山东省烟台市2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022～2023学年度第二学期期中学业水平诊断高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数，再求出作答.【详解】依题意，，所以.故选：B2.已知向量、的夹角为，，，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为向量、的夹角为，，，则，因此，.故选：B.3.已知，，则的值为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角差的正弦公式计算可得.【详解】因为，且，则，所以，所以.故选：C4.故宫是世界上规模最大，保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫“乾清宫”宫殿房檐的设计在夏至前后几天屋檐遮阴，在冬至前后几天正午太阳光就会通过地砖反射到“正大光明”匾上，惊艳绝伦．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角为73°，冬至前后正午太阳高度角为，如图，测得，则房檐A点距地面的高度为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形的边角关系及正弦定理解决本题即可.【详解】设点A在地面的射影为D，由已知得，， 则；在三角形ABC中，由正弦定理，得.在直角三角形ABD中，.故选：D5.在中，点D为BC中点，E为AD中点，记，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的基本定理，利用基向量，结合向量的运算进行求解.【详解】因为点D为BC中点，所以；因为E为AD中点，所以；所以.故选：A.6.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简、、，利用正切函数的单调性以及同角三角函数的基本关系可得出、、的大小关系.【详解】 ，，，因为，则，即.故选：C.7.设函数，，若存在，使得，则实数m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出函数在上的值域，再根据已知求出m的范围作答.【详解】，，显然，当时，，当时，，因此，，，而，则当，即时，，当，即时，，即，依题意，，所以实数m的取值范围为是.故选：C 8.在锐角中，角所对的边分别为．若，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，根据正弦定理边化角，再消去，可得，利用三角形是锐角三角形，可得，进而求出，对化简，可求出结果．【详解】因为，由正弦定理可知，，又，所以所以，所以即，又是锐角，则，则，，所以，即，所以，解得，所以.，则，则，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知复数，则（）A.z的虚部为B.在复平面内对应的点在第四象限C.D.z是关于x方程的一个根【答案】BCD【解析】【分析】把复数化成，利用复数的意义判断A；求出、判断BC；利用复数的四则运算计算判断D作答.【详解】依题意，复数，复数z的虚部为，A错误；在复平面内对应的点在第四象限，B正确；，，则，C正确；，即z是关于x的方程的一个根，D正确.故选：BCD10.已知向量，，，则下列说法正确的是（）A.若，则与夹角的余弦值为B.若，则C.若，则与的夹角为锐角D.向量在上的投影向量是【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；由平面向量共线的坐标表示可判断B选项；分析可知且与不共线，求出的取值范围，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，则，A对； 对于B选项，因为，，，则，若，则，解得，B对；对于C选项，若与夹角为锐角，则，解得，且与不共线，所以，，所以，当且时，与的夹角为锐角，C错；对于D选项，向量在上的投影向量，D对.故选：ABD.11.函数的部分图象如图所示，则（）A.函数在区间上单调递增B.是函数的一个对称中心C.函数在区间上的最大值2D.若，则【答案】AC【解析】【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再逐项分析、计算判断作答.【详解】观察图象知，，，即，而，解得， ，有，因为点与在函数图象上相邻，因此，解得，于是，对于A，当时，，而正弦函数在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，A正确；对于B，当时，，不是函数的一个对称中心，B正确；对于C，当时，，当，即时，取得最大值2，C正确；对于D，取，有，此时有，而，D错误.故选：AC12.在中，角所对的边分别为，，，O为外接圆圆心，则下列结论正确的有（）A.B.外接圆面积为C.D.的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合诱导公式及二倍角正弦求出角A，再利用正余弦定理、三角形面积公式、数量积运算计算判断各选项作答.