黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二数学10月月考试题（Word版有答案）

哈师大附中2021级高二学年上学期10月月考数学科试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量，，则等于（　　）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴+＝（3，5，4），则＝＝5，故选：C．2．焦点坐标为（0，﹣4），（0，4），且长半轴长为6的椭圆方程为（　　）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【解答】解：因为焦点坐标为（0，﹣4），（0，4），且长半轴长为6，所以c＝4，a＝6，所以b2＝a2﹣c2＝62﹣42＝20，所以椭圆的方程为+＝1，故选：D．3．若直线l的一个方向向量为＝（1，﹣2，﹣1），平面á的一个法向量为＝（﹣2，4，2），则（　　）A．l⊂áB．l∥áC．l⊥áD．l∥á或l⊂á【解答】解：根据题意，直线l的一个方向向量为＝（1，﹣2，﹣1），平面á的一个法向量为＝（﹣2，4，2），则有＝﹣2，故l⊥á， 故选：C．4．已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点（2，﹣1），圆C2：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝10，则圆C1，C2的公共弦长为（　　）A．B．C．D．2【解答】解：设圆C1的方程为（x﹣a）2+y2＝1，代入点（2，﹣1）的坐标得（2﹣a）2+1＝1，解得a＝2，故圆C1的方程为（x﹣2）2+y2＝1，化为一般方程为x2+y2﹣4x+3＝0，圆C2的一般方程为x2+y2﹣8x﹣4y+10＝0，两圆方程作差得4x+4y﹣7＝0，点C1（2，0）到直线4x+4y﹣7＝0的距离为：d＝＝＝，则圆C1，C2的公共弦长为2＝．故选：A．5．圆x2+（y﹣2）2＝4与圆：x2+2mx+y2+m2﹣1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣]B．[5，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：根据题意，圆：x2+2mx+y2+m2﹣1＝0，即（x+m）2+y2＝1，其圆心为（﹣m，0），半径r＝1，圆x2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（0，2），半径R＝2，若两圆至少有三条公切线，则两圆外切或外离，则有≥2+1，解可得：m≥或m≤﹣，则m的取值范围为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞），故选：D．6．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若C上存在无数个点P，满足：∠F1PF2＞，则的取值范围为（　　）A．（0，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）【解答】解：因为椭圆C上存在无数个点P，满足∠F1PF2＞， 所以以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点，所以c＞b，故选：D．7．已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，直线l：（3﹣2t）x+（t﹣1）y+2t﹣1＝0恒过定点A．若一条光线从点A射出，经直线x﹣y﹣5＝0上一点M发射后到达圆C上的一点N，则|AM|+|MN|的最小值为（　　）A．6B．5C．4D．3【解答】解：直线l可化为3x﹣y﹣1﹣t（2x﹣y﹣2）＝0令2x﹣y﹣2＝0，可得3x﹣y﹣1＝0，求得x＝﹣1，且y＝﹣4，所以，点A的坐标为（﹣1，﹣4）．设点A（﹣1，﹣4）关于直线x﹣y﹣5＝0的对称点为B（a，b），则由，求得，所以点B坐标为（1，﹣6）．由线段垂直平分线的性质可知，|AM|＝|BM|，所以，|AM|+|MN|＝|BM|+|MN|≥|BN|≥|BC|﹣r＝7﹣1＝6，（当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立），所以，|AM|+|MN|的最小值为6，故选：A． 8．已知P是直线l：x+y﹣7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：（x+1）2+y2＝4相切，切点分别为A，B．则|AB|的最小值为（　　）A．B．C．D．【解答】解：已知P是直线l：x+y﹣7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：（x+1）2+y2＝4相切，切点分别为A，B，圆C是以C（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，由题可知，当∠ACP最小时，|AB|的值最小，，当|PC|取得最小值时，cos∠ACP最大，∠ACP最小，点C到直线l的距离，故当时，cos∠ACP最大，且最大值为，此时，则．故选：A．9．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（　　） A．B．C．D．【解答】解：如图所示，BF＝1，BO＝2，，则，∴OD＝2，即a＝2，而2b＝2，即b＝1， 所以，所以离心率，故选：B．10．已知圆C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和C2：（x﹣3）2+y2＝1，动圆M与圆C1，圆C2均相切，P是△MC1C2的内心，且，则a的值为（　　）A．9B．11C．17或19D．