考点19 直线和圆的方程（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）-(解析版）

考点19直线和圆的方程（核心考点讲与练）一、直线与方程1.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).2.直线的斜率(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠)，则k＝tan__θ.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点＝与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距＋＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线二、两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.二、圆的方程1.圆的定义和圆的方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：半径r＝2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.四、直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<02.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数432101.求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tanα的取值范围．(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2.已知两直线的一般方程两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2； A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.3.判断直线与圆的位置关系常见的方法：(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．4.求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝.5.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2022·山东淄博·模拟预测）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题可知，则可求得斜率，进而求得直线方程. 【详解】由圆方程可知圆心，则，由题可知，所以，又MN过点，根据点斜式公式可知直线MN的方程是.故选：B.2.（2021天津市第七中学月考）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】D【分析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.【详解】由题设，直线斜率，若直线的倾斜角为，则，∵，∴.故选：D3．（2022·天津南开·一模）已知函数．若函数的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】A【分析】作出函数的图象，作出直线，由图象知只要直线与的图象在轴左右两侧各有两个交点，则的图象就经过四个象限（时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负），因此求得直线的斜率，再求得直线与相切的切线斜率（注意取舍）即可得结论．【详解】作出函数的图象，如图，作出直线，它过定点，由图可得，只要直线与的图象在轴左右两侧各有两个交点，则的图象就经过四个象限（时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负），时，与轴的公共点为，，时，， 由得，，解得或，由图象知，切线的斜率为，所以时满足题意．故选：A．4．（2022·山东潍坊·二模）已知直线，，若，则(       )A．B．C．3D．－3【答案】A【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于－1，据此即可列式求出a的值．【详解】∵，∴．故选：A．5．（2022·北京丰台·二模）已知双曲线C：（，）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，．以线段为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限，与另一条渐近线平行．若，则的面积是（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】求得以线段为直径的圆的方程为，与渐近线联立求出点的坐标，根据与另一条渐近线平行可求出的关系，然后根据，即可求出的值，从而可得出答案. 【详解】解：由题意，，则以线段为直径的圆的方程为，联立，解得或，又因点M在第一象限，所以，因为与直线平行，所以，即，所以，则，因为，所以，即，所以，则，所以，，所以.故选：C. 二、多选题6．（2022·湖南衡阳·二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知、分别是双曲线的左、右焦点，点为在第一象限上的点，点在延长线上，点的坐标为，且为的平分线，则下列正确的是（       ）A．B．C．点到轴的距离为D．的角平分线所在直线的倾斜角为【答案】AD【分析】证明出双曲线在其上一点的切线的方程为，将点的坐标代入切线方程，求出点的坐标，可判断ABC选项的正误；计算出的斜率，可计算出的角平分线所在直线的斜率，可判断D选项的正误.