专题34 利用二项分布概率公式求二项分布的分布列(教师版)

专题34利用二项分布概率公式求二项分布的分布列一、多选题1．下列结论正确的有（）A．公共汽年上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是C．若随机変量X服从二项分布，则D．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12【答案】BCD【分析】应用排列组合的“住店法”，每个乘客可在5个站任一站下车即可判断A是否正确；应用捆绑、插空法即可知B的正误；由二项分布得到分布列即可求，进而判断C正误；由平均数、中位数、众数的概念，应用等差数列的性质，结合分类讨论中位数求出所有可能值并加总，即可知D是否正确.【详解】A选项：10位乘客，沿途5个车站，则每位乘客都可能在5个车站任意一个车站下车，所以每位乘客的下车可能方式有种，故10位乘客一共有种；B选项：两位男生和两位女生随机排成一列，两位女生不相邻：先将女生看成一组，在两位男生所排的队列中插空有种排法，而一共有，所以不相邻的情况有，故概率为；C选项：X服从二项分布有，则分布列如下：012345∴；42 D选项：设丢失数据为，则平均数为，而数据的众数一定为3，对于中位数有：当时，中位数是3；当时，中位数是；当时，中位数是5；∴中位数是3时，有，即；中位数是时，，即；中位数是5时，，即；∴丢失数据的所有可能值的和为12.故选：BCD【点睛】本题考查了排列组合、概率等知识，综合应用了排列组合的住店法、捆绑插空法，利用二项分布得到分布列，进而求概率，以及中位数、平均数、众数的概念，结合等差数列、分类讨论等方法求值，属于难题.2．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（）A．X服从二项分布B．C．X的期望D．X的方差【答案】ABC【分析】推导出，由此利用二项分布的性质能求出结果．【详解】解：由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：①后4个数出现0，，记其概率为；②后4个数位只出现1个1，，记其概率为；③后4位数位出现2个1，，记其概率为，④后4个数为上出现3个1，记其概率为，⑤后4个数为都出现1，，记其概率为，42 故，故正确；又，故正确；，，故正确；，的方差，故错误．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．3．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.则其中正确命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】ABD【分析】①利用古典概型的概率求解判断.②利用独立重复实验的概率求解判断.③利用古典概型概率求解判断.④利用独立重复实验的概率求解判断.【详解】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，①从中任取3球，恰有一个白球的概率是故正确；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故正确；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；42 ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为：则至少有一次取到红球的概率为，故正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、单选题4．袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为，则随机变量的数学期望（）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先得到随机变量的取值，再分别写出概率，再根据期望公式计算【详解】由题意可得的取值为0，1，2，，，，所以数学期望.故选：A【点睛】本题考查独立重复事件及其随机变量的分布列和数学期望，重点考查读题分析能力，属于基础题型，本题的易错点是忽略是两种情况.5．设随机变量，，若，则（）A．B．C．D．42 【答案】A【分析】先建立方程求出，再计算即可.【详解】解：因为随机变量，，所以，则，因为，即，解得随机变量中，，故选：A【点睛】本题考查二项分布概率公式，是基础题.6．2019年1月28日至2月3日（腊月廿三至腊月廿九）我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X（单位：万）近似服从正态分布，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由已知可得，再由互斥事件及相互独立事件的概率计算公式求解.【详解】解：，得.故7天中至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为.故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查相互独立事件及其概率的求法，属于中档题.42 7．经抽样调查知，高二年级有的学生数学成绩优秀.如果从全年级随机地选出50名学生，记其中数学成绩优秀的学生数为随机变量，则其期望的值为（）A．B．C．25D．【答案】B【分析】由已知得：随机变量，由二项分布的期望公式可得选项.【详解】由题意得：，所以，故选：B.【点睛】本题考查二项分布的定义和其期望的计算公式，属于基础题.8．抽奖一次中奖的概率是90%，5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为（）A．0.93B．C．1﹣（1﹣0.9）3D．【答案】B【分析】根据独立重复试验的概率公式即可得解.【详解】根据独立重复试验概率公式可得：抽奖一次中奖的概率是90%，5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为故选：B【点睛】此题考查求独立重复试验概率，关键在于准确辨析独立重复试验，根据公式求解概率.9．某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加342 次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题根据独立重复试验直接计算概率即可.【详解】因为参与者每次抽中奖的概率均为，则甲参加3次抽奖，甲恰好有一次中奖的概率为.故选:C.【点睛】本题考查独立重复试验求概率的问题，是基础题.三、解答题10．某单位在2020年8月8日“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每个参与者投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．（1）求甲在一次游戏中投篮命中次数的分布列与期望；（2）若参与者连续玩次投篮游戏获得的分数的平均值不小于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．【答案】（1）分布列见解析，；（2）甲选择玩10次投篮游戏的获奖概率最大．理由见解析.【分析】（1）由题意得3次投篮命中的次数再根据二项分布求的分布列和期望；（2）首先分布计算当和时，计算得3分的次数，再根据二项分布求概率，比较大小.【详解】（1）由题意知．