19【解答】解：根据题意：圆C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7），其圆心C1（﹣3，0），半径R1＝a，圆C2：（x﹣3）2+y2＝1，其圆心C2（﹣3，0），半径R2＝1，又因为a＞7，所以圆心距|C1C2|＝6＜R1+R2＝a+1，所以圆C2内含于圆C1，如图1，因为动圆M与圆C1，圆C2均相切，设圆M的半径为r，分2种情况讨论：①动圆M与圆C1内切，与圆C2外切（r＜a），则有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝1+r，所以C1M+C2M＝a+1，即M的轨迹为以C1，C2为焦点，长轴长为a+1的椭圆，因为P为△MC1C2的内心，设内切圆的半径为r0，又由，则有所以×C1M×r0+×C2M×r0＝3××C1C2×r0，所以C1M+C2M＝3C1C2，所以3C1C2＝18＝a+1，所以a＝17，②圆C2内切于动圆M，动圆M内切于圆C1，则有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝r﹣1，所以C1M+C2M＝a﹣1，同理可得：3C1C2＝18＝a﹣1，则有a＝19；综合可得：a＝17或19；故选：C． 二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）11．已知椭圆的上下焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（　　）A．该椭圆的长轴长为B．使△PF1F2为直角三角形的点P共有6个C．△PF1F2的面积的最大值为1D．若点P是异于A1、A2的点，则直线PA1与PA2的斜率的乘积等于﹣2【解答】解：椭圆的上下焦点分别为F1，F2，可得a＝，b＝1，c＝1，所以椭圆的长轴长为2，所以A不正确；△PF1F2为直角三角形的点P共有6个，所以B正确；△PF1F2的面积的最大值为＝bc＝1，所以C正确；设P（m，n），易知A1（﹣1，0），A2（1，0），所以直线PA，PB的斜率之积是：＝＝＝﹣2，故D正确， 故选：BCD．（多选）12．设有一组圆，下列命题正确的是（　　）A．不论k如何变化，圆心∁k始终在一条直线上B．存在圆∁k经过点（3，0）C．存在定直线始终与圆∁k相切D．若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，则【解答】解：根据题意，圆，其圆心为（k，k），半径为2，依次分析选项：对于A，圆心为（k，k），其圆心在直线y＝x上，A正确；对于B，圆，将（3，0）代入圆的方程可得（3﹣k）2+（0﹣k）2＝4，化简得2k2﹣6k+5＝0，Δ＝36﹣40＝﹣4＜0，方程无解，所以不存在圆∁k经过点（3，0），B错误；对于C，存在直线，即或，圆心（k，k）到直线或的距离，这两条直线始终与圆∁k相切，C正确，对于D，若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x2+y2＝1与圆∁k有两个交点，圆心距为，变形可得，解可得：或，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l1：3x+y＝4，l2：x﹣y＝0，l3：2x﹣3my＝4不能构成三角形，则m的取值集合是　{﹣，，﹣}　．【解答】解：根据题意，若直线l1：3x+y＝4，l2：x﹣y＝0，l3：2x﹣3my＝4不能构成三角形， 有3种情况，①三条直线交于1点，，解可得，则点（1，1）在直线2x﹣3my＝4上，则有2﹣3m＝4，解可得m＝﹣，②l2∥l3，此时有（﹣1）×（﹣3m）＝3m＝2，解可得m＝，③l1∥l3，此时有3×（﹣3m）＝2，解可得m＝﹣，综合可得：m的取值集合为{﹣，，﹣}；故答案为：{﹣，，﹣}．14．过点P（2，2）作圆x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为　x+y﹣2＝0　．【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心为C（0，0），半径为2，以P（2，2），C（0，0）为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+2y＝4，即x+y﹣2＝0．故答案为：x+y﹣2＝0．15.点P（﹣2，2）到直线（2+ë）x﹣（1+ë）y﹣2（3+2ë）＝0的距离的取值范围是______________.16．经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆x2+y2﹣4x+2y﹣20＝0相交于A，C，B，D四点，有下列结论：①弦AC长度的最小值为；②线段BO长度的最大值为；③四边形ABCD面积的取值范围为．其中所有正确结论的序号为　①③　．【解答】解：由题设（x﹣2）2+（y+1）2＝25，则圆心（2，﹣1），半径r＝5，由圆的性质知：当圆心与直线AC距离最大为时AC长度的最小，此时，①正确；BO长度最大，则圆心与B，O共线且在它们中间，此时，②错误；， 而，所以，令，则，当，即时，（SABCD）max＝45，当t＝0或5，即或时，，所以，③正确．故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题10分)已知圆，点.（1）过做圆的切线,求切线方程；（2）过做直线与圆交于两点，且,求直线的方程解：（1）或（2）或18.（本题12分）设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于A、B两点，（1）当面积取最小值时，求直线l的方程（2）当取得最小值时，求直线l的方程．解：（1）（2）19.（本题12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若圆上的点都在椭圆内部，求的取值范围。 解：（1）（2）20.（本题12分）已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，（1）求此椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值。解：（1）（2）21.（本题12分）如图，在四棱柱中，侧棱,,,,且点M和N分别为的中点.(I)求证：平面；(II)求平面与平面夹角的正弦值；解：（1）略 （2）22．椭圆的两个焦点是，点在椭圆上.(1)求此椭圆方程；（2）过做两条互相垂直的直线，分别交椭圆于四点，求四边形面积的取值范围。解：（1）（2）