2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式（Word版附解析）

专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：“知一求二”问题题型二：sinα，cosα的齐次式问题题型三：sinα±cosα，sinαcosα之间的关系题型四：诱导公式题型五：基本关系式与诱导公式的综合应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.【考点预测】1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tanα.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀奇变偶不变，符号看象限【常用结论】1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【方法技巧】1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.4.诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 5.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.6.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形；注意角的范围对三角函数符号的影响．二、【题型归类】【题型一】“知一求二”问题【典例1】已知α是第四象限角，且tanα＝－，则sinα＝(　　)A．－B.C.D．－【解析】因为tanα＝＝－，所以cosα＝－sinα　①.sin2α＋cos2α＝1　②，由①②得sin2α＝，又α是第四象限角，所以sinα<0，则sinα＝－，故选A.【典例2】已知α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为________．【解析】由tanα＝－，得sinα＝－cosα，且sinα>0，cosα<0，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，所以cosα＝－，sinα＝，故sinα＋cosα＝－.【典例3】已知cosα＝－，则13sinα＋5tanα＝. 【解析】∵cosα＝－<0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，则sinα＝＝＝，∴tanα＝＝＝－.此时13sinα＋5tanα＝13×＋5×＝0.②若α是第三象限角，则sinα＝－＝－＝－，∴tanα＝＝＝，此时，13sinα＋5tanα＝13×＋5×＝0.综上，13sinα＋5tanα＝0.【题型二】sinα，cosα的齐次式问题【典例1】已知＝－1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.【解析】由已知得tanα＝.(1)＝＝－. (2)sin2α＋sinαcosα＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.【典例2】已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则tanθ＝.【解析】方法一　由sinθ＋cosθ＝，得sinθcosθ＝－，因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以sinθ－cosθ＝＝，联立解得所以tanθ＝－.方法二　因为sinθ＋cosθ＝，所以sinθcosθ＝－，由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.又sinθcosθ＝－<0，θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0.所以sinθ＝，cosθ＝－.所以tanθ＝＝－.方法三　由sinθ＋cosθ＝，得sinθcosθ＝－，所以＝－.齐次化切，得＝－，即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0， 解得tanθ＝－或tanθ＝－.又θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝>0，sinθcosθ＝－<0，所以θ∈，所以tanθ＝－.【典例3】已知tanα＝，则＝；sin2α＋sinαcosα＋2＝.【解析】已知tanα＝，所以＝＝－.sin2α＋sinαcosα＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.【题型三】sinα±cosα，sinαcosα之间的关系【典例1】已知α∈(－π，0)，sinα＋cosα＝.(1)求sinα－cosα的值；(2)求的值．【解析】(1)由sinα＋cosα＝，平方得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，整理得2sinαcosα＝－. 所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝.由α∈(－π，0)，知sinα<0，又sinα＋cosα>0，所以cosα>0，则sinα－cosα<0，故sinα－cosα＝－.(2)＝＝＝＝－.【典例2】已知tanα＝－，则sinα(sinα－cosα)＝(　　)A.B.C.D.【解析】sinα(sinα－cosα)＝sin2α－sinαcosα＝＝，将tanα＝－代入得原式＝＝.故选A.【题型四】诱导公式【典例1】已知sin＝，则cos的值为(　　)A.B．－C.D．－【解析】cos＝cos ＝－sin＝－.故选D.【典例2】的值为(　　)A．－2B．－1C．1D．2【解析】原式＝＝＝－·＝－1.故选B.【典例3】已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则等于(　　)A.B．－C.D．－【解析】易知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，故tanα＝，则＝＝ ＝－＝－＝－.故选B.【题型五】基本关系式与诱导公式的综合应用【典例1】已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是(　　)A．B．C．D．【解析】由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝.故选C.【典例2】已知α是第三象限角，且f(α)＝.①化简f(α)；②若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值；③若α＝－420°，求f(α)的值．