2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题19利用导数研究函数的零点（Word版附解析）

专题19利用导数研究函数的零点知识梳理方法技巧题型归类题型一：判断、证明或讨论零点的个数题型二：根据零点情况求参数范围题型三：利用函数性质研究函数零点题型四：与函数零点相关的综合问题培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试解答题：共16题一、【知识梳理】【方法技巧】1.利用导数求函数的零点常用方法(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.2.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.3.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.4.利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件． 二、【题型归类】【题型一】判断、证明或讨论零点的个数【典例1】已知函数f(x)＝xsinx－.判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明.【解析】f(x)在(0，π)内有且只有两个零点.证明如下：∵f′(x)＝sinx＋xcosx，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)＝xsinx－，从而有f(0)＝－＜0，f＝＞0，又f(x)在上的图象是连续不间断的.所以f(x)在内至少存在一个零点.又f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且只有一个零点.当x∈时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.由g＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在上的图象是连续不间断的，故存在m∈，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈时，有g′(x)＜0，从而g(x)在内单调递减.当x∈时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，故当x∈时，f(x)≥f＝＞0，故f(x)在上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减. 又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点.综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点.【典例2】已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1).(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点.【解析】(1)解　当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)单调递增，在(3－2，3＋2)单调递减.(2)证明　由于x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于－3a＝0.设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点.综上，f(x)只有一个零点.【典例3】已知函数f(x)＝x－alnx(a>0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数g(x)＝x2－ax－f(x)的零点个数．【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝x－alnx可得 f′(x)＝1－＝，由f′(x)>0可得x>a；由f′(x)<0可得0<x<a，所以f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．(2)由g(x)＝x2－ax－x＋alnx＝x2－(a＋1)x＋alnx，可得g′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝，令g′(x)＝0可得x＝1或x＝a，因为g(1)＝－a－1＝－a－<0，g(2a＋3)＝(2a＋3)2－(a＋1)(2a＋3)＋aln(2a＋3)＝a＋aln(2a＋3)＋>0，当a>1时，g(x)在(1，a)上单调递减，所以g(1)>g(a)，所以g(a)<0，所以g(x)有一个零点，当a＝1时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)有一个零点，当0<a<1时，g(x)在(0，a)上单调递增，在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时g(a)＝a2－(a＋1)a＋alna＝－a2－a＋alna<0， g(x)只有一个零点，综上所述，g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．【题型二】根据零点情况求参数范围【典例1】函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b.因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，所以解得a＝－，b＝－2，由导函数的图象可知(图略)，当－1<x<2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x<－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－1，2)．(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，在(－1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，极小值为f(2)＝c－. 而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得－<c<.