四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高一数学上学期第一次月考试题（10月）（Word版附解析）

四川省南充市嘉陵第一中学高2023级10月考试数学试卷考试时间：120分钟总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合A=-1,2,3，B=x-1≤x<3，则下列结论正确的是（   ）A．A∩B=AB．A∪B=BC．3⊆∁RBD．A∩∁RB≠∅2．设全集U=Z，A=-1,0,2,4,7,8，B=-2,-1,1,3,4,8，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（    ）A．-2,0,1,3B．-2,1,3,4C．-2,1,3D．0,2,73．不等式x-3x-2≥0的解集是（    ）A．xx<2或x≥3B．x2<x≤3C．xx≤2或x≥3D．x2≤x≤34．命题“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式是（    ）A．∀x∈R，∃n∈N+，有n<2x+1B．∀x∈R，∀n∈N+，有n<2x+1C．∃x∈R，∃n∈N+，使n<2x+1D．∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+15．“x>0”是“x2+x>0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．满足条件{1,2,3,4}⊆M⊊{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是A．2B．3C．4D．57．当x>1时，不等式x+1x-1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A．{a∣a≤2}B．{a∣a≥2}C．{a∣a≥3}D．{a∣a≤3}8．已知0<x<4，则1x+94-x的最小值为（    ）A．2B．3C．4D．8第11页共12页 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．如果a,b,c,d∈R，则下列选项不正确的是（）A．若a>b，则1a<1bB．若a>b，则ac2>bc2C．若a>b,c>d，则a+c>b+dD．若a>b,c>d，则ac>bd10．下列不等式中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的有（    ）A．x<1B．0<x2<1C．-1<x<0D．-1<x<111．设非空集合P，Q满足P∩Q=Q，且P≠Q，则下列选项中错误的是（    ）．A．∀x∈Q，有x∈PB．∃x∈P，使得x∉QC．∃x∈Q，使得x∉PD．∀x∉Q，有x∉P12．下列结论不正确的是（）A．当x>0时,x+1x≥2B．当x>0时,x2+5x2+4的最小值是2C．当x<54时,2x-1+24x-5的最小值是52D．设x>0,y>0,且x+y=2,则1x+2xy的最小值是52第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A=-2,2a,a2-a，若2∈A，则a=.14．已知集合M=x|x2-2x⩽0,N={x|x⩽a}，若M∩N=M，则实数a的取值范围为15．若∀x∈R,2x2-mx+3≥0恒成立，则实数m的取值范围为.16．设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，X*Y=∁UX∩Y．对于集合U=1,2,3,4,5,6,7,8，X=1,2,3，Y=3,4,5，Z=2,4,7，则X*Y*Z=．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A=x3≤x<7，B=x2<x<10，C=xx<a.(1)求A∪B，∁RA∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.第11页共12页 18．（12分）已知集合A=x|x2-2ax+a2-4≤0,B=x|-1<x<2．(1)若a=3，求A∪B；(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）求下列函数的最值（1）求函数y=x2+2x-1(x>1)的最小值.（2）若正数x，y满足x+3y=5xy，求3x+4y的最小值.20．（12分）已知，a>0，b>0(1)若a>b，m>0，求证：a-ma>b-mb；(2)若1a+4b=1，求a+b的最小值.第11页共12页 21．（12分）已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a，b的值；(2)当x>0，y>0且满足ax+by=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．22．（12分）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用.公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米1≤x≤5，公司甲的整体报价为y元.(1)试求y关于x的函数解析式；(2)那么公司甲怎样设计校园应急室使整体报价最低？最低整体报价是多少？数学参考答案：1．D【分析】求出集合∁RB，利用集合的运算以及元素与集合的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为A=-1,2,3，B=x-1≤x<3，则A∩B=-1,2≠A，A错；A∪B=x-1≤x≤3≠B，B错；∁RB=xx<-1或x≥3，则3∈∁RB，C错；A∩∁RB=3≠∅，D对.故选：D.2．