四川省成都棠湖外国语学校2023-2024学年高一数学上学期入学考试试题（Word版附解析）

成都棠湖外国语学校高2023级入学考试数学试题（求实班）本卷满分150分，考试时间120分钟注意本项：1．考试前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡规定的位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，监考人员将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.二次函数的顶点坐标、对称轴分别是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据配方法将一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；【详解】原式化成顶点式，顶点坐标是,对称轴是过点且平行于轴的直线.故选:A.2.如图，已知是的切线，为切点，是的直径，，则的大小是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】连接，先求出，再根据即可得解.【详解】连接，因为是的切线，所以，又，则，因为，所以.故选：D.3.若二次根式有意义，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.【详解】若二次根式有意义，则，解得.故选：C.4.如果关于的一元二次方程中，是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据求出的取值，再根据概率即可得解.【详解】若关于的一元二次方程有两个不等实数根，则，解得或， 又是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），故此时，所以该二次方程有两个不等实数根的概率.故选：A.5.下列事件中是不可能事件的是（）A.抛一枚硬币正面朝上B.三角形中有两个角为直角C.打开电视正在播广告D.两实数和为正【答案】B【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、不确定事件即随机事件的定义解答即可．【详解】A．抛一枚硬币正面朝上是随机事件，故A错误；B．三角形中有两个角为直角是不可能事件，故B正确；C．打开电视正在播广告是随机事件，故C错误；D．两实数和为正是随机事件，故D错误．故选：B．6.二次函数上有，，，，当时，（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断出点关于二次函数的对称轴对称，再求出，代入函数解析式即可得解.【详解】因为，，所以点关于二次函数的对称轴对称，所以，当时，.故选：D. 7.如图，的直径，弦，垂足为．若，则的长为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出，进而可求得，再利用勾股定理求出，即可得解.【详解】连接，因为的直径，所以，因，所以，因为，垂足为，所以，所以.故选：C.8.用12个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，标有正确小正方体个数的俯视图是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据俯视图得定义即可得解.【详解】从上面一行看可得三列小正方形的个数从左至右依次为，从中间一行看可得到两列小正方形的个数从左至右依次为，从下面一行看可得到一列小正方形的个数，由此可判断选项为A.故选：A.9.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.【详解】解：对一切实数都成立，①时，恒成立，②时，，解得，综上可得，，故选：C.10.如图，已知两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，半径为1．若是上的一个动点，线段与轴交于点E，则面积的最小值是（）A.2B.4C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意首先确定三角形面积最小时点的位置，然后结合圆的性质和三角形相似的性质可得最大的面积值.【详解】若面积的最小，则与相切，如图，当与相切时，连接，则，在中，，，由勾股定理可得，在和中，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.11.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A.或B.CD.或【答案】A【解析】 【分析】由的两根为，得出，再由一元二次不等式的解法得出答案.【详解】因为不等式的解集为，所以的两根为，即，解得.所以不等式可化，其解集为或.故选：A12.如图，拋物线的对称轴是直线，并与轴交于两点，若，则下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则，其中正确的是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的开口可得，与轴的交点在下方可得，抛物线的对称轴可得可判断①；设，，由可得，从而，可判断②③④.【详解】因为抛物线的开口向上，所以，与轴的交点在下方，所以，抛物线的对称轴是，可得，所以，故①错误；设，，抛物线对称轴是，即，可得， 因为，所以，可得，所以，即，可得，故②正确；可得，故③正确；因为，若为任意实数，则，故④正确.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共20分）13.