点，故D正确.故答案为：BCD.12.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinAsinsinBC，则下列说法正确的是（）222bca12A.tanA2B.SABCa2a2sinBsinC24C.有最大D.abcsinCsinB5【答案】BCD【解析】2a【分析】由条件及正弦定理得，bc，再由正、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等sinA知识逐一判断选项即可．2abca【详解】由sinAsinsinBC及正弦定理得：bc，sinAsinBsinCsinA2a2222cosA对于A选项：bca2bccosAsinAcosA，故A错误；tanA2222a2a2asinA211a12对于B选项：SbcsinAsinAa，故B正确；ABC22sinA2222sinBsinCbcbca2bccosA对于C选项：sinCsinBcbbcbc第10页/共21页学科网（北京）股份有限公司 bcsinA2bccosA255sinA2cosA5sin(A)，其中sin,cos，bc55sinBsinC有最大值5，故C正确；sinCsinB对于D选项：因为222abcsinA，bc2bc,当且仅当bc时取等号.222bcasinA所以cosA10，2bc222sinA22两边平方得：cosA1sinA，又cosA1sinA，4化简得：sin(5sinAA4)0，且A(0,π)，sinA(0,1],4解得sinA0,，52abcsinA424所以sinA，即abc成立，故D正确.bcbc55故选：BCD．三、填空题213.若函数fx=(lgxmx1)的值域为R，则实数m的取值范围是________________．【答案】,2U2,【解析】【分析】根据对数函数的值域列不等式，从而求得m的取值范围.2【详解】依题意，函数fx=(lgxmx1)的值域为R，2所以m40，解得m,22,.故答案为：,2U2,xx14.定义在R上的奇函数fx，当x0时，fx()2a2，当x0时，fx________．【答案】2x2x【解析】【分析】先根据奇函数性质求a，然后设x0，利用奇函数定义和已知条件求解可得.00【详解】因为函数fx为奇函数，所以f(0)2a20，解得a1.第11页/共21页学科网（北京）股份有限公司 xx设x0，则x0，所以f(x)22，xx又fx为奇函数，所以fx()f(x)22，xx即当x0时，fx()22.故答案为：2x2x15.已知lgalgblgclgblgclgaabc5，abc2，则abc的值为___________.1【答案】10或10【解析】2【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得lgabc1，由此可求得结果.lgalgblgclgalgblgc222【详解】由abc5得：lgalgblgclgalgblgclg5，由lgblgclgalgalgblgblgclgclgalglgablglgbclglgaclg21lg2，abc2得：22lglgab2lglgbc2lglgaclg2，2222lgalgblgc2lglgab2lglgbc2lglgaclgalgblgc2lgabclg5lg21，1lgabc1或lgabc1，abc10或abc.101故答案为：10或.1016.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b3，sinAasinB23，则ABC周长的取值范围为______.933【答案】,9332【解析】3πππ【分析】由正弦定理及已知可得sinA，结合锐角三角形得A、B，再由正弦边角关系、23629331abc三角恒等变换得22B，即可求范围.tan2ab【详解】由，则asinBbsinA，故sinAbsinA4sinA23，sinAsinB第12页/共21页学科网（北京）股份有限公司 π0B3π2ππ所以sinA，又ABC为锐角三角形，则A，且，则B，232ππ620CB322πabcbsinA333sin(B)33cosB3而，则a，bsinC3，sinAsinBsinCsinB2sinBc2sinB2sinBsinB2B2cos9331cosB93329331所以abc，22sinB22BB22B2sincostan222ππtantanπBππππ34又，且tantan()23，12241234ππ1tantan349331933Babc(,933)所以tan(23,1)，则22B2.2tan2933故答案为：(,933).29331abc【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得22B，再求出tan2角B的范围，利用正切函数的值域即可得到答案.四、解答题17.已知x0，y0，且x2y1（1）求xy的最大值；21（2）求的最小值．