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.【典例2】已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．【解析】(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，又f(0)＝1－a＝2，得a＝－1，所以f(x)＝ex－x＋1，求导得f′(x)＝ex－1.易知f(x)在[－2，0]上单调递减，在(0，1]上单调递增，所以当x＝0时，f(x)在[－2，1]上取得最小值2.(2)由(1)知f′(x)＝ex＋a，由于ex>0，①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上是增函数，当x>1时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0；当x<0时，取x＝－，则f<1＋a＝－a<0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意．②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a)．在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值．函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，解得－e2<a<0.综上所述，实数a的取值范围是(－e2，0)．【典例3】已知函数f(x)＝x3－kx＋k2. (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝3x2－k.当k＝0时，f(x)＝x3，故f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．当k＜0时，f′(x)＝3x2－k＞0，故f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．当k＞0时，令f′(x)＝0，得x＝±.当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.故f(x)在，单调递增，在单调递减．(2)由(1)知，当k≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，f(x)不可能有三个零点．当k＞0时，x＝－为f(x)的极大值点，x＝为f(x)的极小值点．此时，－k－1＜－＜＜k＋1且f(－k－1)＜0，f(k＋1)＞0，f＞0.根据f(x)的单调性，当且仅当f＜0，即k2－＜0时，f(x)有三个零点，解得k＜.因此k的取值范围为.【题型三】利用函数性质研究函数零点【典例1】已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，g(x)＝x2＋4.(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．【解析】(1)解　f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.当x∈∪时，f′(x)>0；当x∈∪时，f′(x)<0，∴f(x)在，上单调递增，在，上单调递减．(2)证明　h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx，∵h(－x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝h(x)，∴h(x)为偶函数． 又∵h(0)＝0，∴x＝0为函数h(x)的零点．下面讨论h(x)在(0，＋∞)上的零点个数：h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝x(x－4sinx)＋4(1－cosx)．当x∈[4，＋∞)时，x－4sinx>0,4(1－cosx)≥0，∴h(x)>0，∴h(x)无零点；当x∈(0,4)时，h′(x)＝2x－4xcosx＝2x(1－2cosx)，当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，∴h(x)在上单调递减，在上单调递增，∴h(x)min＝h＝＋4－sin－4cos＝＋2－<0，又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin4－4cos4>0，∴h(x)在上无零点，在上有唯一零点．综上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，又h(0)＝0且h(x)为偶函数，故h(x)在R上有且仅有三个零点．【典例2】已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．【解析】(1)解　当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3， f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2)．(2)证明　因为x2＋x＋1>0在R上恒成立，所以f(x)＝0等价于－3a＝0.设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0在R上恒成立，当且仅当x＝0时，g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．综上所述，f(x)只有一个零点．【典例3】已知函数f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：(1)f′(x)在区间上存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点．【解析】(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝cosx－， 令g(x)＝cosx－，x∈，∴g′(x)＝－sinx＋，x∈，易知g′(x)在上单调递减．又g′(0)＝－sin0＋1＝1>0，g′＝－sin＋＝－1<0，∴∃x0∈，使得g′(x0)＝0.