重庆市璧山来凤中学2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

2023-2024学年度高中数学9月月考卷一、单选题1.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算计算即可.【详解】由题得故选：D2.若向量和满足条件，则的值是（）A.﹣1B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】直接代入数量积求解即可．【详解】因为和满足条件，即；故选：D．3.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出直线的斜率，再求倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为.因为直线的斜率为=，所以. 又，得：．故选：D．4.已知直线，，若，则（）A.B.2C.D.2或【答案】A【解析】【分析】利用两条直线（一般式方程）相互平行的充要条件即可得出．【详解】因为，所以，解得.故选：A.5.如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则选项中与向量相等的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】解：平行六面体中，与的交点为，设，，，所以，则， 所以．故选：A．6.直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可.【详解】由图知：，故斜率最小的直线是.故选：B7.已知两点，，过点的直线与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出与线段端点所成直线的斜率，即可得直线l的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围.【详解】由题设，如下图示， 所以，，故，若直线l的倾斜角，则，所以.故选：A8.如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线距离建立函数，再求出函数最小值作答.【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因正三棱柱的所有棱长均为1，则，，因动点P在线段上，则令，即有点，，，，因此点P到直线的距离，当且仅当时取等号，所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：C二、多选题9.空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据空间两点的距离公式计算可得.【详解】因为，故A正确，，故B正确，，故D正确， ，故C错误．故选：ABD10.对于直线：，下列说法错误的是（）A.直线恒过定点B.直线斜率必定存在C.时直线与两坐标轴围成的三角形面积为D.时直线的倾斜角为【答案】BD【解析】【分析】求出过的定点判断A；根据m的取值情况判断B；当时，求出直线的横纵截距计算判断C；当时，求出直线的斜率判断D作答.【详解】对于A，直线：恒过定点，A正确；对于B，当时，直线：垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在，B错误；对于C，当时，直线：与x轴、y轴分别交于点，此时直线与两坐标轴围成的三角形面积为，C正确；对于D，当时，直线：的斜率，因此倾斜角为，D错误.故选：BD11.如图，已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，E是的中点，则下列结论错误的是（） A.B.三棱锥的体积为C.三棱锥的外接球的表面积为8πD.平面平面【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项D；求得三棱锥的体积判断选项B；求得三棱锥的外接球的表面积判断选项D.【详解】以A为原点分别以AB、AD、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系：则,,,,,,,选项A：由.可得，则两向量、不互相垂直，则与不互相垂直.判断错误；选项B：三棱锥的体积.判断正确；选项C：三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的外接球直径为则三棱锥的外接球的表面积为.判断错误；选项D：设为平面的一个法向量，则，令，则，，则设为平面的一个法向量， 则，令，则，，则由，可得向量与向量不互相平行，则平面与平面不互相平行.判断错误.故选：ACD12.如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（）A.若G为线段AE的中点，则平面CEFB.C.的最小值为48D.点B到平面CEF的距离为【答案】ABD【解析】【分析】根据面面垂直的性质可得平面ABCD，由线面垂直的性质可得，，又，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线、线面的位置关系和求解点到平面的距离，结合空间向量线性运算的坐标表示求出，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】因为BDEF是矩形，所以，又矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD相交于BD，且平面BDEF，所以平面ABCD，而AD，平面ABCD，所以，，而ABCD是正方形，所以，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，对于A，，，当G为线段AE的中点时，，得，设平面CEF的一个法向量为，有，因为，平面CEF，则平面CEF，故A正确；对于B，，，所以，故B正确；对于C，设，则，得有最小值44，故C错误；对于D，，，所以点B到平面CEF的距离为，故D正确.故选：ABD.. 三、填空题13.点在两点所连的直线上，则______________．【答案】【解析】【分析】根据列方程，解方程求得的值.