xy1【答案】（1）8（2）8【解析】1【分析】（1）由基本不等式得到x2y22xy，从而求出xy；8（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】第13页/共21页学科网（北京）股份有限公司 因为x0，y0，1由基本不等式得x2y22xy，即122xy，解得xy，8111当且仅当x,y时，等号成立，故xy的最大值为；248【小问2详解】因为x0，y0，x2y1，21214yx4yx故x2y4428，xyxyxyxy4yx1121当且仅当，即x,y时，等号成立，故的最小值为8.xy24xyxae18.已知函数fx为奇函数.x1e（1）求a的值；22（2）若存在实数t，使得ft2tf2tk0成立，求k的取值范围.1【答案】（1）1（2）,3【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质f00求解即可.22（2）首先利用根据题意得到ft2tf2tk，利用单调性定义得到fx是R上的减函数，再利用单调性求解即可.【小问1详解】因为fx定义域为R，a1又因为fx为奇函数，所以f00，即0，得a12xxx1e1ee1当a1时，fx，所以fxfx，所以a1xxx1e1ee1【小问2详解】2222ft2tf2tk0可化为ft2tf2tk，22因为fx是奇函数，所以ft2tf2tk第14页/共21页学科网（北京）股份有限公司 x1e2又由（1）知fx1，xx1e1e222ex2ex1设xx1,2R，且x1x2，则fx1fx2x1x2x1x2，1e1e1e1e因为xx，所以ex2ex10，1ex10，1ex20，12所以fx1fx20，即fx1fx2故fx是R上的减函数，所以（*）可化为222t2t2tk.因为存在实数t，使得3t2tk0成立，11所以412k0，解得k.所以k的取值范围为,3319.在①2sinAsinB2sinCcosB，②acsinAsinCsinBab，③1S△ABCcasinAbsinBcsinC这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．2问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．（1）求角C；（2）若c2，求2ab的取值范围．π【答案】（1）3（2）2,4【解析】π【分析】（1）选①利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出C，选②利用正弦定理和余弦定理ππ求出C，选③利用面积公式和余弦定理求出C．334343（2）利用正弦定理得asin,AbsinB，再利用两角差的正弦公式以及角的范围计算求得结33果．【小问1详解】若选①：2sinAsinB2sinCcosB，则2sinBCsinB2sinCcosB，∴2sinBcosC2cossinBCsinB2sinCcosB∴2sinBcosCsinB0第15页/共21页学科网（北京）股份有限公司 ∵B0,π，sinB0，1π∴cosC，∵C0,π，∴C.23若选②：acsinAsinCsinBab，由正弦定理得acacbab，222∴abcab，222abc1∴cosC，2ab2π∵C0,π，∴C．31若选③：S△ABCcasinAbsinBcsinC，211则absinCcasinAbsinBcsniC，2211222由正弦定理得abccabc，22222∴∴abcab，222abc1∴cosC，2ab2π∵C0,π，∴C．3【小问2详解】abc43由正弦定理得，sinAsinBsinC34343asin,AbsinB3383438343π则2absinAsinBsinAsinA，33333π23sinA2cosA4sinA，62πππππ1∵A0,，A,，sinA,1，366262∴2ab2,4.第16页/共21页学科网（北京）股份有限公司 20.已知函数fx2asinxcosx2sin2bx2，（aR，bR）1π（1）若a1，b0，证明：函数gxfx在区间0,上有且仅有1个零点；24（2）若对于任意的xR，fx0恒成立，求ab的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析（2）最小值为2，最大值为1【解析】【分析】（1）代入ab,的值，化简fx，即可求得gx，根据gx单调性即可求解；2（2）令tsinxcosx，问题转化为t2,2时，t2at2bt120，要求ab的最值，则需要a和b的系数相等进行求解.【小问1详解】证明：当a1，b0时，22πfx2sinxcosx222sinxcosx22sinx2，2241π3则gxfx2sinx，2423π1g020，g0，且gx是一个不间断的函数，242πgx在x0,上存在零点，4πππππx0,，x,，∴gx在0,上单调递增44424πgx在0,上有且仅有1个零点.4【小问2详解】π由（1）知，令tsinxcosx2sinx，则t2,2，422∴sin2x2sinxcosxsinxcosx1t1，2∵对于任意的xR，fx0恒成立，∴2at2bt120恒成立.