黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

哈师大附中2023—2024学年度高二上学期月考数学试题一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（    ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由直线的斜率和方向向量之间的关系即可求解.【详解】不妨设点为直线上异于点的任意一点，则由直线的斜率和方向向量之间的关系可知，整理得，因此满足题意的直线方程为.故选：A.2.国家射击运动员甲在某次训练中次射击成绩（单位：环）如：，则这组数据第百分位数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将数据按照从小到大顺序排序，根据百分位数的求法直接求解即可.【详解】将次射击成绩按照从小到大顺序排序为：，，第百分位数为.故选：C.3.已知直线和，若，则（）A.3B.1C.-1D.3或-1 【答案】C【解析】【分析】代入两直线平行的公式，即可求解.【详解】若，则，解得：.故选：C4.若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆经过点，，可得线段中点为，又，所以线段的中垂线的方程为，即，由，解得，即，圆的半径，所以圆的方程为.故选：A.5.某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如下图所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%，则下列说法错误的是（） A.该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占70%B.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2倍还多C.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内D.相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加【答案】C【解析】【分析】根据扇形统计图和条形图对四个选项逐个判断可得答案.【详解】2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为，A正确.由于2023届初三学生人数较2022届上升了，假设2022届初三学生人数为（），则仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，，B正确.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，C错误.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，D正确. 故选：C.6.已知直线：mx－y－3m＋1＝0与直线：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：上的动点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意分析可得点的轨迹是圆心为，半径为的圆，结合圆的性质运算求解.【详解】圆C：的圆心，半径，因为，所以直线与直线互相垂直，由，得，所以直线过定点，由得，所以直线过定点，因为中点为，且，所以点的轨迹方程为，其圆心为，半径为，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，且，故的最小值为.故选：C.7.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数且极差小于或等于3；③平均数且标准差；④众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（） A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】B【解析】【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.【详解】①举反例：，，，，，其平均数．但不符合入冬指标；②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，则此组数据中的最小值为，此时数据的平均数必然大于7，与矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10.符合入冬指标；③举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差.但不符合入冬指标；④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.故选：B．8.在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（    ）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用条件，先求出的轨迹方程，分情况讨论此曲线轨迹与交点情况即可.详解】如图所示，设，则，，， 化简得，或（舍去），即在以O为圆心的圆上，轨迹方程为，如上图所示，易知曲线过定点，记为，若，最多与圆有一个交点，不符合题意，可排除C、D选项；若，先判定与相切的情况，则圆心到直线的距离为，由图形可知当时，曲线与有四个交点.故选：B 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数据的平均数是，中位数为，方差为，极差为.由这组数据得到新数据，其中，则（）A.新数据的平均数是B.新数据的中位数是C.新数据的方差是D.新数据的极差是【答案】CD【解析】【分析】直接利用平均数，中位数，方差，极差的定义求解判断即可.【详解】对于A，新数据的平均数为，故A错误；对于B，因为原数据的中位数为，所以新数据的中位数是，故B错误；对于C，因为原数据的方差为，所以新数据的方差是，故C正确；对于D，设数据中最大，最小，其中,,则，所以新数据的极差是，故D正确.故选：CD.10.圆和圆的交点为，则有（　　）A.公共弦所在直线方程为B.线段中垂线方程为 C.公共弦的长为D.为圆上一动点，则到直线距离的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段的中垂线方程判断B；求出公共弦长判断C；由到的距离加上的半径判断D．【详解】对于A，由与，两式作差可得，即，∴公共弦所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，圆的圆心，的中点坐标，，∴的中垂线的斜率为，可得的中垂线方程为，即，故B正确；对于C，圆心到直线的距离，半径为，则，故C错误；对于D，为圆上一动点，圆心到直线的距离为，半径，则到直线的距离的最大值为，故D正确．故选：ABD11.已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（）A.的最大值是B.的最大值是C.的最小值是 D.过点作曲线的切线，则切线方程为【答案】BD【解析】【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确.【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为，对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方，所以它的最大值为，所以A错误；对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即，由圆心到直线的距离，解得，所以的最大值为，所以B正确；对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误；对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上，则点与圆心连线的斜率为，根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为，所以切线方程为，即，所以D正确.故选：BD.12.已知圆上两点满足，点满足，则下列选项正确的有（    ） A.当时B.当时，过点的圆的最短弦长是C.线段的中点纵坐标最小值是D.过点作圆的切线且切点为，则的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】由题意可知点在线段的垂直平分线上，对于A，令举出反例即可判断；对于B，此时点刚好在原点，通过分析发现圆的过点的最短弦长即为被轴所截得的弦长；对于C，设出线段的中点坐标，由垂径分线定理将不等式转换成，从而即可判断；对于D，由切线长定理即可判断.【详解】圆的圆心、半径分别为，令圆心到线段的距离为；对于A，不妨设直线，此时，由弦长公式可知，但此时线段的垂直平分线是平行于轴的，即此时点不存在，故A选项错误；对于B，如图所示：当时，点与坐标原点重合，设为过点的任意一条不与重合的弦， ，可以发现，由弦长公式可知，若要弦长最短，只需最大，而当且仅当时，，此时，所以当时，过点的圆的最短弦长是，故B选项正确；对于C，不妨设线段的中点坐标，由垂径分线定理可知，又，所以，解得，注意到，所以，解得，因此当时，，即线段的中点纵坐标最小值是，故C选项正确；对于D，如图所示：设线段的中点为，由题意及切线长定理可知，我们来简单说明一下切线长定理：事实上四边形的面积一方面可以表示为，另一方面也可以表示为， 且注意到，所以由等面积法结合以上式子可得，又由勾股定理有，且注意到，所以，解得，又，所以有，解得或，即的取值范围是，故D选项正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题A选项的关键是举反例证伪，B选项较为常规，至于C选项要注意转换成来做，D选项的话关键在于用切线长定理以及勾股定理来转换已知条件，从而顺利求解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何?”