【解析】①由题可得，f(α)＝＝＝－cosα.②因为tan(π－α)＝－2，所以tanα＝2.所以sinα＝2cosα.所以(2cosα)2＋cos2α＝1.所以cos2α＝. 因为α是第三象限角，所以cosα＝－，所以f(α)＝.③因为cos(－420°)＝cos420°＝cos60°＝，所以f(α)＝－cosα＝－.【典例3】已知tan(－2019π＋θ)＝－2，则2sinsin＝(　　)A．－2B．C．D．【解析】因为tan(－2019π＋θ)＝－2，所以tanθ＝－2.则2sinsin＝(sinθ－cosθ)(sinθ＋cosθ)＝sin2θ－cos2θ＋(－1)sinθcosθ＝＝＝＝.故选B．三、【培优训练】【训练一】已知α为第二象限角，则cosα＋sinα＝________.【解析】原式＝cosα＋sinα＝cosα＋sinα， 因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以cosα＋sinα＝－1＋1＝0，即原式等于0.【训练二】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值是________.【解析】由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ－sinθ，∵小正方形的面积是，∴(cosθ－sinθ)2＝，∵θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ＞sinθ，∴cosθ－sinθ＝，又∵(cosθ－sinθ)2＝1－2sinθcosθ＝，∴2sinθcosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，即(cosθ＋sinθ)2＝，∴cosθ＋sinθ＝，∴sin2θ－cos2θ＝(cosθ＋sinθ)(sinθ－cosθ)＝－.【训练三】(多选)已知f(α)＝，则下列说法正确的是(　　)A．f(α)的最小值为－B．f(α)的最小值为－1C．f(α)的最大值为－1D．f(α)的最大值为1－【解析】设t＝sinα＋cosα＝sin，由0≤α≤， 得≤α＋≤，则1≤t≤，又由(sinα＋cosα)2＝t2，得2sinαcosα＝t2－1，所以f(α)＝g(t)＝＝t－1－，又因为函数y＝t－1和y＝－在[1，]上单调递增，所以g(t)＝t－1－在[1，]上单调递增，g(t)min＝g(1)＝－1，g(t)max＝g()＝1－.【训练四】已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．【解析】(1)原式＝＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ.由已知得sinθ＋cosθ＝，所以＋＝.(2)由已知得sinθcosθ＝， 因为1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，所以1＋m＝2，解得m＝.(3)联立解得或因为θ∈(0,2π)，所以θ＝或.【训练五】已知sinα＝1－sin，求sin2α＋sin＋1的取值范围．【解析】因为sinα＝1－sin＝1－cosβ，所以cosβ＝1－sinα.因为－1≤cosβ≤1，所以－1≤1－sinα≤1,0≤sinα≤2，又－1≤sinα≤1，所以sinα∈[0,1]．所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cosβ＋1＝sin2α－sinα＋2＝2＋.(*)又sinα∈[0,1]，所以当sinα＝时，(*)式取得最小值；当sinα＝1或sinα＝0时，(*)式取得最大值2，故所求取值范围为.【训练六】在△ABC中，(1)求证：cos2＋cos2＝1；(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．【解析】(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，所以＝－， 所以cos＝cos＝sin，所以cos2＋cos2＝1.(2)若cossintan(C－π)＜0，所以(－sinA)(－cosB)tanC＜0，即sinAcosBtanC＜0.因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sinA＞0，所以或所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．四、【强化测试】【单选题】1.已知α∈(0，π)，cosα＝－，则tanα＝(　　)A.B．－C.D．－【解析】∵cosα＝－且α∈(0，π)，∴sinα＝＝，∴tanα＝＝－.故选D.2.已知sin＝，则cos的值是(　　)A．－B.C.D．－【解析】∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－，故选A. 3.log2的值为(　　)A．－1B．－C.D.【解析】log2＝log2＝log2＝－.故选B.4.若sin＝－，且α∈，π，则sin(π－2α)＝(　　)A．－B．－C.D.【解析】∵sin＝cosα＝－，α∈，∴sinα＝，∴sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.故选A.5.若＝2，则cosα－3sinα＝(　　)A．－3B．3C．－D.【解析】∵＝2，∴cosα＝2sinα－1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋(2sinα－1)2＝1,5sin2α－4sinα＝0，解得sinα＝或sinα＝0(舍去)，∴cosα－3sinα＝－sinα－1＝－.故选C.6.已知sin＝，则cos等于(　　)A.B. C．－D．－【解析】　cos＝cos＝sin＝.故选A.7.已知sin2α＝，则tanα＋＝(　　)A.B.C．3D．2【解析】tanα＋＝＋＝＝＝＝3.故选C.8.已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　　)A.B.C．－D．－【解析】因为sinα＋2cosα＝，sin2α＋cos2α＝1，解得或所以tanα＝3或－.所以tan2α＝＝＝－或tan2α＝＝＝－.故选C.【多选题】9.在△ABC中，下列结论正确的是(　　)A．sin(A＋B)＝sinCB．sin＝cosC．tan(A＋B)＝－tanCD．cos(A＋B)＝cosC【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π， 则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确．sin＝sin＝cos，B正确．tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，C正确．cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误．故选ABC.10.已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝，则(　　)A.<α<πB．sinαcosα＝－C．cosα－sinα＝D．cosα－sinα＝－【解析】∵sinα＋cosα＝，等式两边平方得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，解得sinαcosα＝－，故B正确；∵α∈(0，π)，sinαcosα＝－<0，∴α∈，故A正确；cosα－sinα<0，且(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝， 解得cosα－sinα＝－，故D正确．故选ABD.11.已知角α满足sinα·cosα≠0，则表达式＋(k∈Z)的取值可能为(　　)A．－2B．－1或1C．2D．－2或2或0【解析】当k为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；当k为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.∴原表达式的取值可能为－2或2.故选AC.12.若sinα＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　)A．tanα＝B．cosα＝C．sinα＋cosα＝D．sinα－cosα＝－【解析】∵sinα＝，且α为锐角，∴cosα＝＝＝，故B正确，∴tanα＝＝＝，故A正确，∴sinα＋cosα＝＋＝≠，故C错误， ∴sinα－cosα＝－＝≠－，故D错误．故选AB.【填空题】13.若＝，则tanθ＝________.【解析】因为＝＝，所以2(sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.14.若tanα＝－2，则cos2α＋2sin2α＝________.【解析】原式＝＝＝＝＝－.15.已知－＜α＜0，sinα＋cosα＝，则的值为________.【解析】由题意，因为sinα＋cosα＝，所以1＋2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝－，所以(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，又因为－＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＝，所以＝＝. 16.已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.【解析】由题意，得cos＝，∴tan＝.∴tan＝tan＝－＝－.【解答题】17.(1)已知cosα是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求的值；(2)已知sinx＋cosx＝－(0<x<π)，求cosx－2sinx的值．【解析】(1)因为方程3x2－x－2＝0的根为x1＝1，x2＝－，又α是第三象限角，所以cosα＝－，所以sinα＝－，tanα＝.所以原式＝＝tan2α＝.(2)∵sinx＋cosx＝－(0<x<π)，∴cosx<0，sinx>0，即sinx－cosx>0，把sinx＋cosx＝－，两边平方得1＋2sinxcosx＝， 即2sinxcosx＝－，∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝，即sinx－cosx＝，联立解得sinx＝，cosx＝－，∴cosx－2sinx＝－.18.已知角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)．(1)求的值；(2)若α是第二象限角，求sin2＋sin(π－α)cosα－cos的值．【解析】(1)∵m≠0，∴cosα≠0，即＝＝.又∵角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)，∴tanα＝＝－2，故＝ ＝＝－.(2)∵α是第二象限角，∴m<0，则sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，∴sin2＋sin(π－α)cosα－cos＝cos2α＋sinαcosα＋sinα＝2＋×＋＝.19.已知f(α)＝.(1)若cos＝，α是第三象限角，求f(α)的值；(2)若α＝－，求f(α)的值．【解析】f(α)＝＝－cosα.(1)cos＝－sinα＝， ∴sinα＝－.∵α是第三象限角，∴cosα＝－＝－.f(α)＝－cosα＝.(2)f(α)＝－cos＝－cos＝－.20.已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sinα·－1.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，求sinαcosα和sinα－cosα的值．【解析】(1)f(α)＝sinα－sinα·－1＝sinα＋sinα·－1＝sinα＋cosα.(2)方法一　由f(α)＝sinα＋cosα＝，平方可得sin2α＋2sinα·cosα＋cos2α＝，即2sinα·cosα＝－.∴sinα·cosα＝－.又－<α<0，∴sinα<0，cosα>0，∴sinα－cosα<0，∵(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝，∴sinα－cosα＝－. 方法二　联立方程解得或∵－<α<0，∴∴sinαcosα＝－，sinα－cosα＝－.21.已知α为第三象限角，f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．【解析】(1)f(α)＝＝＝－cosα.(2)因为cos(α－)＝，所以－sinα＝，从而sinα＝－.又α为第三象限角，所以cosα＝－＝－，所以f(α)＝－cosα＝.22.是否存在α∈，β∈使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．【解析】假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.所以sin2α＝，所以sinα＝±.因为α∈，所以α＝±.当α＝时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立；当α＝－时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式不成立，故舍去．所以存在α＝，β＝满足条件．