重庆市北碚区西南大学附属中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

高2024届高二下期5月测试数学试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，，则（）A.或B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】分析可知，利用集合的包含关系可出关于的等式，结合集合元素满足互异性可得出实数的值.【详解】因为，，，则，所以，或，若，则，此时，，集合中的元素不满足互异性，故；若，可得，因为，则，此时，，合乎题意.因此，.故选：B.2.已知a，，，则（）A.5B.C.3D.【答案】D【解析】【分析】根据复数相等求得，再求.【详解】因为，所以，，所以.故选：D3.的展开式中的常数项是（）A.B.20C.D.160【答案】C【解析】 【分析】求出展开式的通项，令的指数等于0，从而可得出答案.【详解】二项展开式的通项为，令，得，所以展开式中的常数项为故选：C．4.五一劳动节前夕，4名同学各自在周六、周日两天中等可能地任选一天参加公益活动，且周六、周日都有同学参加公益活动，则周六恰有2位同学参加公益活动的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题计算出4名同学参加公益活动的总情况数，及周六恰有2名同学参与的情况数，即可得答案.【详解】由题意知，4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的总情况数为，4人选择一天的情况数为2，则周六、周日都有同学参加公益活动共有种不同的结果．又周六恰有2位同学参加公益活动共有种不同的结果，故所求的概率为．故选：A5.算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（）A.10种B.25种C.26种D.27种【答案】C 【解析】【分析】分类情况讨论结合组合数的计算可得种类.【详解】方法一：至多含3个5，有以下四种情况：不含5，有种；含1个5，有种；含2个5，有种；含3个5，有种，所以，所有的可能情况共有种方法二：所有可能的情况有种，其中不符合条件有含有4个5，有种；含有5个5，有种；所以，所有的可能情况共有种故选：C.6.若函数在在上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离得到，，根据二次函数的性质求出的最大值，即可得解.【详解】因为，所以，依题意在上恒成立，所以，令，，因为在上单调递增，则所以，即实数的取值范围是.故选：D7.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数a的取值范围为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通过构造函数，利用的奇偶性和条件得到在上单调递减，再将变形成，从而得到，即可求出结果.【详解】因为，所以，得到，令，所以，则为奇函数，且，又当时，，所以由奇函数的性质知，在上单调递减，又，所以，即，所以，即.故选：A.8.已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A.3B.5C.7D.9【答案】C【解析】【分析】作出函数的图象，可设，可得，判断与交点个数，进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】设，令可得：, 对于，，故在处切线的斜率值为，设与相切于点，切线斜率，则切线方程为：，即，解得：；由于，故作出与图象如下图所示，与有四个不同交点，即与有四个不同交点，设三个交点为，由图象可知：，作出函数的图象如图，由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，的零点个数为7个，故选：C【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 9.对任意实数，有.则下列结论成立的是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.【详解】由，可得，当时，，则，A选项错误；由二项式定理可得，，B选项错误；当时，，即，C选项正确；当时，，即，D选项正确.故选：CD10.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B：“学生丙最后一个出场”，则下列结论中正确的是（）A.事件A包含78个样本点B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】利用分步分类计数，结合组合排列数求事件A、事件B、事件样本点数，再应用古典概率求法求、，最后由条件概率公式求. 【详解】问题等价于5个人安排到5个座位，事件A：甲不在首位，乙不在末位，安排甲（除首位）到其中4个座位上，分两种情况：若甲不在末位有种，再安排乙有种，其它同学作全排有，共有；若甲在末位有1种，余下同学（含乙）作全排有，共有；所以，事件A包含78个样本点；事件B：除丙以外的其它同学作全排有；事件：把丙安排在末位，再安排甲在中间3个位置有种，其它同学作全排有，共有；而5位同学所有可能安排有.所以，，而，综上，A、B正确，C、D错误.故选：AB11.函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，且，则（）A.为偶函数B.C.的图象关于对称D.若，则为奇函数【答案】AC【解析】【分析】根据简单复合函数的求导法则及奇偶性的定义判断A、D，利用特殊值判断B，根据周期性及奇偶性判断函数的对称性，即可判断C.