C【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解第11页共12页 【详解】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合B中，但不在集合A中．又A={-1，0，2，4，7，8}，B={-2，-1，1，3，4，8}，则右图中阴影部分表示的集合是：{-2，1，3}．故选：C．3．A【分析】直接解分式不等式即可.【详解】由x-3x-2≥0⇔x-3x-2≥0x-2≠0⇒x<2或x≥3，所以不等式的解集为：xx<2或x≥3，故选：A.4．D【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的∀→∃、∃→∀，然后把结论否定，即可确定答案【详解】条件中的∀→∃、∃→∀，把结论否定∴“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1”故选：D【点睛】本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的∀→∃、∃→∀且否定原结论5．A【分析】化简不等式x2+x>0，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】解不等式x2+x>0得：x<-1或x>0，所以“x>0”是“x2+x>0”的充分不必要条件.故选：A6．B【分析】根据子集和真子集的知识判断出集合M的个数.【详解】由题意可知：M应在{1,2,3,4}的基础上不增加元素或增加5,6中的一个，所以M的个数就是集合{5,6}的真子集个数，即集合M的个数是22-1=3.故选：B【点睛】本小题主要考查子集和真子集，属于基础题.7．D【分析】利用基本不等式求得最值，可得答案.【详解】因为x>1，所以x-1>0，第11页共12页 所以x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+1x-1的最小值为3.因为当x>1时，不等式x+1x-1≥a恒成立，所以a≤3.故选：D.8．C【分析】由0<x<4，4-x>0，则x+(4-x)=4⇒x+(4-x)×14=1，构造基本不等式即可.【详解】因为0<x<4，所以4-x>0，则x+(4-x)=4⇒x+(4-x)×14=1所以1x+94-x=1x+94-x×x+(4-x)×14=14×1+9+4-xx+9x4-x≥14×1+9+24-xx×9x4-x=14×(1+9+6)=4当且仅当4-xx=9x4-x⇒x=1时，不等号成立，所以1x+94-x的最小值为：4故选：C.9．ABD【分析】根据特殊值以及不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若a>b，如a>0>b，则1a>1b，所以A选项不正确.B选项，若a>b，如c=0，则ac2=bc2，所以B选项不正确.C选项，若a>b,c>d，根据不等式的性质可知a+c>b+d，所以C选项正确.D选项，若a>b,c>d，如a=2,b=1,c=-1,d=-2，此时ac=bd，所以D选项不正确.故选：ABD10．BC【解析】由题意解不等式，再由集合间的关系、充分不必要条件的概念逐项判断即可得解.【详解】解：x2<1⇔x-1<x<1，第11页共12页 因为x∣-1<x<1Üx∣x<1，0<x2<1⇔-1,0∪0,1，-1,0∪0,1Üx∣-1<x<1，x∣-1<x<1Ýx∣-1<x<0，所以x2<1的一个充分不必要条件有：0<x2<1或-1<x<0.故选：BC.11．CD【分析】由两集合交集的结果推出Q是P的真子集，再根据真子集的概念进行判断.【详解】因为P∩Q=Q，且P≠Q，所以Q是P的真子集，所以∀x∈Q，有x∈P，∃x∈P，使得x∉Q，CD错误.故选：CD【点睛】本题考查集合交集的概念、真子集的概念，属于基础题.12．BC【分析】关于选项A,直接利用基本不等式即可判断正误;关于选项B,先将x2+5x2+4表示为x2+4+1x2+4,再用基本不等式,注意取等条件即可判断正误;关于选项C,当x<54时,4x-5<0,所以不能直接用基本不等式,举出反例即可;关于选项D,先将1x+2xy用x+y=2把y代换掉,即得1x+2xy=1x+4y-2,再用“1”的代换即可求出最值,注意等号取得的条件.【详解】解:由题知,关于选项A,当x>0时,x>0,∴x+1x≥2x⋅1x=2,当且仅当x=1时取等号,故选项A正确;关于选项B,当x>0时,x2+5x2+4=x2+4+1x2+4≥2,当且仅当x2+4=1x2+4时取等号,但此时无解,等号取不到,因此最小值不是2,故选项B错误;关于选项C,因为x<54,不妨取x=0,此时2x-1+24x-5的值为负数,第11页共12页 故选项C错误;关于选项D,因为x>0,y>0,x+y=2,则x=2-y,则1x+2xy=1x+22-yy=1x+4y-2=121x+4yx+y-2=12yx+4xy+5-2≥12×5+24-2=52当且仅当yx=4xy,即y=2x=43时取等号,故最小值为52,故选项D正确.故选:BC.13．1或2；【解析】由2∈A，可得2a=2或a2-a=2，注意要满足集合元素的互异性，即可得解.【详解】由A=-2,2a,a2-a，2∈A，若2a=2，a=1，a2-a=0，此时A=-2,2,0，符合题意；若a2-a=2，则a=2，a=-1，当a=-1时，2a=-2，不符题意，当a=2时，A=-2,4,2，符合题意，综上可得：a=1或a=2.故答案为：1或2.14．[2,+∞)【分析】根据集合的运算结果可得M⊆N，再有集合的包含关系即可求出.【详解】M=x|x2-2x⩽0=x0≤x≤2，N={x|x⩽a}由M∩N=M，知M⊆N，所以a⩾2，故实数a的取值范围为[2,+∞).故答案为：[2,+∞)【点睛】本题考查了集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.第11页共12页 15．[-26,26].