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山东省青岛市西海岸新区2022-2023学年高一数学下学期期中试题(Word版附解析)

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2022—2023学年度第二学期期中学业水平检测高一数学试题本试卷共6页,22题,全卷满分150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上,并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂层.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,请将答题卡上交.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数,则的虚部是()A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数运算求得,根据虚部定义求得结果.【详解】,∴z的虚部为:2故选:A2.已知向量,,若与垂直,则实数t的值为()A.0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示,列式求值.【详解】,且,由题意可知,,得.故选:D3.如图所示,在三棱台中,沿平面截去三棱锥,则剩余的部分是() A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台【答案】B【解析】【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征,即可得出结论.【详解】三棱台中,沿平面截去三棱锥,剩余的部分是以为顶点,四边形为底面的四棱锥.故选:B.4.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,,则()A.1B.C.3D.1或3【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理,,即,,解得.故选:C5.已知,,复数,,在复平面内对应的点为,,,若,,三点共线,则的最小值为()A.9B.8C.6D.4【答案】B【解析】【分析】根据复数对应的点共线可得,利用均值不等式求解即可.详解】由题意,,,, 由三点共线可得,,化简可得,又,,,当且仅当,即时等号成立.故选:B6.在矩形ABCD中,M是BC的中点,N是CD的中点,若,则()A.B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系,设,求出的坐标,利用可得答案.【详解】以为原点,分别以为轴的正半轴建立如图所示的平面直角坐标系,设,则,则,因为,可得,即,解之得,所以.故选:D. 7.在中,CD为角C的平分线,若,,则等于()A.0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由为角的平分线,,可得,设,,然后在中利用正弦定理可得,化简计算可得答案【详解】因为为角的平分线,所以因为,所以所以不妨设,因为在中,,所以因为在中,,所以所以.故选:C8.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设,中点为,化简可得,再根据余弦定理结合余弦函数的范围可得,进而可得的取值范围.【详解】不妨设,中点为,则即,故,即,. 故,因为,故,则,故,故的取值范围为.故选:D二、多项选择题:本大题共4小题.每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.若复数满足,则()A.B.是纯虚数C.D.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则【答案】ACD【解析】【分析】对A,根据复数的除法运算求解,再求共轭复数即可;对B,求得判断即可;对C,根据模长公式求解即可;对D,根据复数域中二次方程两根共轭与韦达定理求解即可.【详解】对A,,则,故,A正确;对B,不为纯虚数,故B错误;对C,,,故C正确;对D,由题意,的复数根分别为与,故 ,故D正确;故选:ACD10.下列说法正确的是()A.向量,能作为平面内所有向量的一组基底B.已知中,点P为边AB的中点,则必有C.若,则P是的垂心D.若G是的重心,则点G满足条件【答案】BC【解析】【分析】对A,根据基底向量不共线判断即可;对B,根据基底向量的运用判断即可;对C,化简可得,进而根据垂心的性质判断即可;对D,由重心可得,即可判断【详解】对A,,故共线,不能作为平面内所有向量的一组基底,故A错误;对B,根据平面向量基本定理可得中,点P为边AB的中点,则必有,故B正确;对C,由可得,即,故,同理,,故P是的垂心,故C正确;对D,若G是的重心,则点G满足条件,则,故D错误;故选:BC11.已知,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是()A.若,则为等腰三角形B.若,则为等腰或直角三角形C.若为锐角三角形,若,则D.若,,,则有两解【答案】CD【解析】 【分析】根据正弦函数的性质可得或判断A,由正弦定理及正切函数性质判断B,根据正弦函数单调性判断C,由已知两边及一边对角确定三角形个数判断方法判断D.【详解】,,或,即或,故A错误;,,即,由知,故为等腰三角形,故B错误;为锐角三角形,,由正弦函数的单调性知,故C正确;,,,,故有两解,故D正确.故选:CD12.已知函数在上单调,且的图象关于点对称,则()A.的周期为B.若,则C.将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数D.函数在上有1个零点【答案】BCD【解析】【分析】对于A,根据题意确定周期范围,再根据图象关于点对称,结合正弦函数的对称中心求解即可;对于B,由A,结合余弦函数的最值与周期性质判断即可;对于C,根据三角函数平移性质判断即可;对于D,根据余弦函数值直接求解即可.【详解】对于A,因为函数在上单调,所以的最小正周期T满足,即,所以, 因为的图象关于点对称,所以,得,所以当时,,所以,故A错误;对于B,,,则分别为,则为半周期,即,故B正确;对于C,将的图象向右平移个单位长度后得的图象,为奇函数,故C正确;对于D,,即,令,当时,,故仅有,故D正确.故选:BCD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.