∴当x∈(－1，x0)时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0，∴g(x)在(－1，x0)上单调递增，在上单调递减．故x＝x0为g(x)在区间上唯一的极大值点，即f′(x)在区间上存在唯一的极大值点x0.(2)由(1)知f′(x)＝cosx－，x∈(－1，＋∞)．①当x∈(－1,0]时，由(1)可知f′(x)在(－1,0]上单调递增，∴f′(x)≤f′(0)＝0，∴f(x)在(－1,0]上单调递减，又f(0)＝0.∴x＝0为f(x)在(－1,0]上的唯一零点．②当x∈时，f′(x)在(0，x0)上单调递增，在上单调递减，又f′(0)＝0，∴f′(x0)>0，∴f(x)在(0，x0)上单调递增，此时f(x)>f(0)＝0，不存在零点，又f′＝cos－＝－<0，∴∃x1∈，使得f′(x1)＝0， ∴f(x)在(x0，x1)上单调递增，在上单调递减，又f(x0)>f(0)＝0，f ＝sin－ln＝ln>ln1＝0.∴f(x)>0在上恒成立，不存在零点．③当x∈时，易知f(x)在上单调递减，又f >0，f(π)＝sinπ－ln(π＋1)＝－ln(π＋1)<0，∴f(x)在上存在唯一零点．④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>ln(π＋1)>1，∴f(x)＝sinx－ln(1＋x)<0，∴f(x)在(π，＋∞)上不存在零点，综上所述，f(x)有且仅有2个零点．【题型四】与函数零点相关的综合问题【典例1】已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝(x>0)，f′(x)＝(x>0)，令f′(x)>0，则0<x<，此时函数f(x)单调递增，令f′(x)<0，则x>，此时函数f(x)单调递减， 所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，可转化为方程＝1(x>0)有两个不同的解，即方程＝有两个不同的解．设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝(x>0)，令g′(x)＝＝0，得x＝e，当0<x<e时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，故g(x)max＝g(e)＝，且当x>e时，g(x)∈，又g(1)＝0，所以0<<，所以a>1且a≠e，即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞)．【典例2】设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.【解析】(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0).当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；当a>0时，因为y＝e2x单调递增，y＝－单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f′(a)>0，当b满足0<b<，且b<时，f′(b)<0， (讨论a≥1或a<1来检验，①当a≥1时，则0<b<，f′(b)＝2e2b－<2e－4a<2e－4<0；②当a<1时，则0<b<，f′(b)＝2e2b－<2e－4<2e－4<0，综上，f′(b)<0.)故当a>0时，f′(x)存在唯一零点.(2)证明　由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.故当a>0时，f(x)≥2a＋aln.【典例3】设函数f(x)＝x3＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点处的切线与y轴垂直.(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.【解析】(1)解　f′(x)＝3x2＋b.依题意得f′＝0，即＋b＝0，故b＝－.(2)证明　由(1)知f(x)＝x3－x＋c，f′(x)＝3x2－.令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.f′(x)与f(x)的情况为：x－ f′(x)＋0－0＋f(x)c＋c－因为f(1)＝f＝c＋，所以当c<－时，f(x)只有大于1的零点.因为f(－1)＝f＝c－，所以当c>时，f(x)只有小于－1的零点.由题设可知－≤c≤.当c＝－时，f(x)只有两个零点－和1.当c＝时，f(x)只有两个零点－1和.当－<c<时，f(x)有三个零点x1，x2，x3，且x1∈，x2∈，x3∈.综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.三、【培优训练】【训练一】已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(a－b－1)x＋b＋1(a，b∈R)．(1)若a＝0，试讨论f(x)的单调性；(2)若0<a<2，b＝1，实数x1，x2为方程f(x)＝m－ax2的两个不等实根，求证：＋>4－2a.【解析】(1)依题意知x>0，当a＝0时，f′(x)＝－(b＋1)．①当b≤－1时，f′(x)>0恒成立，此时f(x)在定义域上单调递增；②当b>－1时，x∈时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0，故f(x)在 上单调递增，在上单调递减．(2)证明：由f(x)＝m－ax2得lnx＋(a－2)x＋2－m＝0，令g(x)＝lnx＋(a－2)x＋2，x>0，则g(x1)＝g(x2)＝m，依题意有lnx1＋(a－2)x1＝lnx2＋(a－2)x2，所以a－2＝，要证＋>4－2a，只需证>2(2－a)＝(不妨设x1<x2)，即证－<－2ln，即证2ln＋－<0，令＝t(t>1)，则g(t)＝2lnt－t＋，因为g′(t)＝－1－＝－<0，所以g(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以g(t)<g(1)＝0，从而有＋>4－2a.【训练二】设函数f(x)＝x3＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点处的切线与y轴垂直．(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.