浙江省温州市环大罗山联盟2021-2022学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2021学年第二学期温州环大罗山联盟期中联考高一年级数学学科试题第Ⅰ卷（选择题部分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.若向量，，则的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接进行向量的减法即可.【详解】因为向量，，所以.故选：C2.已知角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，且，则实数的值是（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】由题意有，解得或，由于，则，所以满足题意.故选：A3.将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数平移变换求解.【详解】函数向右平移个单位长度，.故选：D.4.已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据旋转体的定义可知该几何体为圆柱的八分之一，求其表面积即可.【详解】因为一个边长为2的正方形纸片绕着一条边旋转弧度，所形成的几何体为柱体的一部分，是底面半径r为2,高h为2的圆柱的八分之一，所以其表面积，故选：C5.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】判断函数在上单调性，再结合偶函数的性质解不等式作答.【详解】当时，，则在上单调递增，又函数是上的偶函数，且，因此，，解得，所以不等式的解集为.故选：A6.在中，为边上一点，，，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求得，继而求出，再根据三角形外角定理，结合两角和的正弦公式，求得答案.【详解】如图示：在中，由正弦定理得：,故,而,故只能是锐角，故， 所以，故选：C7.如图，平面内有三个向量，，，与夹角为120°，，的夹角为150°，且，，若，则（）A.B.C.D.9【答案】B【解析】【分析】作的相反向量，再以射线，为邻边，以为对角线作，根据向量加法求解即可.【详解】作的相反向量，再以射线，为邻边，以为对角线作， 因为与的夹角为120°，，的夹角为150°，且，，所以，所以，，所以，所以，即即．故选：B8.设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（）A.B.C.10D.9【答案】D【解析】【分析】作函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解.【详解】作函数的大致图象，如图所示： 当时，对称轴为，所以，关于的方程有四个实根，则，由，得或，则，又，所以，所以，所以，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题（本题共4小题，每小题题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知是虚数单位，是复数，且，则下列说法正确的是（）A.在复平面上对应的点位于第一象限B.在复平面上对应的点位于第二象限C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据复数的乘除运算求出，利用复数的几何意义可判断A、B；利用复数模的求法可判断C、D.【详解】由，则，所以在复平面上对应的点为，即在复平面上对应的点位于第二象限.所以.故选：BD10.给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（）A.水平放置的角的直观图一定是角B.相等的角在直观图中仍然相等C.相等的线段在直观图中仍然相等D.两条平行线段在直观图中仍是平行线段【答案】AD【解析】【分析】根据直观图和斜二测画法的规则，判断选项. 【详解】水平放置的角的直观图一定是角，故A正确；角的大小在直观图中都会发生改变，有的线段在直观图中也会改变，比如正方形的直方图中，故BC错误；由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以D正确.故选：AD11.已知向量，，且向量满足，则（）A.B.C.向量与的夹角为D.向量在方向上的投影向量为【答案】ACD【解析】【分析】由得，，进而依次讨论各选项即可得答案.【详解】由题知,因为,所以,解得或,又因为,所以，所以，对于A选项，，故A选项正确；对于B选项，，由于，所以与不平行，故B选项错误；对于C选项，，，所以，又，所以，故C选项正确；对于D选项，向量在方向上的投影向量为，故D选项正确.故选：ACD12.已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则（） A.为偶函数B.的最小正周期是C.的图象关于直线对称D.在区间上单调递减【答案】BC【解析】【分析】根据已知条件求出的解析式，在通过三角函数的伸缩变化求出的解析式，结合三角函数的单调性、周期性、对称性、奇偶性即可求出答案.【详解】由图知，，则，即，因为，所以.因为为的零点，则，得.由图知，，则，所以，，从而.由题设，，则为非奇非偶函数，所以A错； 的最小正周期，所以B正确；当时，，则的图象关于直线对称，所以C正确.当时，，不单调，所以D错误.故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题部分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的定义域是___________.【答案】【解析】【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域【详解】由题意可得解得，即的定义域是.故答案为：14.已知在中，，则等于________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，令，然后利用余弦定理可求出【详解】因在中，，所以正弦定理可得，则令（），由余弦定理得，故答案为： 15.若，，与的夹角为60°，则______．【答案】【解析】【分析】利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解.【详解】由题意，得.故答案为：.16.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间t（单位：min）后的温度是T，则，其中称为环境温度，h为常数，现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需要16min，那么这杯咖啡要从37℃降到25℃，还需要______min．