浙江省温州市环大罗山联盟2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022学年第二学期环大罗山联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.复数的虚部为（）A.－3B.3C.2D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的概念直接可得答案.【详解】复数的虚部为故选：A【点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题.2.等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出结果.【详解】因为，故选：D.3.设，，，则的大小关系为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为，，即，，所以；故选：A4.在半径为9的圆中，的圆心角所对弧长为（）A.900B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据角度制与弧度制转化并结合弧长公式即可得到答案.【详解】，则所对弧长为.故选：B5.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 【详解】结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的上下，符合要求的只有C和D，再根据三角形的位置，即可得出答案，故选：C6.若为的边BC的中点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用向量的运算法则即可求出结果.【详解】因为为的边BC的中点，所以，得到，故选：B.7.如图，已知直角梯形ABCD，，，，P是斜腰BC边（含端点）上的动点，的最小值为（）A.0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】建立合适的直角坐标系，求出直线的方程，再利用向量数量积的坐标运算即可.【详解】因为四边形为直角梯形，则以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，因为，所以，则，设直线的方程为， 则代入坐标有，解得，则直线的方程为，则可设，，则，则，因为，则其最小值为，故选：D.8.小李同学到如图所示的一个影视厅观看电影，由于看电影的观众比较多，占去了观影区的其它位置，只剩下01-10座，共10个座位．电影院的平面图数据如图所示，使小李同学观影视角最好（水平方向视角，即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大）的座位是（）A.01座B.02座C.03座D.10座【答案】B【解析】【分析】简化成数学模型，再设未知数，利用两角和与差的正切公式结合基本不等式即可得到答案.【详解】将此题简化为如下数学图形，其中，， 题目转化为求找到点的位置，使得最大，设，，则，则，当且仅当，即时成立，此时座位位于第2座，故选：B.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若向量，，下列结论正确的是（）A.若，则B时，C.与垂直的单位向量有两个D.时，在上投影向量为【答案】CD【解析】【分析】根据向量模的坐标运算即可判断A，根据向量共线的坐标表示即可判断B，根据向量垂直的坐标表示和单位向量的定义即可判断C，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】对A，，解得，故A错误；对B，当时，，显然，故B错误；对C，设与垂直的单位向量为，则有， 解得或，则，则C正确；对D，，则在上的投影向量为，故D正确.故选：CD.10.已知复数，则下列说法正确的是（）A.B.的共轭复数为C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据复数乘除法计算出，再利用复数模的计算、共轭复数的概念、乘方的运算法则以及虚数无法比较小的性质一一分析即可.【详解】，对A，则，故A错误；对B，其共轭复数为，则B正确；对C，两个虚数无法比较大小，故C错误；对D，，故D正确.故选：BD.11.关于函数，其中，下列命题正确的是（）A.若，则对，若满足，则必有成立；B.若，在区间上单调递减；C.若，函数的图象关于点成中心对称；D.将函数的图象向右平移个单位后与的图象重合，则有最小值1．【答案】ACD【解析】 【分析】对于ABC直接代入利用辅助角公式得，再根据平移原则结合诱导公式即可判断A，根据正弦型函数的单调性即可判断B，代入检验即判断C，根据平移原则结合正余弦函数的关系即可判断D.【详解】若，则对于A，对，若满足，则，故A正确；对B，，，而正弦函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，故B错误；对于C，显然，所以函数的图象关于点成中心对称，故C正确；对于D，依题意，，将其向右平移个单位得于是得，，则，且，则，所以，故D正确.故选：ACD.12.阳马和鳖臑［biēnào］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下的三棱锥是由四个直角三角形 组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论正确的是（）A.鳖臑中只有一个面不是直角三角形B.鳖臑外接球半径为C.鳖臑的体积为正方体的D.鳖臑内切球半径为【答案】BD【解析】【分析】利用题设条件，逐一对各个选项分析判断即可得到结果.【详解】对于选项A，由题知，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，所以选项A错误；对于选项B，由题知鳖臑的外接球即长方体的外接球，而长方体是棱长为4的正方体，又易知，正方体外接球的半径为体对角线的一半，所以鳖臑外接球的半径为，所以选项B正确；对于选项C，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，且易知面,所以，又正方体的体积为，故鳖臑的体积为正方体的，所以选项C错误；对于选项D，设鳖臑内切球半径为，由选项C知，鳖臑的体积，则，又，所以，所以选项D正确.