第17页/共21页学科网（北京）股份有限公司 2令t2at2bt12，则t2,2时，t0恒成立.2即2ta2t1b20，22令2t2t1，解得t2或.2当t2时，解得ab1，取a1，b0成立，则t2t22220恒成立，ab1，max2当t时，解得ab2，224244242取a，b成立，则t2tt12t0恒成立.333332ab2，min综上，ab的最小值为2，ab的最大值为1.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：（1）赋值法和换元法的应用；（2）三角函数图像和性质的应用（3）转化化归思想的应用.21.铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，OAOC,就是一个合页的抽象图，AOC可以在0,π上变化，其中OC2OA8cm，正常把合页安装在家具π门上时，AOC的变化范围是,π，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不2受影响，在以AC为边长的正三角形ABC区域内不能有障碍物.π（1）若AOC使，求OB的长；2（2）当AOC为多少时，△OBC面积取得最大值？最大值是多少？第18页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）BO4235cm5π（2）AOC，16163cm36【解析】【分析】（1）根据题意利用三角比可得ACAB45，在OAB中，由余弦定理知222BOAOAB2AOABcosOAB即可得解；2（2）设AOC，ACO，BCACx，利用正余弦定理换算可得x8064cos，2π48xcos，代入整理可得SBOC=16316sina，利用的范围即可得解.16x3【小问1详解】如图所示，π8255因为OC2OA8cm，AOC，易知sinOAC，cosOAC，2824255ACAB45，在OAB中，由余弦定理易知BOAOAB2AOABcosOAB，ππππ且OABOAC，cosOABcosOACcosOACcossinOACsin3333512535215，525210在OAB中，由余弦定理可得：2225215所以BO445244516523，10解得BO4235cm；【小问2详解】设AOC，ACO，BCACx，第19页/共21页学科网（北京）股份有限公司 222在AOC中，由余弦定理易知，ACAOOC2AOOCcos，2222即x48248cos，x8064cos①，2222ACOCAO48xcosACO，即cos②，2ACOC16xx4由正弦定理易知③，sinsin将①②③代入下列式子中：1π32SBCCOsin2sinx23cosx8sin63x△BOC23838sin638064cosa8π8sin16383cosa16316sina，35π2则当ADC时，S△BDC取最大值，最大值为16163cm.62248x【点睛】思路点睛：第二问中由余弦定理得x8064cos，cos，由正弦定理得16xx4，三式代入面积公式SBOC，考查了学生的思维能力及运算能力.sinsinsinx22.已知函数fx()ax．2cosx（1）当a1时，讨论fx()的单调性（2）若x0都有fx()0，求a的取值范围【答案】（1）函数fx()是R上的增函数；1（2）a.3【解析】【分析】（1）把a1代入，求出函数fx()的导数，再判断导数值正负作答.（2）求出函数fx()的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答.【小问1详解】sinx当a1时，函数fx()x的定义域为R，2cosx第20页/共21页学科网（北京）股份有限公司 22cos(2cos)sinxxx32cosxcosxfx()10，22(2cos)x(2cos)x所以函数fx()是R上的增函数.【小问2详解】sinx函数fx()ax，x0，2cosx12cosx321121求导得fx()a22a3()a，(2cos)x(2cos)x2cosx2cosx3311当a时，fx()0，即函数fx()在(0,)上单调递增，x0，fx()f(0)0，因此a；331当0a时，令hx()sinx3,axx0，求导得hx()cosx3a，3ππ函数hx()cosx3a在(0,)上单调递减，h(0)13a0,()h3a0，22π则存在x0(0,)，使得hx()00，当0xx0时，hx()0，hx()在(0,x0)上单调递增，2当x(0,x0)时，hx()h(0)0，即sinx3ax，sinxsinxsinx因此当x(0,x0)时，ax，即fx()ax0，不符合题意；2cosx32cosxππ1当a0时，f()a0，不符合题意，2221综上得a，31所以a的取值范围是a.3【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司