河北省邢台市五岳联盟2023-2024学年高二数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

2023~2024学年高二（上）第一次月考数学注意事项1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线经过两点，则的斜率为（）A.B.C.D.2.已知向量，且，则（）AB.3C.D.163.在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（）A.B.C.D.4.若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.5.在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，若，则（）A.B.C.D.6.直线过点，且方向向量为，则（） A.直线的点斜式方程为B.直线的斜截式方程为C.直线的截距式方程为D.直线的一般式方程为7.如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（）A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，记为点间的距离，当变化时，的最小值为（）A2B.3C.D.4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（）A.B.C.D.10.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（）A.B.C.D.11.已知点，直线，则下列说法中正确的有（）A.直线恒过点 B.若直线与线段有交点，则C.点到直线的距离的最大值为D.若为直线上一点，则的最小值为12.在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，则下列选项正确的是（）A.的轨迹长度相等B.的最小值为C.存在，使得D.与所成角余弦值的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.平行线与间的距离为________．14.在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为______.15.如图，在棱长为2的正四面体中，平面，垂足为，为校的中点，则________．16.设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线．（1）若，求的值；（2）若，求的值．18.如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，为的中点． （1）用以为空间的一组基底表示向量．（2）线段上是否存在一点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．19.在四棱锥中，底面为菱形，和为正三角形，为的中点．（1）证明：平面．（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．20.如图，在正方体中，分别是的中点．（1）求异面直线与所成角余弦值；（2）求点到平面的距离．21.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积． 22.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC中点．（1）证明：．（2）若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值． 2023~2024学年高二（上）第一次月考数学注意事项1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线经过两点，则的斜率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接应用斜率公式进行求解即可.【详解】由，得的斜率为．故选：A2.已知向量，且，则（）A.B.3C.D.16【答案】B【解析】【分析】由向量垂直与平行坐标表示求得，然后由模的坐标表示计算出模．【详解】因为向量，且，所以解得， 则，所以，所以．故选：B．3.在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出点坐标，然后计算．【详解】点在平面内的正投影为点，则．故选：B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．4.若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设直线的倾斜角为，根据题意得到，结合正切函数的图象与性质，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为，其中，可得，因为，即，结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角．故选：B.5.在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，若，则（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到，结合空间向量共线的坐标运算，即可求解.【详解】由题意，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，因为，可得，则存在唯一实数，使得，即，所以，消去得：．故选：C.6.直线过点，且方向向量为，则（）A.直线的点斜式方程为B.直线的斜截式方程为C.直线的截距式方程为D.直线的一般式方程为【答案】D【解析】【分析】利用方向向量求得斜率，从而求得直线的点斜式，斜截式，截距式，一般式方程【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为2．因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，其一般式为．故A错误，D正确；化为斜截式：，故B错误；化为截距式：，故C错误.故选：D7.如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角，所以平面平面，因为是菱形，是的中点，所以，，而平面平面，平面，所以平面，而平面，所以，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则得取，则，得平面的一个法向量为，易得平面的一个法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值为． 故选：A8.在平面直角坐标系中，记为点间的距离，当变化时，的最小值为（）A.2B.3C.D.4【答案】D【解析】【分析】消元法求得点轨迹方程，轨迹是直线，点轨迹是圆,由圆心到直线的距离减去半径可得所求最小值．【详解】设相加可得，即动点的轨迹是直线，由可得点轨迹是圆,圆心是,半径为，圆心到直线的距离为，所求最小值为．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（）A.B.C.D.【答案】AC 【解析】【分析】根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底，结合共面向量定理对选项一一判断即可得出答案.【详解】不存在，使得，所以不共面，是空间的另一个基底，A正确．因为，所以共面，不是空间的另一个基底，B错误．不存在，使得，所以不共面，是空间的另一个基底，C正确．因为，所以共面，不是空间的另一个基底，D错误．故选：AC.10.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即．当直线的截距不为0时，设直线的方程为，则，解得或，当时，可得直线的方程为，即； 若时，可得则直线的方程为，即．故选：BCD.11.已知点，直线，则下列说法中正确的有（）A直线恒过点B.若直线与线段有交点，则C.点到直线的距离的最大值为D.若为直线上一点，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，把直线的方程整理为，得出所过定点；对于B，先求出，结合图象得出结果；对于C，当直线时，点到直线的距离最大；对于D，求出关于直线的对称点的坐标，.【详解】对于A，因为直线的方程可化为，令且，所以直线过定点，故A错误．