【详解】先证明结论双曲线在其上一点的切线的方程为，由已知，联立可得，即，解得， 所以，双曲线在其上一点的切线的方程为.本题中，设点，则直线的方程为，将点代入切线方程可得，所以，即点到轴的距离为，C错；在双曲线中，，，则，则、，所以，，，所以，，A对；，，所以，，则，B错；因为的角平分线交轴于点，则，所以，，，则，故的角平分线所在直线的倾斜角为，D对.故选：AD.三、填空题7.（2021年1月新高考八省联考卷）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．【答案】和.【分析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为，得到，得出对角线所在直线的斜率为，结合两角和的正切公式，求得，再结合两直线的位置关系，即可求解.【详解】设正方形一边所在直线的倾斜角为，其斜率， 则其中一条对角线所在直线的倾斜角为，其斜率为，根据题意值，可得，解得，即正方形其中一边所在直线的斜率为，又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为.故答案为：和.8．（2022·广东潮州·二模）设函数，点在图象上，点为坐标原点，设向量，若向量，且是与的夹角，则的最大值是______．【答案】【分析】先利用平面向量的线性运算化简，再利用直线的斜率公式求出的表达式，再利用基本不等式求其最值.【详解】由向量的线性运算，得，因为点在函数的图象上，为坐标原点，向量，是与的夹角，所以，（当且仅当，即时取等号），即的最大值是．故答案为：.四、解答题 9．（2022·北京丰台·二模）已知椭圆C：经过点，P到椭圆C的两个焦点的距离和为．(1)求椭圆C的方程；(2)设，R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义，可求得a值，将P点坐标代入，即可求得，即可得答案.（2）由题意可得R点坐标和直线PQ的斜率，即可设直线l的方程为，，可得直线AQ的方程为，与椭圆联立，即可求得表达式，同理可得表达式，即可求导直线MN的斜率，再求得直线MR的斜率，分析即可得证.(1)根据椭圆的定义可得，解得，又过点，所以，解得，所以椭圆C的方程为.(2)因为，，所以，，设直线l的方程为，，所以，所以直线AQ的方程为，直线BQ的方程为，联立直线AQ与椭圆，消去x可得，所以，又代入， 整理可得，代入直线AQ，可得同理可得，，所以又，所以M，N，R三点共线两直线的位置关系1.（2021黑龙江省实验中高三检测）已知直线和互相平行，则实数（）A.B.C.或D.或【答案】C【分析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解.【详解】由题意，直线和互相平行，可得且，即且，解得或.故选：C.直线与圆的位置关系一、单选题1．（2022·河南河南·三模（理））已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（       ）A．B．C．D．【答案】A 【分析】先求得线段中点的轨迹，结合向量的模、圆与直线的位置关系等知识求得的最小值.【详解】设线段的中点为，圆的圆心为，半径为.到直线的距离为，所以，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为.所以.故选：A2．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C：，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则的最小值为（       ）A．B．C．3D．【答案】B【分析】求出直线所过定点，当直线与定点和圆心连线垂直时，弦长最小，由此可得结论．【详解】易知直线，过定点，圆的标准方程是，圆心为，半径为，而，所以．故选：B．3.（2021内蒙古赤峰二中高三第一次月考）圆与直线有公共点的充要条件是（）A．或B．C．D．或【答案】A【分析】先根据直线与圆的位置关系求得得取值范围，即可得答案．【详解】若直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离，即，∴，即，∴或，∴圆与直线有公共点的充要条件是或．故选：A4.（2022广西南宁市高三摸底测试）已知直线与圆相切，则m的值为（）A.3或B.1或C.0或4D.或0【答案】A【分析】利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式列式计算即得.【详解】圆的圆心为，半径为，因直线与圆相切，则点到直线的距离为，整理得，解得或，所以m的值为3或.故选：A5.（2022年（新高考）数学高频考点）圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是（）A．2B．C．D．【答案】C【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标，由题意可得圆心在直线ax－by＋6＝0上，从而可得a＋3b＝3，所以＋＝(a＋3b)，化简后利用基本不等可求得答案【详解】由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)， ∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选：C.二、多选题6．（2022·辽宁鞍山·二模）已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（       ）A．直线l与圆C相切B．直线l与圆C相离C．|PM|的最大值为D．|PM|的最小值为【答案】BD【分析】根据圆心到直线l得距离，可知直线l与圆C相离；∵P、M均为动点，对|PM|先固定点P可得，再看不难发现，即．