【解析】(1)f′(x)＝3x2＋b.依题意得f′＝0，即＋b＝0.故b＝－.(2)由(1)知f(x)＝x3－x＋c，f′(x)＝3x2－.令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.f′(x)与f(x)的情况为： x－f′(x)＋0－0＋f(x)c＋c－因为f(1)＝f＝c＋，所以当c<－时，f(x)只有大于1的零点．因为f(－1)＝f＝c－，所以当c>时，f(x)只有小于－1的零点．由题设可知－≤c≤.当c＝－时，f(x)只有两个零点－和1.当c＝时，f(x)只有两个零点－1和.当－<c<时，f(x)有三个零点x1，x2，x3，且x1∈，x2∈，x3∈.综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.【训练三】已知函数f(x)＝aex－aex－1，g(x)＝－x3－x2＋6x，其中a>0.(1)若曲线y＝f(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程；(2)若f(x)＝g(x)＋m在[0，＋∞)上有解，求实数m的取值范围．【解析】(1)因为f(0)＝a－1＝0，所以a＝1，此时f(x)＝ex－ex－1.所以f′(x)＝ex－e，f′(0)＝1－e.所以曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝(1－e)x.(2)因为f(x)＝aex－aex－1，所以f′(x)＝aex－ae＝a(ex－e)．当x>1时，f′(x)>0；当0<x<1时，f′(x)<0.所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(1)＝－1.令h(x)＝g(x)＋m＝－x3－x2＋6x＋m，则h′(x)＝－3x2－3x＋6＝－3(x＋2)(x－1)． 当x>1时，h′(x)<0；当0<x<1时，h′(x)>0.所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以当x∈[0，＋∞)时，h(x)max＝h(1)＝＋m.要使f(x)＝g(x)＋m在[0，＋∞)上有解，则＋m≥－1，即m≥－.所以实数m的取值范围为.【训练四】已知函数f(x)＝ex＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明x1＋x2>－2.【解析】(1)解　易得f′(x)＝－k，当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝lnk－1，可得当x∈(－∞，lnk－1)时，f′(x)<0；当x∈(lnk－1，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(－∞，lnk－1)上单调递减，在区间(lnk－1，＋∞)上单调递增．当k≤0时，f′(x)＝ex＋1－k>0恒成立，故此时函数f(x)在R上单调递增．综上，当k≤0时，f(x)在R上单调递增，当k>0时，f(x)在(－∞，lnk－1)上单调递减，在(lnk－1，＋∞)上单调递增．(2)证明　当k≤0时，由(1)知函数f(x)在R上单调递增，不存在两个零点，所以k>0，由题意知＝k(x1＋2)，＝k(x2＋2)，所以x1＋2>0，x2＋2>0，可得x1－x2＝ln ，不妨设x1>x2，令＝t，则t>1，由解得x1＋2＝，x2＋2＝，所以x1＋x2＋4＝， 欲证x1＋x2>－2，只需证明>2，即证(t＋1)lnt－2(t－1)>0，令g(t)＝(t＋1)lnt－2(t－1)(t≥1)，则g′(t)＝lnt＋(t＋1)－2＝lnt＋－1.令h(t)＝lnt＋－1(t≥1)，则h′(t)＝－≥0，h(t)单调递增，所以g′(t)≥g′(1)＝0.所以g(t)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以当t>1时，g(t)>g(1)＝0，即(t＋1)lnt－2(t－1)>0，原不等式得证．【训练五】已知函数f(x)＝－2(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在点处的切线经过坐标原点，求实数a；(2)当a>0时，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．【解析】(1)f′(x)＝，f′＝π，所以f(x)在点处的切线方程为y＝πx，所以f ＝，即－a－2＝，a＝－－2.(2)因为x∈(0，π)，所以sinx>0，所以－2＝0可转化为x2－a－2sinx＝0，设g(x)＝x2－a－2sinx，则g′(x)＝2x－2cosx，当x∈时，g′(x)>0， 所以g(x)在区间上单调递增．当x∈时，设h(x)＝g′(x)＝2x－2cosx，此时h′(x)＝2＋2sinx>0，所以g′(x)在x∈上单调递增，又g′(0)＝－2<0，g′＝π>0，所以存在x0∈使得g′(x)＝0且x∈(0，x0)时g(x)单调递减，x∈时g(x)单调递增．综上，对于连续函数g(x)，当x∈(0，x0)时，g(x)单调递减，当x∈(x0，π)时，g(x)单调递增．又因为g(0)＝－a<0，所以当g(π)＝π2－a>0，即a<π2时，函数g(x)在区间(x0，π)上有唯一零点，当g(π)＝π2－a≤0，即a≥π2时，函数g(x)在区间(0，π)上无零点，综上可知，当0<a<π2时，函数f(x)在(0，π)上有1个零点；当a≥π2时，函数f(x)在(0，π)上没有零点．【训练六】已知函数f(x)＝x3－3kx＋2，k∈R.(1)若x＝－2是函数f(x)的极值点，求k的值及f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[0，2]上有且仅有2个零点，求f(x)在[0，2]上的最大值g(k).【解析】(1)由题意知，f(x)＝x3－3kx＋2的定义域为R，f′(x)＝3x2－3k，∴f′(－2)＝12－3k＝0，解得k＝4，∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，∵x∈(－2，2)时，f′(x)＜0；x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0.∴f(x)的单调增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，单调减区间为(－2，2).