【详解】因为为奇函数且在定义域上可导，即，所以两边对取导可得，即，所以为偶函数，故A正确； 对于B：令，显然为奇函数，且最小正周期，即满足，则，则，故B错误；对于C：因为且为上的奇函数，所以，即，所以，即，所以的图象关于对称，故C正确；对于D：因为，则，即为奇函数，由A可知为偶函数，故D错误；故选：AC12.已知，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】由题设知，特殊值判断A；根据指对数的单调性判断B、C；由基本不等式知，进而判断是否成立判断D.详解】由，故，当时，A错；由在定义域上递减，而，故，B错；由，而在定义域上递增，故，C对；因为，则， 仅当，即时等号成立，所以，只需，而，仅当时等号成立，综上，，仅当时等号成立，D对.故选：CD三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的单调递减区间为___________.【答案】【解析】【分析】求导数，解不等式即可得函数的单调递减区间.【详解】函数的定义域为，则，令，则，解得，故函数的单调递减区间为.故答案为：.14.函数在点处的切线方程为____________.【答案】【解析】【分析】由导数定义结合导数几何意义可得切线的斜率，即可得切线方程.【详解】则曲线在点处的切线方程的斜率为，得切线方程为，即.故答案为： 15.在2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队通过点球大战击败法国队，最终获得世界杯冠军.某游戏公司据此推出了一款“AR点球大战”的游戏，规则如下：游戏分为进攻方和防守方，进攻方最多连续点球5次，若进球则进攻方得1分，若没进则防守方得1分，先得3分者获胜，本次游戏结束.已知某用户作为进攻方时，若某次点球进球，则下次进球的概率为；若没有进球，则下次进球的概率为，在某次游戏中，该用户第1次点球没进，则该用户获胜的概率为________.【答案】【解析】【分析】先分析出该用户获胜分为点球4次后获胜或点球5次后获胜两类，再分析出每一类中包含的情况，计算出每种情况的概率，相加即得该用户获胜的概率.【详解】该用户第1次点球没进球且该用户获胜可分为点球4次后获胜或点球5次后获胜，记事件该用户第1次点球没进球且点球4次后获胜，该用户第1次点球没进球且点球5次后获胜若第1次点球没进球且点球4次后获胜，则只有一种情况，第2次、第3次和第4次均进球，所以；若第1次点球没进球且点球5次后获胜，则共有3种情况，①第2次没进，第3次、第4次和第5次进球；②第3次没进，第2次、第4次和第5次进球；③第4次没进，第2次、第3次和第5次进球，所以.故该用户获胜概率为.故答案为：.16.如图，某景区共有五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有____________种不同的检测顺序. 【答案】【解析】【分析】将个景区抽象为个点，见个检票口抽象为条路线，将问题化归为不重复走完条路线，即一笔画问题，分析可得只能从或处出发才能不重复走完条路线，再用列举法列出所有可能结果，即可得解.【详解】如图将个景区抽象为个点，见个检票口抽象为条路线，将问题化归为不重复走完条路线，即一笔画问题，从或处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从或处出发才能不重复走完条路线，由于对称性，只列出从处出发的路线情形即可.①走路线：，，，，，，共种；②走路线：，，，，，，共种；③走路线：，，，，共种；综上，共有种检测顺序.故答案为：四、解答题（共6小题，共70分）17.一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．（1）从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布； （2）从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列作答.（2）根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.【小问1详解】可能的取值为0，1，2，3，，，，，概率分布列为：0123【小问2详解】设“从袋子中任取两个小球，其中一个小球是黑球”为事件，“另一个小球也是黑球”为事件，则，由条件概率公式可得，所以从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，另一个小球也是黑球的概率为.18.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？（2）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?（3）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?（4）在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个?【答案】（1）24（2）36（3）36（4）第54个【解析】 【分析】（1）能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排.（2）先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意排，再按分步乘法计数原理得出结果.（3）把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有3个位置，其余位置任意排；（4）计算出比30421小的五位数的情况，即可知道30421排第几个.【小问1详解】能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排，则有个；【小问2详解】在组成的五位数中，先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意排.