故选：BD 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，且，则__________.【答案】25【解析】【分析】利用对称得到复数，再利用复数的乘法求解.【详解】解：因为复数在复平面内的对应点关于实轴对称，且，所以，则，故答案为：2514.若一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则这个圆锥的侧面积与表面积之比为_____．【答案】【解析】【分析】【详解】试题分析：设底面圆的半径为，母线长，所以，所以侧面积为，表面积为，所以面积比为考点：圆锥的表面积侧面积15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】直接利用同角三角函数关系和商数关系即可.【详解】因为，解得，所以，所以， 故答案为：.16.水平放置的圆柱形容器底半径为3cm，高15cm，已知该容器中装有高度为hcm的水.实验时甲同学先把一个棱长为3cm的玻璃立方体放进了容器里，然后乙同学逐个缓慢放入两个半径为3cm的实心玻璃球，使两个球都浸没在容器的水中.若第一只球放入的过程中水没溢出，第2只球放入的过程中有水溢出容器，则高度h的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据给定的信息，结合圆柱、球、正方体的体积公式列出不等式求解作答.【详解】依题意，圆柱的体积为，球的体积为，正方体的体积为，圆柱形容器中原有水的体积为，由第一只球放入的过程中水没溢出，第2只球放入的过程中有水溢出容器，得，解得，所以高度h的取值范围为.故答案为：四、解答题（本題共6小題，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，否则酌情扣分．）17.已知复数（，i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若，且复数所对应的点位于第四象限，求a的取值范围．【答案】（1）1.（2）【解析】【分析】（1）根据复数乘法运算求出，再根据纯虚数的概念求解.（2）化简复数，根据所对应的点位于第四象限列不等式组求解.【小问1详解】因为复数，则 又为纯虚数，所以，解得，【小问2详解】因为由复数所对应的点位于第四象限，可得:，解得，所以的范围为.18.如图，已知中，，D是边BC上一点，且．（1）设，，试用，表示．（2）若，求的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量基本定理用基底表示向量.（2）分别求出长度，在中用勾股定理求解.【小问1详解】因为，所以，所以.【小问2详解】因，， 由余弦定理得，因为，所以，，在中，，所以，则，所以，又因为为锐角，所以的大小为.19.如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．（1）已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度；（2）当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？【答案】（1），（2）1【解析】【分析】（1）由已知可得，函数的振幅等于圆形的半径即，周期，即，，零时刻处，摩天轮上在最低点，可知初相，这样便可求得的解析式，进而求得时距离地面的高度；（2）从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，求得两次的时间差即能看着全貌的时间． 【小问1详解】由题意可知：，所以，又，得到，即，又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即，所以，即，又，所以，故，当时，，所以时点P距离地面的高度为85.【小问2详解】因为从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，由（1）知，得到，即，得到，所以，又，所以，游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌.20.在中，角的对边分别是，若，．（1）证明：是正三角形．（2）若的三顶点都在球O表面，且球O的表面积为，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，进而可得到，从而证明结果；（2）根据条件求出球的半径和外接圆的半径，再利用球的截面圆性质求出三棱锥的高，即可求出结果. 【小问1详解】因为，由正弦定理得，，整理得，，即，又，所以，得到，所以，又，所以是正三角形.【小问2详解】设球的半径为，因为球O的表面积为，所以，得到，由（1）知是正三角形，且边长为3，设外接圆半径为，由正弦定理得，所以，设球心到所在平面距离为，则由球的截面圆性质知，，得到，又，所以，三棱锥的体积为.21.已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，满足．（1）求A；（2）若的面积为，且，点D为边BC的中点，求AD的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积得到，由余弦定理求出答案.【小问1详解】 ，，即即，所以由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，所以．【小问2详解】因为，所以，即，又，则，所以，所以，，所以，所以，故，，故在中，由余弦定理可得，则．22.已知函数，． （1）指出单调性与的奇偶性，并用定义证明的奇偶性．（2）是否存在实数使不等式对恒成立，若存在求出的范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）为上的增函数,是奇函数，证明见解析.（2）存在使得不等式恒成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据与的单调性判断单调性，根据奇偶性定义判断的奇偶性．（2）根据奇函数性与单调性将不等式转化为对恒成立，换元后转化对任意恒成立求解.【小问1详解】∵，函数的定义域为，为增函数，为减函数，为增函数，∴为上的增函数.∵，函数的定义域为，定义域关于原点对称，∴，∴是奇函数.∵为奇函数，∴也是奇函数.【小问2详解】，即， 即，即，即，即，∵是奇函数，∴，又∵为上的增函数，∴，∴，∵，∴，令，问题转化为对任意恒成立，所以，解得，故存在实数使不等式对恒成立.