湖北省襄阳市宜城市第一中学2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附答案）

宜城一中2023-2024学年高二年级9月月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知直线过，，且，则直线的斜率为（）A.B.C.D.3.如图，等腰梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形ABCD的面积为（）A.B.12C.D.64.已知四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是（）A.B.C.D.5.在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是（）A.中位数，平均分，方差均不变B.中位数，平均分，方差均变小C.中位数不变，平均分可能不变，方差变小D.中位数，平均分，方差都发生改变6.在中，已知，，若有两解，则（）A.B.C.D.7.七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形.若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（） A.B.C.D.8.在三棱锥中，已知底面ABC，，，则三棱锥外接球的体积为（）A.B.C.D.二、多选题（每小题5分，共20分）9.若向量，满足，，则（）A.B.与的夹角为C.D.在上的投影向量为10.小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为，话剧社面试成功的概率为，辩论社面试成功的概率为，则（）A.文学社和话剧社均面试成功的概率为B.话剧社与辩论社均面试成功的概率为C.有且只有辩论社面试成功的概率为D.三个社团至少一个面试成功的概率为11.已知不同直线a，b，不同平面，，，下列说法正确的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则12.已知在棱长为4的正方体中，点O为正方形的中心，点P在棱上，下列说法正确的有（）A.B.当直线AP与平面所成角的正切值为时，C.当时，点到平面的距离是 D.当时，以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长为三、填空题（每小题5分，共20分）13.假设，，且A与B相互独立，则______.14.已知直线l过点且与以，为端点的线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为______.15.已知，，则的取值范围为______.16.如图，在矩形ABCD中，，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将，，，分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，Q为MN的中点，则多面体MNEFGH的体积为______；若点P是该多面体表面上的动点，满足时，点P的轨迹长度为______.四、解答题（17题10分，18-22题每小题12分，共70分）17.如图所示，在平行六面体中，，，，P是的中点，M是的中点，N是的中点，用基底表示以下向量：（1）；（2）；（3）.18.如图：正方体，E为棱的中点. （1）求直线CE与直线所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在一点P，满足？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请说明理由.19.为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如下频率分布直方图：（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的中位数及平均数；（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.20.如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点.将沿AD折到位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥.图1图2（Ⅰ）求证；（Ⅱ）若平面ABCD.①求二面角的大小；②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值. 21.中，有，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边.（1）求角A的大小；（2）设点D是BC的中点，若，求的取值范围.22.如图，直三棱柱的体积为4，点D，E分别为AC，的中点，的面积为.（1）求点A到平面EBC的距离；（2），平面平面，求平面DBE与平面所成角的余弦值.参考答案123456789101112CBADCCABBCDBCDBCABD13.0.9214.15.16.17.（1）（2）（3）（1）；（2）；（3）. 18.（1）；（2）存在，点P在棱上靠近的四等分点处.【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，所以直线CE与直线所成角的余弦值为；（2）棱上是否存在一点P的坐标可设为，则，，，故在棱上存在点P，满足，这点P在棱上靠近四等分点处.19.（1），中位数为，平均数为41.5（2）【详解】（1）由频率分布直方图性质知：，解得：；∵，，∴中位数位于，设中位数为m，则，解得：，即中位数为；平均数为.（2）∵第1，2组的频率之比为，∴抽取的5人中，第1组应抽取2人，记为A，B；第2组应抽取3人，记为C，D，E，则从5人中随机抽取2人，有，，，，，，，， ，，共10个基本事件；其中满足两人恰好属于同一组别的有，，，，共4个基本事件；∴两人恰好属于同一组别的概率.20.（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①，②或.【详解】证明：（Ⅰ）在图1中，∵，，∴ABCD为平行四边形，∴，∵，∴，当沿AD折起时，，，即，，又，面PAB，面PAB，∴平面PAB，又∵平面PAB，∴.图1图2解：（Ⅱ）①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD，则，，，，，设平面PBC的法向量为，则，取，得，设平面PCD的法向量，则，取，得，设二面角的大小为，可知为钝角，则，∴.∴二面角的大小为.②设AM与面PBC所成角为，， 平面PBC的法向量，∵直线AM与平面PBC所成的角为，∴，解得或.21.（1）（2）【详解】（1）解：在中，因为，由正弦定理可得，因为A、，则，，所以，，则，所以，，故.（2）解：如图，延长AD到E满足，连接BE、CE，则ABEC为平行四边形，则，，，，在中，由余弦定理得：，则，可变形为，即，由基本不等式可得，即，可得，当且仅当时，等号成立，由三角形三边关系可得，则，故的取值范围是.22.（1）（2） 【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面EBC的距离为h，点E为的中点，所以，直三棱柱的体积为4，所以三棱锥的体积为，又的面积为，故三棱锥的体积，解得，所以点A到平面EBC的距离为.（2）取EB的中点F，连接AF，如图，由题意知，故，所以，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面EBC，由平面EBC，故，在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，可得，又AF，平面且AF，为相交直线，否则若，则F点在落在上，与BE不垂直，则与矛盾，所以平面，BA，平面，故，，所以BC，BA，两两垂直，以B为原点，以BC，BA，为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，由于平面EBC，故点A到平面EBC的距离即为AF，由（1）知，故，∴，，因为平面，平面，所以，由的面积为，则，∴， 则，，，，则，，设平面BDE的法向量为，则，即，令，则，，故；，设平面的法向量为，则，即，令，则，，可得，故，由原图可知平面DBE与平面所成角为锐角，