所有奇数的个数有个；【小问3详解】在组成的五位数中，把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有3个位置，其余位置任意排，则有个；【小问4详解】比30421小的五位数，若万位为1或2，其余位置任意排，即，若万位为3，比30421小的有5个，30124，30142，30214，30241，30412.从小到大排列，30421排第54个.19.人们在接受问卷调查时，通常并不愿意如实回答太敏感的问题．比如，直接问运动员们是否服用过兴奋剂，绝大多数情况下难以得到真实的数据．某中学发布了一项针对学生行为规范的新校规，学生社团想进行一次本校学生对新校规认可度的调查，为了消除被调查者的顾虑，精心设计了一份问卷：在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否”．（友情提示：为了不泄漏您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．）问题一：您的身份证号码最后一个数字是奇数吗？“是”“否”问题二：您是否对新校规持认可态度?“是”“否”学生社团随机选取了150名男学生和150名女学生进行问卷调查，已知统计问卷中有85张勾选“是”． （1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校学生对新校规持认可态度的概率；（2）据核实，以上的300名学生中有20名学生对新校规持认可态度，其中男生15人，女生5人，请完成列联表，并判断是否有的把握认为对新校规持认可态度与性别有关．男生女生合计认可新校规不认可新校规合计参考公式和数据如下：，．0.150.100.050.0250.0052.0722.7063.8415.0247.879【答案】（1）（2）列联表见解析；有【解析】【分析】（1）由题意计算出回答第一个问题和回答第二个问题的人数，根据古典概型的概率公式可得答案；（2）由题意可得列联表，计算的值，比较即可得结论.【小问1详解】由题意知抛一个硬币：得到正面或反面是等可能的，故回答第一个问题的人数为人，回答第二个问题的人数也为150人，因为身份证号码最后一个数是否为奇数是等可能的，所以回答第一个问题，选择“是”的学生人数为，则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为人，所以估计该校学生对新校规持认可态度的概率为；【小问2详解】 由题意可得列联表如下：男生女生合计认可新校规15520不认可新校规135145280合计150150300故，故有的把握认为对新校规持认可态度与性别有关．20.某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、和r为增长系数、M为饱和量．下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：年份20182019202020212022t01234保有量9.612.917.123.231.4假设该地新能源汽车饱和量万辆．（1）若，假设2018年数据满足公式，计算的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；（2）设，则与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和r的值（精确到0.01）．附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：.【答案】（1），万辆（2），【解析】【分析】（1）根据题意代入即可求出，代入利用公式估算即可得解； （2）设设，转化为关于的线性回归问题，利用公式求出即可.【小问1详解】由题意可知，2018年对应，，满足，所以，解得，因为年对应的，所以所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆.【小问2详解】，设，则，t012349.612.917.123.231.43.373.072.772.442.11，，，所以，因为，所以.(该题无参考数据，需要计算器计算)21.已知函数，其中.（1）求曲线在处的切线方程；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，进而得出切线的方程；（2）根据在区间上的单调性，结合零点存在定理求得有唯一的根，且，利用函数的单调性求出的最小值，结合的范围即可证得结论.【小问1详解】因为，且，，所以曲线在处的切线方程为，即；【小问2详解】证明：由（1），知，，易知在区间上单调递增，且，，，所以，存在，使得，即有唯一的根，记为，则，对两边取对数，得，整理得，因为时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以，，令，，，则在上单调递减，从而，所以．22.已知函数，. （1）求函数的极值；（2）证明：当时，在上恒成立.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得，令，求得，结合，得到函数的单调性，进而求得极值；（2）由，根据题意，由且，放缩得到，令，求得，得出函数单调性，结合单调性求得，得出，即可得证.【小问1详解】解：由函数，可得定义域为，且，令，可得，所以单调递增，又因为，所以当时，，可得，单调递减；当时，，可得，单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.【小问2详解】解：由，因为且，可得令， 可得，因为，即或，又因为方程的两根都是负数根（舍去），所以，可得当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，同时也为在上的最小值，即，所以，所以，所以，故当时，在恒成立.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．