四川省成都市树德中学2024届高三数学（文）上学期10月阶段性测试试卷（PDF版附答案）

xe,x<0树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(文科)试题10．已知函数fx=，则函数gx=2fx2-3fx-2的零点个数为()．4x3-6x2+1,x≥0命题人：宁夏校区高三数学备课组审题人：王钊唐颖君朱琨A.6B.5C.4D.3一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目2y2x要求的.11．如图，双曲线E：2-2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与其右支交于P，ab1．集合A=1,2,3，B=4,5，M=xx=a+b,a∈A,b∈B,则集合M的元素个数为()Q两点，已知PF1=2PF2且∠PF1F2=∠F1QP，则双曲线E的离心率为()A.7B.6C.5D.4A.3B.2222．如果复数m-3m+m-5m+6i是纯虚数，则实数m的值为()C.3D.2A.0B.2C.0或3D.2或33．已知直线l1:x-3y+2=0,l2:3x-ay-1=0，若l1⊥l2，则实数a的值为()11A.1B.C.-D.-12234．已知平面α，β，γ，直线a，b，c，下列说法正确的是()12．已知函数fx=(x-3)+2x-6，且f2a-b+f6-b>0a,b∈R，则()A.若a⎳α，b⎳β，a⎳b，则α⎳βB.若a⊥α，α⊥β，则a⎳βA.sina>sinbB.ea>ebC.1>1D.a2024>b2024abC.若a⊥α，b⎳β，α⎳β，则a⊥bD.若α∩γ=a，β∩γ=b，a⎳b，则α⎳β二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)5．向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，3sinα+cosα13．已知tan(π+α)=2，则=________sinα-3cosα若e为与c同方向的单位向量，则a+b⋅e=()A.1.5B.22x-1214．设命题p:<0，命题q:x-2a+1x+aa+1≤0，若p是q的充分不必要条件，C.-4.5D.-3x-1则实数a的取值范围是_________S226．已知等比数列a各项均为正数，3a+2a=a，a的前n项和为S，则3=()15．过点(2,2)的直线l被圆C：x+(y+1)=16所截得的弦长为整数，n234nna2则满足条件的直线l有条.137A.3B.C.D.1332a16．若曲线y=x>0与曲线y=2lnx存在公切线，则实数a的取值范围为．xππ7．要得到函数fx=sin2x+3的图象，可以将函数gx=sin2x+12的图象()ππ三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每题满分12分，A.向左平移个单位B.向左平移个单位48每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，每题满分10分，考生根据要求作答．ππC.向右平移个单位D.向右平移个单位(一)必考题：共60分.4817．已知等差数列an满足a2=3,S5=25.8．设函数fx的定义域为R，且f2x+2是奇函数，fx+1是偶函数，则一定有()(1)求数列an的通项公式；1A.f-1=0B.f3=0C.f4=0D.f5=0(2)设bn=,Tn为数列bn的前n项和，求Tn.an+1+an2b9．阅读下段文字：“已知2为无理数，若(2)为有理数，则存在无理数a=b=2，使得a为有理数；22b222⋅22若(2)为无理数，则取无理数a=(2)，b=2，此时a=(2)=(2)=(2)=2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是()22A.(2)是有理数B.(2)是无理数bbC.存在无理数a，b，使得a为有理数D.对任意无理数a，b，都有a为无理数高三数学(文科)2023-10阶考第1页共2页 18．如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中各条棱长均为2，点M,N,E分别为棱AC,AA1,AB的中点．21．已知函数fx=1x2+alnx-a+1x，其中a∈R.2(1)求异面直线MN和CE所成角的正切值；(1)讨论fx的单调性；(2)求点B到平面MEN的距离．2(2)若函数Fx=fx+a-1x有两个极值点x1，x2，且Fx1+Fx2>--2恒成立(e为自然对数e的底数)，求实数a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.19．某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x，(10≤x≤20，单位：公斤)，其频率分布直2x=-1+t2方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2(t为参数)，y=1+t理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货222圆C的方程为(x-2)+(y-1)=5.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.