【详解】圆C：得圆心,半径∵圆心到直线l：得距离∴直线l与圆C相离A不正确，B正确；C不正确，D正确；故选：BD．7．（2022·海南海口·模拟预测）已知a>0，圆C：，则（       ）A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分 【答案】ACD【分析】本题考查圆的方程与性质以及函数图象．当圆心纵(横)坐标的绝对值等于半径时，圆与x(y)轴相切，可判定A；当圆心到x轴或y轴距离相等时，在轴上截得的线段相等，可判定B；对于C，只要圆心到原点距离等于半径即可；当直线过圆心时，平分圆的面积，可判定D.【详解】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝lnx上运动．对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当，即a＝e或时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a有3个，A正确；对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在上，又圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有一个，B错误；对于C，若圆C过坐标原点，则，如下图可知，曲线y＝lnx与有两个交点，所以满足要求的a有2个，C正确；对于D，若圆C的面积被直线平分，则直线经过圆心（a，lna），计算可知曲线y＝lnx在x＝e处的切线恰好为，即满足要求的a仅有一个，故D正确．故选：ACD.【点睛】已知圆C：，有如下结论：(1)当或时，圆C与y轴或x轴相切； (2)当时，圆心到两轴距离相等，若与两轴相交，则截得的线段相等；(3)若圆C过原点，则；(4)若直线过圆心，则平分圆的面积.8．（2022·重庆·二模）已知点，过直线上一点作圆的切线，切点分别为，则（       ）A．以线段为直径的圆必过圆心B．以线段为直径的圆的面积的最小值为C．四边形的面积的最小值为4D．直线在轴上的截距的绝对值之和的最小值为4【答案】BC【分析】利用直线与圆之间的关系，列出点到直线距离公式，逐个选项进行判断即可【详解】由题知，可设点，则以BC为直径的圆方程为，两圆做差可得直线，易得直线过定点，故圆心到直线的距离不是定值，不恒成立，故选项不正确；因为直线过定点，故当时最小，，故最小半径为，所以线段为直径的圆的最小面积为，B选项正确；四边形的面积，，故，C选项正确；当时，直线过原点，两截距均为0，故选项不正确.故选：BC三、填空题9.（2021浙江省高三高考数学预测卷（二））已知直线，若直线与直线平行，则实数的值为______，动直线被圆截得弦长的最小值为______．【答案】①.②.【分析】根据两直线的一般方程，利用直线平行的公式，代入即可求解；首先判断直线过定点 ，利用直线与圆的位置关系，判断当过点且与垂直的弦的弦长最短.【详解】由题意得，所以．当时，两直线重合，舍去，故．因为圆的方程可化为，即圆心为，半径为5．由于直线过定点，所以过点且与垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为．故答案为：；四、解答题10．（2022·江西南昌·二模（文））在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求a.【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将曲线的参数方程化为普通方程，再根据化为极坐标方程，根据公式将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据圆心角的性质得到，即可得到圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式得到方程，解得，再检验即可；(1)解：因为曲线C的参数方程为（为参数） 所以，所以曲线C的普通方程为，即，又，所以，所以曲线C的极坐标方程为.因为直线l的极坐标方程为，所以，即直线l的直角坐标方程为.(2)解：设曲线C的圆心为，半径，因为点O在圆上，且，所以，则点到直线的距离为，所以，则或，当时，直线l过原点O，不符合题意；所以.圆与圆的位置关系1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教学质量检测）已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】C【分析】由题可知圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，因为弦长为，则由弦长公式可求得，即可得圆心，半径.又因为圆的圆心，半径，则两圆的圆心距为，故两圆外切.【详解】由题可知圆的圆心为，半径为， 则到直线距离则弦长，解得，则，，又因为，，所以圆心距，两圆外切故选：C.2.（2021江苏省盐城市伍佑中学高三第一次阶段考试）已知，分别为圆：与：的直径，则的取值范围为________．【答案】【分析】根据平面向量的加法法则可知，，代入中化简整理后得，将平面向量进行平移后运算可推出，，从而得解．【详解】解：根据题意，作出如下所示的图形，．而，，， ，．故答案为：直线与圆的综合问题1.过x轴上一点P向圆作圆的切线，切点为A、B，则面积的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】解法一由点P离原点越远趋向无穷远处时，的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，的面积逐渐变小，利用极限法，由点P与原点重合求解；解法二设，，由求解.