【详解】由于点在两点所连的直线上，所以，即，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查斜率公式的运用，属于基础题.14.已知，，则____．【答案】【解析】【分析】cos，，由此能求出结果．【详解】∵向量，，∴cos，．故答案为．【点睛】本题考查空间向量的夹角的余弦值的求法，考查了空间向量的数量积及模的运算，是基础题．15.已知空间向量的模长分别为，且两两夹角均为.点为的重心，若，，则___________.【答案】【解析】【分析】设中点为，可得，由向量线性运算可求得 ，由平面向量数量积定义和运算法则可求得，进而得到.【详解】为的重心，设中点为，，，，，.故答案为：.16.已知圆柱中，点在圆上，，，点、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】取中点，连接、，然后以点为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出直线与平面所成角的正弦值关于的表达式，由此可求得结果.【详解】取中点，则，以点为坐标原点，为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，，设平面的法向量为，则，取，则，，则，设，直线的方向向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为，即直线与平面所成角的正弦值的最大值为.故答案为：.四、解答题17.已知直线过点和两点（1）求出该直线的直线方程(用点斜式表示)（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x轴和y轴上的截距.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】分析】（1）先求斜率，再利用点斜式写出直线方程； （2）由，得，可化，从而可得答案【详解】解；（1）直线AB的斜率为故直线AB的点斜式方程为：或.（2）由，得，可化为，当时，，当时，，所以斜截式：，一般式：，截距式：，在x轴上的截距为；在y轴上的截距为18.求满足下列条件的直线方程；（1）过点，且与直线平行的直线方程；（2）过点，且与直线垂直的直线方程；（3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据平行直线的斜率相同即可求解；（2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程；（3）由截距相等，可得，带入坐标解得，从而可得方程．当直线过原点时也是截距相等；【详解】解：（1）设与直线平行的直线方程为；由于所求直线过点，带入可得，所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为；由于所求直线过点，带入可得，所求的直线方程为；（3）由截距相等，可得直线方程为，由于所求直线过点，带入可得，所求的直线方程为；当直线过原点时也是截距相等，此时直线方程为：．19.已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据，结合向量减法法则求解；（2）根据向量加法法则求解即可；（3）根据向量加法法求解即可. 【小问1详解】解：小问2详解】解：【小问3详解】解：20.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，证明得到四边形是正方形，进而得到平面，所以，根据直角三角形相关性质可得到；（2）先建立空间直角坐标系，结合线段长度写出坐标，求平面的一个法向量，再结合线面角计算公式求出答案.【小问1详解】取中点，连接，则， 又因为，所以四边形是平行四边形，因为，，所以四边形是正方形，所以，即是等腰三角形，则，所以，即，因为平面，平面，所以，又因为平面，，所以平面，因为平面，所以，又因为点是的中点，所以由直角三角形性质易得【小问2详解】因为平面，平面，所以，，又因为四边形是正方形，所以，如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为， 则，令，则，设直线与平面所成的角为，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为.21.如图，且，，且，且，平面，．（1）求平面与平面的夹角；（2）求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据空间角的向量方法求解;(1)由线面平行可得直线上所有点到平面距离相等，再利用等体积法可求解.【小问1详解】因为，面，故可以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图： 由题可知：，，，，，，，易知面的一个法向量为，设面的法向量为，，，故得，即，不妨令y＝1，则，，所以平面与平面的夹角为．【小问2详解】因为，面，则面，所以直线到平面的距离与点到面的距离相等，如图，连接，由（1）可知平面，平面，所以，又因为，所以，设点到平面EBC的距离为，则，，又因为，所以，所以直线AD到平面EBC的距离为． 22.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.（1）求证：平面（2）求棱与BC所成角的大小；（3）在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）P为棱的中点，【解析】【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，再由线面垂直的判断定理得到证明.（2）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式求解即可；（3）利用已知条件求出点P的坐标，利用向量法求解平面角的余弦值.【小问1详解】因为三棱柱中，，所以，因为顶点在底面上的射影恰为点，平面，所以，所以，又，平面，平面，所以平面.【小问2详解】以A为原点，射线，，分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，所以，，设棱与BC所成的角为，所以，又，所以，故棱与BC所成的角为.【小问3详解】设，则.于是，解得，则P为棱的中点，其坐标为.设平面的一个法向量，则，令，得，而平面的一个法向量，则，