【详解】在中，由正弦定理及得：，而，则有，即，又，，则，所以，即，A正确； 由正弦定理得外接圆半径，该圆面积，B错误；如图，，C正确；由余弦定理得：，当且仅当时取等号，因此，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用差角的正弦求解作答.【详解】因为，两边平方得：，解得，又，即，则，所以,故答案为：14.写出一个同时满足以下三个性质的函数：______．（写出一个符合条件的即可）①对于任意，都有；②的图象关于直线对称；③的值域为．【答案】（答案不唯一） 【解析】【分析】由性质①可得的周期为，再由性质②③写出满足3个性质的一个函数即可.【详解】任意，，即函数是周期为的周期函数，则由性质①，可令，由性质②知，，而，则，由性质③知，，解得，于是，所以同时满足给定三个性质的函数可以为.故答案为：15.在中，，，D是边AB上一点，且满足，则的值为______．【答案】2【解析】【分析】由可得为边上的高，利用边长关系可求，再利用向量关系转化后可求的值.详解】因为，故即，故为边上的高，故.又可化为，而，所以， 整理得到：，故，故即故答案为：2.16.赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图所示，正方形ABCD的边长为，正方形EFGH边长为1，则的值为______；______．【答案】①.6②.【解析】【分析】根据给定的“赵爽弦图”，利用勾股定理求出的值，再利用向量数量积的定义求出，利用和角的正切求出作答.【详解】依题意，全等，在中，，由得：，即，又，解得，；，所以.故答案为：6；四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（1）已知复数是纯虚数，求的值；（2）已知，，，求与夹角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义，求得与，从而求出，由两角和的正切公式即可求出的值;（2）根据向量的模的公式和两个向量的夹角公式，即可求出.【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以，即且，所以，又因为，所以，则，所以.（2）因为，所以，即，所以，整理得，所以，，设与夹角为，, 因为，所以，故与夹角为.18.已知向量，向量与的夹角为，且．（1）求向量的坐标；（2）设向量，，向量，若，求的最大值并求出此时x的取值集合．【答案】（1）或；（2）3，.【解析】【分析】（1）设出向量的坐标，利用向量数量积和向量的模建立方程组并求解作答.（2）由（1）的结论结合确定向量，再求出并借助辅助角公式及正弦函数性质求解任何.【小问1详解】设，依题意，，，而，因此，解得或，所以向量的坐标是或.【小问2详解】向量，且，当时，，不符合题意，舍去，当时，，符合题意，即，则，，因为，则当，即时，，所以的最大值是3，此时x的取值集合是.19.在中，角所对的边分别为，且．（1）求角C的大小； （2）若，，求的周长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，由此可得.（2）由三角形面积公式可求得，利用余弦定理可构造方程求得，由此可得三角形周长.【小问1详解】在中，由正弦定理及得：，整理得：，而，则，又，所以.【小问2详解】由（1）知，依题意，，解得，由余弦定理得：，解得：，所以的周长.20.观察以下各式：；；．分析以上各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式，并证明该等式．【答案】见解析【解析】【分析】利用两角和与差的正切公式即可证明.【详解】，其中， 证明：，则，则左边右边.故等式成立.21.绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业蓬勃发展．某景区有一直角三角形区域，如图，，，，现准备在中间区域打造儿童乐园，M，N都在边AC（不含A，C）上且，设．（1）若，求的值；（2）求面积的最小值和此时角值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用给定的条件，利用同角公式、诱导公式及和角的余弦公式计算作答.（2）利用正弦定理用正余弦表示，再利用三角形面积公式列式，借助三角恒等变换及正弦函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，，则，而， .【小问2详解】在中，由正弦定理得，而，，则，在中，，，，在中，由正弦定理得，，而，，，，显然，有，，则当，即时，取得最大值，，所以当时，面积取得最小值.22.设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，①若，求的值；②若，，求c的取值范围． 【答案】（1）；（2）①2；②.【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简函数，再根据图象变换及对称性求出，进而求出单调增区间作答.（2）利用（1）中函数求出A，再利用余弦定理计算比值；确定角C的范围，利用正弦定理求出c的范围作答.【小问1详解】依题意，，，而函数的图象关于原点对称，则有，即，而，则，因此，由，得，所以函数的单调递增区间是.【小问2详解】由（1）知，，即在中，，即，则，解得，①，由余弦定理得：，因此，所以.②在中，，则有，得，又，因此，由正弦定理， 得，显然，即，从而，所以c的取值范围是.