【答案】16【解析】【分析】根据所给函数模型，由Ta＝21℃．令T0＝85℃，T＝37℃，求得，然后令T0＝37℃，T＝25℃，求得．【详解】由题意知Ta＝21℃．令T0＝85℃，T＝37℃，得，∴h＝8．令T0＝37℃，T＝25℃，则，∴．故答案为：16．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在△中，内角所对的边分别是，已知，，.（1）求的值； （2）求△的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；（2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可.【小问1详解】由余弦定理可得，即，解得，【小问2详解】∵，且，∴,由得，,∴.故△的面积为.18.如图所示，正方体的棱长为a，过顶点B、D、截下一个三棱锥．（1）求剩余部分体积； （2）求三棱锥的高；（3）4个面都是直角三角形的四面体，被称为鳖臑．你能写出以该正方体的4个顶点为顶点的鳖臑吗？写出一个即可，不需证明．【答案】（1）（2）（3）(答案不唯一)【解析】【分析】（1）根据题意及体积公式直接求解即可；（2）运用等体积法求解即可;(3)根据鳖臑定义，直接写出即可.【小问1详解】设正方体的棱长为，则.【小问2详解】，易知△为等边三角形，且边长为，其面积为，，解得．即三棱锥的高为.【小问3详解】由鳖臑定义可知，三棱锥一个鳖臑.19.已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．（1）若∥，求的值；（2）若⊥（＋2），求实数k的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【答案】（1）3；（2）k＝；（3）k＜且k≠－6.【解析】【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；（2）解方程1×＋2×＝0即得解；（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.【小问1详解】解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．【小问2详解】解：因为＋2＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．【小问3详解】解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．20.已知向量，，.（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，；；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间；（2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的的取值范围.【详解】（1）因为所以函数的最小正周期；因为函数的单调增区间为，，所以，，解得，，所以函数的单调增区间为，；（2）不等式有解，即；因为，所以，又，故当，即时，取得最小值，且最小值为，所以.21.提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式： .研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时.（1）若车流速度不小于50千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.【答案】（1）；（2）隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.【解析】【分析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范围．（2）由（1）求得函数，分别利用函数的单调性和基本不等式分段求得最大值，比较可得．【详解】（1）由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），代入，得，解得，所以当时，，符合题意；当时，令，解得，所以.综上，.答：若车流速度不小于50千米/小时，则车流密度的取值范围是.（2）由题意得，当时，为增函数，所以，等号当且仅当成立；当时， .即，等号当且仅当，即，即成立.综上，的最大值约为3792，此时约为87.答：隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，对于已经给出函数模型的问题，关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.22.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；指出单调性，不需证明；（2）函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围；（3）若函数，讨论函数的零点个数．【答案】（1）奇函数，证明见解析，上单调递减.（2）（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）先由函数解析式求出函数定义域，判断其奇偶性及单调性即可；（2）根据题中，先得到和在上的值域的交集不为空集；分别讨论和两种情况，分别求出两函数的值域，根据交集不为空集，列出不等式求解，即可得出结果；（3）利用已知条件令，则，画出的图象，观察图像， 分情况讨论即可得出结果.【小问1详解】函数，由，可得，即的定义域为；又，所以为奇函数，当时，显然单调递减，所以在上单调递减.【小问2详解】函数，若存在，使得成立，则和在上的值域的交集不为空集；由（1）可知：时，显然单调递减，所以其值域为；若，则在上单调递减，所以的值域为，此时只需，即，所以；若，则在递增，可得的值域为，此时与的交集显然为空集，不满足题意；综上，实数的范围是；【小问3详解】由，得，令，则，画出的图象， ①当，或,所以只有一个满足，即，解得，由得，当即时，有3个交点，即有3个零点，当即时，有1个交点，即有1个零点.②当时，显然只有1解，且，此时，只有1解，即有1个零点③当时，，只有1解，且，所以此时只有1解，即只有1个零点.④当时，，此时，，，由，得在，，三个分别对应一个零点，共个，在时，，三个分别对应个，1个，个零点，共个，综上所述：当或或时，只有个零点，当或时，有个零点，当时，有个零点. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的定义域和奇偶性，方程根的存在性以及个数判断.把函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，画出函数图像分析是解决本题的关键.