(2)由(1)知，f′(x)＝3(x2－k)， ①当k≤0时，f′(x)＝3(x2－k)≥0恒成立，∴f(x)在[0，2]上单调递增，最多只有1个零点，不符合条件，舍去.②当k≥4时，当x∈[0，2]时，f′(x)＝3(x2－k)≤0恒成立，∴f(x)在[0，2]上单调递减，最多只有1个零点，不符合条件，舍去.③当0＜k＜4时，令f′(x)＝3(x2－k)＜0得0＜x＜，∴f(x)在(0，)上递减，在(，2)上递增，要使函数f(x)在区间[0，2]上有且仅有2个零点，必有即解得1＜k≤，当f(2)－f(0)≥0，即1＜k≤时，由f(x)的单调性可知f(x)max＝f(2)＝10－6k，同理，当f(2)－f(0)＜0，即＜k≤时，f(x)max＝f(0)＝2，∴f(x)在[0，2]上的最大值g(k)＝四、【强化测试】【解答题】1.已知函数f(x)＝a＋lnx(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)试判断f(x)的零点个数．【解析】(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝()′lnx＋· ＝，令f′(x)＞0，解得x＞e－2，令f′(x)<0，解得0<x<e－2，所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增．(2)由(1)得f(x)min＝f(e－2)＝a－，显然a≤0时，f(x)＝0，有1个零点，a＞时，f(x)＞0，无零点，a＝时，f(x)＝0，有1个零点，0<a<时，f(x)<0，有2个零点．2.已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围．【解析】(1)因为函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A，所以－4a－4a－2＝，解得a＝2，即f(x)＝x3－x2－2x－2，所以f′(x)＝x2－x－2.由f′(x)>0，得x<－1或x>2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)由(1)知f(x)极大值＝f(－1)＝－－＋2－2＝－，f(x)极小值＝f(2)＝－2－4－2＝－，由数形结合，可知要使函数g(x)＝f(x)－2m＋3有三个零点， 则－<2m－3<－，解得－<m<.所以m的取值范围为.3.已知函数f(x)＝aex－aex－1，g(x)＝－x3－x2＋6x，其中a>0.(1)若曲线y＝f(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程；(2)若f(x)＝g(x)＋m在[0，＋∞)上有解，求实数m的取值范围．【解析】(1)因为f(0)＝a－1＝0，所以a＝1，此时f(x)＝ex－ex－1.所以f′(x)＝ex－e，f′(0)＝1－e.所以曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝(1－e)x.(2)因为f(x)＝aex－aex－1，所以f′(x)＝aex－ae＝a(ex－e)．当x>1时，f′(x)>0；当0<x<1时，f′(x)<0.所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(1)＝－1.令h(x)＝g(x)＋m＝－x3－x2＋6x＋m，则h′(x)＝－3x2－3x＋6＝－3(x＋2)(x－1)．当x>1时，h′(x)<0；当0<x<1时，h′(x)>0.所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以当x∈[0，＋∞)时，h(x)max＝h(1)＝＋m.要使f(x)＝g(x)＋m在[0，＋∞)上有解，则＋m≥－1，即m≥－.所以实数m的取值范围为.4.已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围． 【解析】(1)f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，由题意知解得∴a＝1，b＝3e.(2)g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，∴u(x)在(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，∴u(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，∴－e<m<0，∴实数m的取值范围为(－e,0)．5.已知函数f(x)＝ex－(k＋1)lnx＋2sinα.(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数k的取值范围；(2)当k＝0时，证明：函数f(x)无零点．【解析】(1)解　f′(x)＝ex－，x>0，∵函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴ex－≥0在(0，＋∞)上恒成立，即k＋1≤xex在(0，＋∞)上恒成立，设h(x)＝xex，则h′(x)＝(x＋1)ex>0在(0，＋∞)上恒成立．∴函数h(x)＝xex在(0，＋∞)上单调递增，则h(x)>h(0)＝0，∴k＋1≤0，即k≤－1， 故实数k的取值范围是(－∞，－1]．(2)证明　当k＝0时，f′(x)＝ex－，x>0，令g(x)＝ex－，x>0，则g′(x)＝ex＋>0，∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′＝－2<0，f′(1)＝e－1>0，∴存在m∈，使得f′(m)＝0，得em＝，故m＝－lnm，当x∈(0，m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(m)＝em－lnm＋2sinα＝＋m＋2sinα>2＋2sinα≥0，∴函数f(x)无零点．6.已知函数f(x)＝lnx－aex＋1(a∈R)．(1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数；(2)讨论函数f(x)的零点个数．【解析】(1)由f(x)＝lnx－aex＋1，知x∈(0，＋∞)．