量为14公斤，商店的日利润为y元.(1)求直线l及圆C的极坐标方程；(1)求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；(2)若直线l与圆C交于A,B两点，求cos∠AOB的值.(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间580，760内的概率.23．已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|.222(1)解不等式f(x)≤x+1；20．已知抛物线C1:y=x，圆C2:x-4+y=1．22ab(1)求圆心C2到抛物线C1准线的距离；(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c，求证：+≥1.a+1b+1(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A、B两点，若直5线PC2的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，k1·k2=-，求点P的坐标．24高三数学(文科)2023-10阶考第1页共2页 树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(文科)试题参考答案19.(1)商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为：50×14+30×x-14,14≤x≤2030x+280,14≤x≤20题号123456789101112y=,化简得：y=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分答案DADCDBBCCDBB50x-10×14-x,10≤x<1460x-140,10≤x<1412(2)①由频率分布直方图得：13.-714.0,215.916.-e,0.海鲜需求量在区间10,12的频率是2×0.08=0.16；17.(1)因为数列an为等差数列，设公差为d，海鲜需求量在区间12,14的频率是2×0.12=0.24；则S=5(a1+a5)=5a=25，所以a=5，又a=3，所以a1+2d=5，解得a=1，d=2.海鲜需求量在区间14,16的频率是2×0.15=0.30；533212a1+d=3海鲜需求量在区间16,18的频率是2×0.10=0.20；则an=1+2n-1=2n-1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分海鲜需求量在区间18,20的频率是2×0.05=0.10；1(2)由(1)知，bn=.这5050天商店销售该海鲜日利润y的平均数为：2n+1+2n-12n+1-2n-1111×60-14×10×0.16+13×60-14×10×0.24+15×30+20×14×0.30+17×30+20×14所以bn==(2n+1-2n-1)(2n+1+2n-1)(2n+1-2n-1)2×0.20+19×30+20×14×0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元)T=1(3-1+5-3+⋯+2n+1-2n-1)=1(2n+1-1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分②由于x=14时，30×14+280=60×14-140=700n2230x+280,14≤x≤2018.(1)连A1C，A1E，因为M,N分别为棱AC,AA1的中点，所以A1C⎳MN，显然y=60x-140,10≤x<14在区间10,20上单调递增，所以∠A1CE(或其补角)是异面直线MN和CE所成的角，y=580=60x-140，得x=12；y=760=30x+280，得x=16；因为正三棱柱ABC-A1B1C1中各条棱长均为2，日利润y在区间580,760内的概率即求海鲜需求量x在区间12,16的频率：0.24+0.30=0.54点M,N,E分别为棱AC,AA1,AB的中点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分所以CE=3，A1E=5，A1C=22，222因为CE+A1E=A1C，所以CE⊥A1E，1A1E51520.(1)由已知：C2(4,0)；C1的准线为x=-4．所以tan∠A1CE===.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分CE33117圆心C2到C1准线距离为4--4=4;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)连BN,BM，222211113(2)设Py0,y0，Ay1,y1，By2,y2,切线PA:x-y0=m1y-y0依题意可得S△MBE=S△MAB=S△CAB=××2×3=，24424x=my+y2-my1010221由2得：y-m1y-y0+m1y0=0MN=NE=2，ME=BC=1，y=x21ME2117由y0+y1=m1得：y1=m1-y0，2S△MNE=2⋅ME⋅MN-2=2×1×2-4=4，切线PB:x-y2=my-y,同理可得：y=m-y0202202设点B到平面MEN的距离为d，24-y0+m1y0依题意：C2(4,0)到PA:x-m1y-y0+m1y0=0距离=1112由VB-MNE=VN-MBE得d⋅S△MNE=⋅NA⋅S△MBE，m1+13322342整理得：y0-1m1+8y0-2y0m1+y0-8y0+15=01713得d⋅=⋅1⋅，223423434同理：y0-1m2+8y0-2y0m2+y0-8y0+15=021213得d=.