【详解】解法一（极限法）：如图所示，若点P离原点越远趋向无穷远处时，越来越长，、也随着越来越长，显然的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，的面积逐渐变小，当点P与原点重合时，，且此时的为正三角形，面积最小，其最小面积为，解法二（直接解法）：设，则，，设，则有，， 于是，显然上式是的单调递增函数，当时，取最小值，故选：A.2.（2020北京市北京二中高三12月份月考）动点与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为，，，（逆时针方向），且点到，，的距离分别为，，．若，则点的轨迹是________；点到点的最大距离为________．【答案】①.圆；②.【分析】以B为原点，建立平面直角坐标系，根据，得出点P的轨迹是圆，结合图象可得P点到D点的最大距离.【详解】以B为原点，建立如图所示的坐标系，∵，，，，不妨设，则，，，又∵，∴，整理，可得，所以点的轨迹是圆，其方程为（注：坐标系建立的不同，圆的方程的形式不同）.结合图象可得，点到点的最大距离为，故答案为：圆；. 1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.3.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）A.y=2x+1B.y=2x+C.y=x+1D.y=x+【答案】D【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.4.（2021年全国高考甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线，，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；（2）[方法一]：设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称， 所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.[方法二]【最优解】：设． 当时，同解法1．当时，直线的方程为，即．由直线与相切得，化简得，同理，由直线与相切得．因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．所以直线与相切．综上所述，若直线与相切，则直线与相切．【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路一、单选题1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(       )A．2B．C．1D．【答案】B【分析】求出M坐标及直线AM的方程，根据圆的弦长公式即可求解． 【详解】由题知，，，，∵轴，∴，根据抛物线对称性，不妨取，则，原点O到直线AM的距离为：，∴以为直径的圆截直线所得的弦长为：﹒故选：B﹒2．（2022·江西南昌·二模（文））已知直线与直线垂直，则m=（       ）A．-2B．C．2D．【答案】C【分析】根据两直线垂直，直接列出方程求解，即可得出结果.【详解】当时，，由知，斜率为2，所以直线与不垂直，不符合题意；当时，，因为直线与直线垂直，所以，解得.故选：C.3．（2022·天津河西·一模）抛物线的准线与圆相交于A，B两点，则（       ）．A．2B．C．4D．【答案】A【分析】准线为，圆心为，，设圆心到直线的距离为，则，即可求解.【详解】由题，抛物线的准线为，圆的圆心为，，设圆心到直线的距离为，易得，所以， 故选：A4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知直线恒过定点M，点N在曲线上，若（O为坐标原点），则的面积为（       ）A．B．2C．D．【答案】A【分析】先由直线过定点求出，再结合以及N在曲线上求出，直接计算面积即可.【详解】易知直线过定点，即，可得，设，则，解得或，故，故的面积为.故选：A.5．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（       ）A．5B．4C．3D．2【答案】B【分析】由条件求出参数，再根据切线的性质.【详解】圆的圆心为，半径为，因为直线平分圆的周长，所以直线经过，所以，故，由已知，，，圆的半径为3，所以，故选：B. 6．（2022·山西临汾·三模（理））已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（       ）A．x－2y＋1＝0B．x＋2y－1＝0C．2x＋y－2＝0D．x－2y－1＝0【答案】D【分析】利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可.【详解】由，所以圆心坐标为，因为直线2x＋y－3＝0的斜率为，所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为，所以l的方程为：，故选：D二、多选题7．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(       )A．B．C．D．【答案】BC【分析】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．【详解】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，∵点到直线的距离相等，，解得，或，当时，直线的方程为，整理得，当时，直线的方程为，整理得综上，直线的方程可能为或故选：BC．8．（2022·江苏南通·模拟预测）已知直线l过点（3，4），点A（－2，2），B（4，－2）到l的距离相等，则l的方程可能是（       ）A．