如图所示,等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图,其中,则原图形的周长为__________.【答案】##【解析】【分析】根据斜二测画法可得原图形三边长,进而可得周长.【详解】由题意,,则,故原图形中,,,周长为. 故答案为:14.已知向量,满足,,,则向量,的夹角为__________.【答案】##【解析】【分析】设与的夹角为,,得到,解得答案.【详解】设与的夹角为,,则,解得,,故.故答案为:15化简:________.【答案】-1【解析】【详解】原式)(.故答案为【点睛】本题的关键点有:先切化弦,再通分;利用辅助角公式化简;同角互化.16.某公园有一个人工湖,若要测量如图所示的人工湖的口径A、B两点间的距离,现在人工湖岸边取C、D两点,测得m,,,,则A、B两点的距离为__________m. 【答案】【解析】【分析】中根据角度关系易得,再在中,由正弦定理得到BD,然后在中,利用余弦定理求解.【详解】在中,因为,故,,所以,则.在中,因为,所以由正弦定理,得.在中,因为,所以由余弦定理得,故m.故答案为:四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,都是锐角,,.(1)求和的值;(2)求的值.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)由同角三角函数的基本关系及二倍角的正余弦公式求解; (2)根据角的变换,利用两角差的正弦公式求解.【小问1详解】是锐角,,,,,,.【小问2详解】,都是锐角,,又,,.18.已知半圆圆心为O,直径,C为半圆弧上靠近点A的三等分点,若P为半径OC上的动点,以O点为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示. (1)求在上投影向量的坐标;(2)若,当y取得最小值时,求点P的坐标及y的最小值.【答案】(1)(2)最小值为,此时点的坐标为【解析】【分析】(1)先求解在上投影向量大小,进而可得投影向量坐标;(2)设,即可表示出、,再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得.【小问1详解】因为半圆的直径,所以,,又,,则,即.故,,在上投影为,故在上投影向量的坐标为【小问2详解】设,                        由(1)知,,故,   ∴, 又∵,∴当时,有最小值为,      此时点的坐标为19.在复平面内,O是原点,向量对应的复数,.(1)若点A位于第四象限,求m的取值范围;(2)若点A关于实轴的对称点为点B,求向量对应的复数;(3)若,且,求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根据复数对应点确定实部、虚部的符号,列不等式组求解;(2)根据对称确定点B对应的复数,再由向量对应复数即为两点对应复数之差得解;(3)由复数相等列出方程组,消参数可得的表达式,利用正弦函数值域,配方求值域即可.【小问1详解】由题意对应点A位于第四象限,故,解得,即m的取值范围.小问2详解】点A对应的复数为,则关于实轴的对称点B对应的复数为,则对应的复数为,【小问3详解】,,即, 由,可知,故的取值范围为.20.在①;②;③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并进行解答.问题:在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且__________.(1)求角C;(2)若的内切圆半径,,求的外接圆半径R.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)选择①根据两角和的正切公式化简可得角,选择②根据余弦定理化简,再根据正弦定理边化角,结合三角恒等变换求解即可,选择③由正弦定理统一为边,再由余弦定理求解;(2)由余弦定理及三角形面积公式联立求解可得,进而根据正弦定理求解即可.【小问1详解】选择①:由已知得,所以,在中,,所以.选择②:由题意,故,由正弦定理,即,又,故,因为,故选择③:由已知及正弦定理得,所以,所以,因为,所以. 【小问2详解】由余弦定理得,①由等面积公式得.即.整理得,②联立①②,解得,由正弦定理,即21已知向量,,记函数.(1)将化为形式,并求最小正周期T;(2)求函数在区间上的值域;(3)将函数图象向右平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象,若在区间上至少有100个最大值,求a的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)利用数量积坐标公式及三角恒等变换化简即可得解;(2)根据自变量的范围求出的范围,利用正弦函数求解;(3)根据三角函数图象变换求出,利用三角函数的性质可得.【小问1详解】, 【小问2详解】当时,,,,即函数在区间上的值域为.【小问3详解】将函数图象向右平移个单位,得到,再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象,令,要使在区间上至少有100个最大值,由正弦函数的性质可得,.22.对于函数,若存在非零常数M,使得对任意的,都有成立,我们称函数为“M函数”;对于函数,若存在非零常数M,使得对任意的,都有成立,我们称函数为“严格M函数”.(1)求证:,是“M函数”;(2)若函数,是“函数”,求k的取值范围;(3)对于定义域为R的函数对任意的正实数M,均是“严格M函数”,若 ,求实数a的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】【分析】(1)根据“M函数”的定义,结合余弦函数的周期性,取证明即可;(2)由题意恒成立,化简可得,进而由余弦函数的最值求解即可;(3)由题意可得在R上为减函数,再根据单调性求解不等式可得,换元令,再根据同角三角函数的公式求解的最大值即可.【小问1详解】取,则,此时对任意的,都有成立,故是“函数”.【小问2详解】因为函数,是“函数”,故恒成立,即,即恒成立.又,故,,即k的取值范围为【小问3详解】由题意,对任意的,对任意的正实数M,都有成立,故在R上为减函数,又,故,易得,可令, 则,即,故实数a的最小值为

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-10-08 17:09:02 页数:19
价格:¥2 大小:1.02 MB
文章作者:随遇而安

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