分解因式_________．【答案】【解析】【分析】根据提公因式法和平方差公式求解即可.【详解】.故答案为：.14.函数中，自变量x的取值范围是_________．【答案】且【解析】【分析】根据分母不等于零，开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.【详解】由题意，，解得且，所以自变量x的取值范围是且.故答案为：且.15.已知反比例函数的图象经过点，则此函数的关系式是_________． 【答案】【解析】【分析】根据题意直接代入运算求解即可.【详解】因为反比例函数的图象经过点，则，解得，所以函数的关系式是.故答案为：.16.如图，在中，，，如果的半径为，且经过点，那么线段_________．【答案】或【解析】【分析】连接，设直线与交于点，先求出，再利用勾股定理求出，再分点与点位于的同侧和异侧两种情况讨论即可得解.【详解】连接，设直线与交于点，由题意可得，，因为，，所以，故，由勾股定理可得，则当点与点位于的同侧时，，当点与点位于的异侧时，，所以线段或.故答案为：或. 17.已知函数，计算_________．【答案】【解析】分析】先求出，再观察所求，倒序相加即可得解.【详解】由，得，令，则，两式相加得，所以.故答案为：.三、解答题（共6小题，共82分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来；（2）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】（1），数轴见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法求解即可；（2）由分式的运算法则化简，再把代入即可.【详解】（1）由，解①得，解②得，所以不等式的解集为，在数轴上表示如图所示，（2），因为，所以原式.19.如图，在正方形中，分别是边上的点，，，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得证；（2）由，可得，再根据求出，即可得解.【小问1详解】因为四边形为正方形，所以，，因为，所以，因为，所以，所以，所以；【小问2详解】因为四边形为正方形，所以，所以，又因，正方形的边长为4，所以，所以，所以.20.已知关于的方程.（1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长，另两边的长、恰好是这个方程的两个根，求三角形 的周长.【答案】（1）证明见解析；（2）三角形周长为.【解析】【分析】（1）计算出可证得结论成立；（2）分两种情况讨论：①或中至少有一个等于；②.求出的值，可求得和的值，进而可求得的周长.【详解】（1），所以：无论取何值，关于的方程总有实数根；（2）三角形为等腰三角形，可能有两种情况：①或中至少有一个等于，即：方程有一根为，则，解得.方程为，另一根为，此时三角形周长为；②时，，解得，方程为，得，则，此时不能构成三角形.综上，三角形周长为.【点睛】本题考查一元二次方程根的情况的判断，同时也考查了一元二次方程根与系数关系的应用，考查计算能力，属于中等题.21.如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为．（1）求与的函数关系式；（2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ （3）能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）能围成比更大的花圃，最大面积为【解析】【分析】（1）利用矩形的面积公式建立函数关系式即可；（2）根据函数关系式，令，解一元二次方程，注意墙的最大可用长度为；（3）利用函数解析式，根据函数的性质及自变量的取值范围求出最大值即可.【小问1详解】解：由题意得，即；【小问2详解】解：当时，则，解得或，当时，符合题意，当时，，不符合题意，舍去，所以如果要围成面积为的花圃，的长是；【小问3详解】解：，由题意可得，得，又当时，随增大而减小，所以当时，，所以能围成比更大的花圃，最大面积为.22.已知抛物线经过，两点，与轴交于点C，直线与抛物线交于 两点．（1）写出点的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点为线段的中点时，求的值及两点的坐标；（3）是否存在实数使得的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的特征以及待定系数法进行求解即可；（2）联立和，根据根与系数的关系推出再根据题意易求得，将其代入，进而求得点A和点B的坐标；（3）结合图形可知利用根与系数的关系进行代入求解即可．【小问1详解】令抛物线中，则，∴点C的坐标为，∵抛物线经过，两点，代入得，解得，∴抛物线的解析式为 【小问2详解】将代入得：，整理得：，∴∵原点O为线段AB的中点，∴，解得，将代入，解得：∴,故当原点O为线段AB的中点时，k的值为-2，点A、B坐标分别为；小问3详解】假设存在，由（2）可知根据题意，解得，∴，∴或，故存在或，使得的面积为．23.已知函数，是否存在实数，使得当时，函数有最小值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】或【解析】【分析】求出函数的对称轴为，再分，和三种情况讨论求出最小值，即可得解. 【详解】函数的对称轴为，当，即时，随增大而增大，则时，函数取得最小值，则，解得或，又，所以；当，即时，随增大而减小，则时，函数取得最小值，即，解得，又，所以；当，即时，则时，函数取得最小值，即，解得，又，所以此时不存在，综上所述，或.