对于B，如下图，因为直线过定点，且，所以，故B正确．对于C，当直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故C正确．对于D，如下图，当时，直线的方程为．设关于直线的对称点为，则解得，所以，所以，故D正确．故选：BCD. 12.在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，则下列选项正确的是（）A.的轨迹长度相等B.的最小值为C.存在，使得D.与所成角的余弦值的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量运算法则求得点和点的轨迹及长度判断A，建立空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式及配方法求解最值判断B，利用向量垂直的坐标运算判断C，利用向量夹角的坐标公式求解余弦值的函数，然后利用二次函数求得最值判断D.【详解】连接，因为，所以，所以点轨迹长度为2．因为，所以，所以点的轨迹长度为，故A错误；如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，所以，当时，，所以B正确；因为，所以，当时，，即，所以C正确；因为，所以， 因为，因为，且，所以当，即时，有最小值即有最大值，最大值为，所以当时，的最大值为，故D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）的余弦值，即可求出结果.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.平行线与间的距离为________．【答案】##【解析】【分析】利用平行线间的距离公式计算可得答案.【详解】将方程两边乘以2，得，所以两平行线间的距离为．故答案为：．14.在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为______.【答案】【解析】【分析】先求出直线的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可. 【详解】取，,则，,所以点到直线的距离为.故答案为：15.如图，在棱长为2正四面体中，平面，垂足为，为校的中点，则________．【答案】##【解析】【分析】连接，根据向量的线性运算法则，得到，再结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.【详解】如图所示，连接，因为，所以．因为四面体为棱长为的正四面体，可得，且，所以． 故答案为：.16.设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为________．【答案】2【解析】【分析】由直线方程确定直线，且直线过定点，直线过定点，定点都在直线上，这样设直线交于，得出三条直线围成直角，利用基本不等式可得的最大值，从而得三角形面积最大值．【详解】由题知直线，且直线过定点，直线过定点，点在直线上．设直线交于，则三条直线围成的三角形为，且，所以．因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以．故答案为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线．（1）若，求的值；（2）若，求的值． 【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由两直线平行的条件求解；（2）由两直线垂直的条件求解．【小问1详解】因为，所以，整理得，解得或．当时，，符合题意，当时，与重合，故．【小问2详解】因为，所以，整理得，解得或．18.如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，为的中点．（1）用以为空间的一组基底表示向量．（2）线段上是否存在一点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）存在，【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用向量的加减法得出结果；（2）用基底表示，根据空间向量垂直，数量积为零以及模长公式得出结果.【小问1详解】由已知得，．【小问2详解】设线段上存在一点，使得，且，则．因为，所以．因为，所以．因为，所以，所以，此时点与点重合，．19.在四棱锥中，底面为菱形，和为正三角形，为的中点．（1）证明：平面．（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接．由线面平行的判定定理得出结果；（2）根据空间向量法求平面与平面的法向量，由两个法向量所成角的余弦值的绝对值得出结果.【小问1详解】证明：连接，交于点，连接．因为为菱形，所以为的中点．因为为的中点，所以为的中位线，所以．因为平面平面，所以平面．【小问2详解】在正中，连接，，则．因为，所以，所以．因为，平面，所以平面．所以平面，所以平面平面，平面平面，过点作于点，平面，则平面.，所以，又，，则，,.如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则． 设平面的法向量为，因为，所以令，得．设平面的法向量为，因为，所以令，得．因为，所以平面与平面夹角的余弦值为．20.如图，在正方体中，分别是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（2）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可.【小问1详解】以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以直线与所成角的余弦值为；【小问2详解】设平面的法向量为，则得取，则，得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为．21.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标；（2）求的面积．【答案】（1）的坐标为，的坐标为（2）【解析】【分析】（1）设，，由题意列方程求解即可得出答案.（2）先求出和直线所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边上的高，即可求出的面积．【小问1详解】设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，所以，解得，即的坐标为．设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，所以，解得，即的坐标为．小问2详解】因为，所以．因为边所在直线的方程为，即，所以点到边的距离为，即边上的高为，故的面积为．22.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点． （1）证明：．（2）若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取AD的中点F，可证得，，从而平面PEF，根据线面垂直的性质可得结论；（2）过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，可得平面，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系．写出点的坐标，求出平面PAB的法向量，可得直线DG与平面PAB所成的角的正弦值的表达式，结合换元法及二次函数的性质得出答案.【小问1详解】如图，取AD的中点F，连接PF，EF．∵底面ABCD是正方形，，∴，．∵，平面PEF，∴平面PEF．又∵平面PEF，∴．【小问2详解】由（1）可知，二面角的平面角为，且为，过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，∵平面PEF，平面PEF，∴，∵平面，∴平面，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易得，，，，则，，，，，，，，，设平面PAB的法向量为，则得取，则．设，，则，设直线DG与平面PAB所成的角为，则，令，则，．当时，，；当时，，当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时．所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为．