当a＝1时，f(x)＝lnx－ex＋1，f′(x)＝－ex，显然f′(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f′＝2－>0，f′(1)＝1－e<0，所以f′(x)在上存在零点x0，且是唯一零点，当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0， 所以x0是f(x)＝lnx－ex＋1的极大值点，且是唯一极值点．(2)令f(x)＝lnx－aex＋1＝0，则a＝.令y＝a，g(x)＝，g′(x)＝(x>0)．令h(x)＝－lnx－1，则h′(x)＝－－<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减．故g(x)max＝g(1)＝.又g＝0，当x>1且x→＋∞时，g(x)>0且g(x)→0，作出函数g(x)＝的图象如图所示．结合图象知，当a>时，f(x)无零点，当a≤0或a＝时，f(x)有1个零点，当0<a<时，f(x)有两个零点．7.已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e. (1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围．【解析】(1)f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，由题意知解得∴a＝1，b＝3e.(2)g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，∴u(x)在(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，∴u(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，∴实数m的取值范围为{m|－e<m<0}．8.已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．【解析】(1)F(x)＝ax2－2lnx，其定义域为(0，＋∞)，∴F′(x)＝2ax－＝(x>0)．①当a>0时，由ax2－1>0，得x>，由ax2－1<0，得0<x<，故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．②当a≤0时，F′(x)<0(x>0)恒成立．故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减． 综上，当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，F(x)在上单调递减，在上单调递增．(2)方程f(x)＝g(x)在[1，e]上有两个不相等的解，即a＝在[1，e]上有两个不同的解，∴y＝a与φ(x)＝，x∈[1，e]有两个不同的交点，φ′(x)＝，令φ′(x)＝0，得x＝；∴当x∈[1，)时，φ′(x)>0，当x∈(，e]时，φ′(x)<0，∴φ(x)在[1，)上单调递增，在(，e]上单调递减，∴φ(x)max＝φ()＝，又φ(e)＝，φ(1)＝0，∴要使y＝a与y＝φ(x)有两个不同的交点，则≤a<，故a的取值范围是.9.已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．【解析】(1)由f(x)＝ex＋ax－a，得f′(x)＝ex＋a.∵函数f(x)在x＝0处取得极值，∴f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝ex－x＋1，f′(x)＝ex－1.∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．易知f(x)在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，且f(－2)＝＋3，f(1)＝e，f(－2)>f(1)，∴f(x)在[－2,1]上的最大值是＋3.(2)f′(x)＝ex＋a.①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，且当x>1时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0，当x<0时，取x＝－，则f <1＋a＝－a<0，∴函数f(x)存在零点，不满足题意．②当a<0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，则x＝ln(－a)．当x∈(－∞，ln(－a))时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，也是最小值．函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，解得－e2<a<0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)10.已知函数f(x)＝lnx－x2＋ax，a∈R.(1)证明：lnx≤x－1；(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数．【解析】(1)证明　令g(x)＝lnx－x＋1(x>0)，则g(1)＝0，g′(x)＝－1＝，可得x∈(0,1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．∴当x＝1时，函数g(x)取得极大值也是最大值，∴g(x)≤g(1)＝0，即lnx≤x－1. (2)解　f′(x)＝－2x＋a＝，x>0.令－2x＋ax0＋1＝0，解得x0＝(负值舍去)，在(0，x0)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；在(x0，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．∴f(x)max＝f(x0)．当a＝1时，x0＝1，f(x)max＝f(1)＝0，此时函数f(x)只有一个零点x＝1.当a>1时，f(1)＝a－1>0，f ＝ln－＋<－1－＋＝－2－<0，f(2a)＝ln2a－2a2<2a－1－2a2＝－22－<0.∴函数f(x)在区间和区间(1,2a)上各有一个零点．综上可得，当a＝1时，函数f(x)只有一个零点x＝1；当a>1时，函数f(x)有两个零点．11.