即点B到平面MEN的距离为.∴m+m=2y0-8y0y2≠1771220y0-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分2y0y1-y211y0-1∵k1=2，k2=22=y+y=m+m-2y=-6yy0-4y1-y21212002y0y0-15∴k1k2=2⋅=-,解得：y0=±4y0-4-6y024故所求P点坐标为16,4或16,-4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分高三数学(文科)2023-10阶考第1页共2页 a(x-1)(x-a)23.(1)fx≤x+1，即x-1+x-3≤x+1.21.(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f(x)=x+-(a+1)=，xx当x<1时，不等式可化为4-2x≤x+1，解得：x≥1,又∵x<1，此时无解；①a≤0时，0<x<1时，f(x)<0，x>1时，f(x)>0，f(x)的减区间(0,1)，增区间是(1,+∞)；当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，解得：x≥1,又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3.②0<a<1时，0<x<a或x>1时，f(x)>0，a<x<1时，f(x)<0，f(x)的增区间是(0,a)和(1,当x>3时，不等式可化为2x-4≤x+1，解得：x≤5,又∵x>3，∴3<x≤5.+∞)，减区间是(a,1)；综上所得，1≤x≤3或3<x≤5，即1≤x≤5.③a=1时，f(x)≥0恒成立，f(x)的增区间是(0,+∞)，无减区间；∴原不等式的解集为1,5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分④a>1时，0<x<1或x>a时，f(x)>0，1<x<a时，f(x)<0，f(x)的增区间是(0,1)和(a,+∞)，(2)由绝对值不等式性质得，x-1+x-3≥x-1-x-3=2，减区间是(1,a)；∴c=2，即a+b=2.综上，①a≤0时，f(x)的减区间(0,1)，增区间是(1,+∞);令a+1=m,b+1=n，则m>1,n>1，a=m-1,b=n-1,m+n=4，②0<a<1时，f(x)的增区间是(0,a)和(1,+∞)，减区间是(a,1)；22m-12n-12ab1144③a=1时，f(x)的增区间是(0,+∞)，无减区间；a+1+b+1=m+n=m+n+m+n-4=mn≥m+n2=1，2④a>1时，f(x)的增区间是(0,1)和(a,+∞)，减区间是(1,a).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分等且仅当m=n=2即a=b=1时等号成立.2原不等式得证.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分x-2x+a2(2)F(x)=f(x)+a-1=，由题意x-2x+a=0有两个不等正根x1,x2，xΔ=4-4a>0，a<1，又x1+x2=2，x1x2=a>0，所以0<a<1，12F(x)=x+alnx-2x，21212F(x1)+F(x2)=x1+alnx1-2x1+x2+alnx2-2x22212=[(x1+x2)-2x1x2]+aln(x1x2)-2(x1+x2)=2-a+alna-4=alna-a-2，222由题意alna-a-2>--2，alna-a+>0，ee2设g(x)=xlnx-x+(0<x<1)，则g(x)=lnx+1-1=lnx<0，e1111221g(x)在(0,1)上递减，又g=ln-+=0，所以由alna-a+>0，得0<a<．eeeeeee1综上，实数a的取值范围是0,．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分ex=-1+2t222.(1)由直线l的参数方程，得其普通方程为y=x+2，y=1+2t2∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2.22又∵圆C的方程为x-2+y-1=5，x=ρcosθ将代入并化简得ρ=4cosθ+2sinθ，∴圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ.⋯⋯⋯⋯5分y=ρsinθ(2)将直线l：ρsinθ=ρcosθ+2，与圆C：ρ=4cosθ+2sinθ联立，得2π4cosθ+2sinθsinθ-cosθ=2，整理得sinθcosθ=3cosθ，∴θ=，或tanθ=3.2π不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为θ，且tanθ=3.2π310于是，cos∠AOB=cos-θ=sinθ=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分210高三数学(文科)2023-10阶考第1页共2页