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有________人.【答案】100【解析】【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可．【详解】设北面共有x人，则由题意可得，解得，所以北面共有100人.故答案为：100．14.两条平行线和的距离为________． 【答案】【解析】【分析】直接由两平行线直接的距离公式即可求解.【详解】由题意直接由两平行线之间的距离公式可知，两条平行线和的距离为.故答案为：.15.将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则_____________．【答案】1【解析】【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.【详解】设点为点，点为点，所以线段的中点为.设点为点，设点为点，所以线段的中点为，由题意可知，于是有：，故答案为：1【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系.16.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点与两定点 的距离之比为(，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点为圆上的动点，，则的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】首先进行转化，假设存在这样的点，使得，则，设点，可得，该圆对照，所以，求得点，再由，即可得解.【详解】假设存在这样的点，使得，则，设点，则，即，该圆对照，所以，所以点，所以.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆C经过三点.（1）求圆C的方程；（2）经过点的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或. 【解析】【分析】（1）设出圆C的一般方程，再利用待定系数法求解作答.（2）由（1）求出圆C的圆心和半径，结合弦长及点到直线距离求解作答.【小问1详解】设圆C的方程为，由圆C经过三点，得，解得，所以圆C的方程为【小问2详解】由（1）知圆C：，即圆心，半径为5，由直线l被圆C所截得的弦长为，得圆心C到直线l的距离，而直线l经过点，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，于是，得或，所以直线l的方程为或18.某高校就业部从该校2022年已就业的博士研究生的毕业生中随机抽取了200人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图： （1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这200人月薪收入的样本平均数；（2）该校在某地区就业的2022届博士研究生的毕业生共100人，决定于2023年五一劳动节长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；用该校就业部统计的这200人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？【答案】（1）2（万元）（2）方案一能收到更多的费用【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算公式，准确计算，即可求解；（2）分别计算得到方案一和方案二中这50人共收活动费用的多少，比较即可得到结论.【小问1详解】解：根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得这200人月薪收入的样本平均数：（万元）．【小问2详解】解：方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）；月薪落在区间内收活动费用约（万元）；月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）．因此方案一，这100人共收活动费用约为（万元）；方案二：这100人共收活动费用约为（万元）． 因为，故方案一能收到更多的费用.19.在四棱锥中，，，平面，分别为的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角大小【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）易得，根据线面垂直的性质可得，从而可证得平面，进而可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）分别取的中点，连接，不妨设，先利用勾股定理求出，从而可证得，进而可得即为二面角的平面角，再解即可得解.【小问1详解】因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，因为分别为的中点，所以，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】分别取的中点，连接， 不妨设，则，在中，，则，在中，，则，因为平面，平面，所以，则，因为分别为的中点，所以，由（1）得平面，因为平面，所以，则，因为为的中点，所以，因为为的中点，所以且，又，所以，所以即为二面角平面角，因为为的中点，所以且，又平面，所以平面，又平面，所以，在中，，所以，即二面角的大小为. 20.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，使用按男女学生人数比例分配的分层抽样方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（2）试估计测评成绩的第三四分位数；（3）已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为69，方差为180，女生样本的均值为73，方差为200，求总样本的方差.【答案】（1）20人（2）78.75（3）188【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可计算超过50分的人数，结合题意可估计总体；（2）直接利用频率分布直方图计算75%分位数即可；（3）根据分层抽样的方差公式计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，分数在的频率为，在样本中分数在的人数为（人），又在样本中分数在在的学生有5人，所以样本中低于40分的人数有人， 故总体中分数小于40的人数为人；【小问2详解】测试成绩从低到高排序，样本中分数在的频率为，样本中分数在的频率为，则75%分位数在之间，所以估计测评成绩的75%分位数为；【小问3详解】由题意可知总样本的均值为：，所以总样本的方差为.21.已知圆：，点.（1）若，求以为圆心且与圆相切的圆的方程；（2）若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求的值.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）由题意，可设圆的方程为，判断出点在圆外，则圆与圆外切或内切，分类讨论两圆内切与外切两种情况，列方程求解，从而可得圆的方程；（2）先排除过点与轴垂直的情况，从而设过点的直线方程为，再根据圆的弦长公式建立方程并化简可得，结合根与系数的关系以及，从而可得的方程，解方程即可得解.【小问1详解】当时，，设圆的方程为，因为，所以点在圆外，所以圆与圆外切或内切，又，圆的半径为，当两圆外切时：，可得； 当两圆内切时：，可得；所以以为圆心且与圆相切的圆的方程为或.【小问2详解】若过点的直线与轴垂直时，直线方程为，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不满意题意；设过点的直线方程为，即，由题意得，，化简得，设直线、的斜率分别为，则，且，对过点的直线，令，得，，，解得，所以.【点睛】方法点睛：解决直线与圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆的条件；（2）强化利用几何法求解圆的弦长，代入公式化简得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．22.已知直线，圆.（1）证明：直线l与圆C相交；（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【答案】（1）证明见解析； （2）；（3）点Q恒在直线上，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上.【小问1详解】证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交；【小问2详解】圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为：【小问3详解】设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.【点睛】本题的第三问是稍有难度的，处理方法是根据四点共圆，直径的端点坐标，求出此圆的方程，与曲线联立后得到相交弦的方程，是处理此类问题的关键.