【分析】根据命题∀x∈R,2x2-mx+3≥0恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，命题∀x∈R,2x2-mx+3≥0恒成立，可得Δ=m2-24≤0，解得-26≤m≤26，即实数m的取值范围为[-26,26].故答案为：[-26,26].16．1,3,5,6,8.【分析】根据定义求出集合X*Y=∁UX∩Y，再次利用定义得出X*Y*Z=∁U∁UX∩Y∩Z.【详解】由于U=1,2,3,4,5,6,7,8，X=1,2,3，Y=3,4,5，Z=2,4,7，则X∩Y=3，由题中定义可得X*Y=∁UX∩Y=1,2,4,5,6,7,8，则∁UX∩Y∩Z=2,4,7，因此，X*Y*Z=∁U∁UX∩Y∩Z=1,3,5,6,8，故答案为1,3,5,6,8.【点睛】本题考查集合的计算，涉及新定义，解题的关键在于利用题中的新定义进行计算，考查运算能力，属于中等题.17．(1)A∪B=x2<x<10，(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}；(2)3,+∞.【分析】（1）直接利用集合并集、交集和补集的定义求解；（2）分析A∩C≠∅即得解.【详解】（1）解：因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，所以A∪B=x2<x<10．因为A＝{x|3≤x<7}，所以∁RA={x|x<3或x≥7}则(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.（2）解：因为A＝{x|3≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>3.所以a的取值范围为3,+∞．18．(1)A∪B=x|-1<x≤5(2)[0,1]【分析】（1）由已知确定集合A，再根据集合的并集运算即可；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B是A的真子集，列不等式求解，即可得实数a的取值范第11页共12页 围．【详解】（1）解：若a=3，则A=x|x2-6x+5≤0=x|1≤x≤5，又B=x|-1<x<2所以A∪B=x|-1<x≤5；（2）解：A=x|x2-2ax+a2-4≤0=x|a-2≤x≤a+2，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以a-2≤-1a+2≥2，解得0≤a≤1，所以实数a的取值范围是[0,1]．19．（1）2+23；（2）5.【分析】（1）化为y=(x-1)+3x-1+2，再根据基本不等式可求出结果；（2）化为3x+4y=3x5y+12y5x+135，再根据基本不等式可求出结果.【详解】（1）y=(x-1)2+2(x-1)+3x-1=(x-1)+3x-1+2⩾23+2，当且仅当(x-1)2=3即x=3+1时等号成立，故函数y的最小值为2+23.（2）由x+3y=5xy得15y+35x=1，则3x+4y=(3x+4y)(15y+35x)=3x5y+12y5x+135⩾135+23625=5，当且仅当12y5x=3x5y,即y=12，x=1时等号成立，故3x+4y的最小值为5.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20．(1)见详解(2)9【分析】（1）利用不等式的性质即可证明，（2）利用基本不等式即可求助.【详解】（1）因为a>b>0，所以a-m>b-m，又因为a>b>0，所以am>bm故-bm>-am，所以ab-bm>ab-am，第11页共12页 故1-ma>1-mb，即a-ma>b-mb（2）因为a>0，b>0a+b=a+b1a+4b=5+ba+4ab≥5+2ba⋅4ab=9故a+b最小值为9当且仅当a=3,b=6等号成立.21．(1)a=1,b=2(2)[-3,2]．【分析】（1）根据不等式的解集可确定1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根且a>0，结合韦达定理即可求得答案；（2）利用基本不等式可求得2x+y的最小值，根据2x+y≥k2+k+2恒成立可得k2+k-6≤0，即可求得答案.【详解】（1）因为不等式ax2-3x+2>0的解集为xx<1或x>b，所以1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根且a>0，所以1+b=3a1⋅b=2a，解得a=1b=2，即a=1,b=2．（2）由（1）知a=1b=2，于是有1x+2y=1，故2x+y=(2x+y)(1x+2y)=4+yx+4xy≥4+24=8，当且仅当yx=4xy，结合1x+2y=1，即x=2y=4时，等号成立，依题意有(2x+y)min≥k2+k+2，即8≥k2+k+2，得k2+k-6≤0，即-3≤k≤2，所以k的取值范围为[-3,2]．22．(1)y=2400x+16x+9600,1≤x≤5(2)左右两侧墙的长度为4米时整体报价最低，最低报价为28800元【分析】（1）根据给定条件，用x表示出应急室正面墙的长度，结合题目条件写出解析式.（2）由（1）的结论，利用均值不等式求出甲公司报价最小值.【详解】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为24x米，第11页共12页 于是得y=300×4×2x+400×4×24x+9600=2400x+16x+9600，其中1≤x≤5.所以y关于x的函数解析式是:y=2400x+16x+9600,1≤x≤5（2）由（1）知，对于公司甲，y=2400x+16x+9600≥2400⋅2x⋅16x+9600=28800当且仅当x=16x，即x=4时取“=”，则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，第11页共12页