x－2y＋2＝0B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0D．2x－3y＋6＝0【答案】BC【分析】分A，B在直线l同侧和A，B在直线l异侧两种情况讨论，从而可得出答案.【详解】解：A，B在直线l同侧时，，，即，A，B在直线l异侧时，l过中点，∴，，即，故选：BC．9．（2022·江苏南通·模拟预测）已知Р是圆上的动点，直线与交于点Q，则（       ）A．B．直线与圆O相切C．直线与圆O截得弦长为D．长最大值为【答案】ACD 【分析】由两直线垂直的条件判断A，由圆心到直线的距离判断B，由到直线的距离结合勾股定理求弦长判断C，求出到圆心的距离的最大值加圆半径判断D．【详解】圆半径为2，，所以，A正确；圆心到的距离为，与圆相离，B错误；圆心到直线的距离为，所以弦长为，C正确；由，得，即，所以，所以长最大值为，D正确故选：ACD．10．（2022·湖北·二模）设动直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（       ）A．直线l过定点B．当取得最小值时，C．当最小时，其余弦值为D．的最大值为24【答案】AD【分析】对A：将原方程转化为，从而即可求解；对B：当取得最小值时，，从而即可求解；对C：当最小，即取得最小值时，，从而即可求解；对D：由，从而即可求解.【详解】解：由题意，圆心坐标为，半径，对A：直线，即，由，可得直线l过定点，故选项A正确； 对B：当取得最小值时，，所以，即，所以，故选项B错误；对C：当最小，即取得最小值时，，此时，从而可得，所以，故选项C错误；对D：，所以当取得最大值，即为直径时，，此时，故选项D正确.故选：AD.11．（2022·广东深圳·二模）P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（       ）A．弦长的最小值为B．存在点P，使得C．直线经过一个定点D．线段的中点在一个定圆上【答案】ACD【分析】设，则为的中点，且，再根据勾股定理、等面积法及锐角三角函数得到、，根据的范围，即可判断A、B，设，求出以为直径的圆的方程，两圆方程作差，即可得到切点弦方程，从而判断C，再根据圆的定义判断D；【详解】解：依题意，即，设，则为的中点，且，所以，所以，，又，所以，，所以，，故A正确，B不正确；设，则，所以以为直径的圆的方程为，则，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，故C正确； 又，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确；故选：ACD三、填空题12．（2022·河北唐山·二模）若圆的圆心在直线上，则C的半径为______．【答案】【分析】先求得参数D，再去求C的半径即可解决.【详解】圆的圆心为则有，则，则C的半径为故答案为：13．（2022·上海宝山·二模）已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为__．【答案】52【分析】根据平行线的距离求出d和m的值，利用等差数列的定义和性质求出通项公式，进而求和即可.【详解】由题意知，，因为两直线平行，所以，解得，由两平行直线间距离公式得，由，解得或.又，所以，即，解得，所以. 所以．故答案为：52.14．（2022·重庆八中模拟预测）已知点A为圆和在第一象限内的公共点，过点A的直线分别交圆，于C，D两点（C，D异于点A），且，则直线CD的斜率是___________.【答案】1或5【分析】先求出.设直线CD为：.过作于F，过作于E.由垂径定理表示出，.根据列方程，解出k的值.【详解】因为点A为圆和在第一象限内的公共点，所以由解得：（y=-1舍去）故.由题意可知，直线CD的斜率存在，设其为k，则直线CD为：.过作于F，过作于E.则，由垂径定理得：，. 因为，所以，解得：或.故答案为：1或5.四、解答题15．（2022·山东淄博·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且．(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为-2，试判断直线l能否与圆相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．【答案】(1)；(2)能与圆相切；.【分析】(1)根据点在抛物线上和抛物线的定义列出关于m、p的方程组，解之即可；(2)设点和直线AB方程，根据两点坐标表示直线斜率和韦达定理求得，可知直线AB恒过定点且该定点在圆上M上，根据点M、N坐标求出k即可.(1)由题意得，因为点在抛物线上，所以，由抛物线的定义，得，则，解得，所以抛物线C的标准方程为；(2)由(1)得，设点，则，所以，得；设直线AB方程为，有，所以，所以， 得，所以直线AB方程为，即直线AB恒过抛物线内部的定点，又圆正好经过点，当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，此时，所以直线AB方程为.16．（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知椭圆的左、右焦点分别为、，动直线过与相交于，两点．(1)当轴时，求的内切圆的方程；(2)求内切圆半径的最大值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）易求，的坐标，进而求得内切圆的圆心和半径（2）设直线的方程为：，以为参数，运用等面积法将内切圆半径表示为的函数，求其最值即可(1)由，可得，，，，由已知直线，则由不妨设，设内切圆的半径为，则．解得因为为等腰三角形，故圆心坐标为，所以的内切圆的方程为：化简得：(2)设内切圆半径为，面积为，，，则，又．所以 设直线的方程为：，与椭圆联立整理得，则，由，所以所以，令，则，当且仅当即时取等号故内切圆半径的最大值为1