已知函数f(x)＝a＋lnx(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)试判断f(x)的零点个数．【解析】(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝()′lnx＋·＝，令f′(x)＞0，解得x＞e－2，令f′(x)<0，解得0<x<e－2，所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增．(2)由(1)得f(x)min＝f(e－2)＝a－， 显然a＞时，f(x)＞0，无零点，a＝时，f(x)＝0，有1个零点，a<时，f(x)<0，有2个零点．12.已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围．【解析】(1)因为函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A，所以－4a－4a－2＝，解得a＝2，即f(x)＝x3－x2－2x－2，所以f′(x)＝x2－x－2.由f′(x)>0，得x<－1或x>2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)由(1)知f(x)极大值＝f(－1)＝－－＋2－2＝－，f(x)极小值＝f(2)＝－2－4－2＝－，由数形结合，可知要使函数g(x)＝f(x)－2m＋3有三个零点，则－<2m－3<－，解得－<m<.所以m的取值范围为.13.已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【证明】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋lnx－1＝lnx－.因为y＝lnx单调递增，y＝单调递减，所以f′(x)单调递增．又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln2－＝>0，故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.又当x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.由α>x0>1得<1<x0.又f＝ln－－1＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．14.已知函数f(x)＝aex－－1，其中a＞0.若函数f(x)有唯一零点，求a的值．【解析】要使函数f(x)有唯一零点，则需关于x的方程a＝有唯一的解．　设g(x)＝，则g′(x)＝，设h(x)＝1－2x－ex，则h′(x)＝－2－ex＜0，所以h(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，又h(0)＝0，所以当x∈(－∞，0)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增；当x∈(0，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．所以g(x)的最大值为g(0)＝1，所以当x∈(－∞，0]时，g(x)∈(－∞，1]； 当x∈(0，＋∞)时，g(x)∈(0，1)．又a＞0，所以当方程a＝有唯一解时，a＝1.所以函数f(x)有唯一零点时，a的值为1.15.设函数f(x)＝x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数．【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上，函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mlnx，x>0，题中问题等价于求函数F(x)的零点个数．F′(x)＝－，当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，因为F(1)＝>0，F(4)＝－ln4<0，所以F(x)有唯一零点；当m>1时，0<x<1或x>m时，F′(x)<0；1<x<m时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，因为F(1)＝m＋>0，F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零点．综上，函数F(x)有唯一零点，即函数f(x)与g(x)的图象总有一个交点． 16.已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，g(x)＝x2＋4.(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．【解析】(1)解　f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.当x∈∪时，f′(x)>0；当x∈∪时，f′(x)<0，∴f(x)在，上单调递增，在，上单调递减．(2)证明　h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx，∵h(－x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝h(x)，∴h(x)为偶函数．又∵h(0)＝0，∴x＝0为函数h(x)的零点．下面讨论h(x)在(0，＋∞)上的零点个数：h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝x(x－4sinx)＋4(1－cosx)．当x∈[4，＋∞)时，x－4sinx>0,4(1－cosx)≥0，∴h(x)>0，∴h(x)无零点；当x∈(0,4)时，h′(x)＝2x－4xcosx＝2x(1－2cosx)，当x∈时，h′(x)<0；x∈时，h′(x)>0，∴h(x)在上单调递减，在上单调递增，∴h(x)min＝h＝＋4－sin－4cos＝＋2－<0，又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin4－4cos4>0， ∴h(x)在上无零点，在上有唯一零点．综上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，又h(0)＝0且h(x)为偶函数，故h(x)在R上有三个零点．