42 则，，，，所以的分布列为0123．（2）由（1）可知在一次游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为．若选择，此时要能获得奖品，则需10次游戏的总得分不小于20．设10次游戏中，得3分的次数为，则，即．易知，故此时获奖的概率．若选择，此时要能获得奖品，则需15次游戏的总得分不小于30．设15次游戏中，得3分的次数为，则，，又，所以．易知，故此时获奖的概率42 ．因为，所以甲选择玩10次投篮游戏的获奖概率最大．【点睛】方法点睛：求解二项分布问题的“四关”：一是“判断关”，即判断离散型随机变量是否服从二项分布；二是“公式关”，即利用，求出取各个值时的概率；三是“分布列关”，列出表格，得离散型随机变量的分布列；四是“结论关”，分别利用公式，求期望、方差．11．受新冠肺炎疫情影响，上学期网课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了非常大的损害.我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图所示:前50名后50名近视4032不近视1018(1)求的值，并估计这2000名学生视力的平均值(精确到0.1)；(2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到的数据如列联表，根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关?(3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的高度重视.近年来我市空军飞行员录取情况喜人，继2019年我市有6人被空军航空大学录取之后，今年又有342 位同学顺利拿到了空军航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实立德树人根本任务已初见成效.2020年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于5.0，若以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，这3名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为，求的分布列及数学期望.附:，其中.0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1），4.6；（2）没有；（3）分布列见解析，.【分析】（1）根据频率分布直方图的知识直接计算求解即可；（2）由列联表数据代入公式计算的观测值，进而得答案；（3）由题得视力在5.0以上的同学所占的比例为，根据题意得，再根据二项分布求解即可得答案.【详解】（1）由直方图可得，所以，所以估计这2000名学生视力的平均值是4.6.（2）因为的观测值，所以没有95%把握认为视力与学习成绩有关.（3）视力在48以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为：所以从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，42 则，即，所以，，所以的分布列为：0123所以.【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布等知识点，考查运算能力与数据处理能力.本题的前两问均属简单运算，第三问解题的关键是根据频率估计概率得到视力在5.0以上的同学所占的比例为，进而得.是中档题.12．为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与B市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为.（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望；附：42 P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）根据题中数据，计算，再结合临界值表，即可得出结果；（2）根据题中条件，先得到的可能取值为0，1，2，3，4，且，根据二项分布的概率计算公式求出分布列，进而可得数学期望.【详解】（1）由题中条件可得，，故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，且，故，，，所以的分布列为：X01234P故数学期望为.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：42 （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）13．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加.中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”，统计如图如示.男性女性合计手机支付族101222非手机支付族30838合计402060（1）根据上述样本数据，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为，求随机变量的期望.（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82842 【答案】（1）有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；（2）；（3）选择第二种优惠方案更划算.【分析】（1）根据公式直接计算卡方，再根据参考数据即可得答案；（2）由题知女性中“手机支付族”的概率为，进而得，再根据公式计算期望即可；（3）根据题意方案一需付款元，方案二根据题意先求出其概率分布列，进而得其期望，再比较期望与的大小，即可得答案.【详解】解：（1）由已知联列表：男性女性合计手机支付族101222非手机支付族30838合计402060所以，（必须保留小数点后三位，否则不给分）有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为，，（3）若选方案一，则需付款元若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，，，42 ，，∴选择第二种优惠方案更划算.【点睛】本题考查独立性检验基本思想，二项分布，期望等知识，考查实际问题的应用能力与运算能力，是中档题.14．某几位大学生自主创办了一个服务公司提供两种民生消费产品(人们购买时每次只买其中一种)服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是.（1）求某人第二次来，购买的是产品的概率；（2）记第二次来公司购买产品的个人中有个人购买产品，求的分布列并求【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）根据题中条件，由相互独立事件的概率计算公式，即可求出结果；（2）根据题中条件，得到，分别求出取不同值时，对应的概率，即可得出分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出结果.【详解】（1）依题意可得：某人第二次来购买的是产品的概率（2）依题意可得：；；；；42 分布列如下表：.【点睛】本题主要考查求相互独立事件的概率，考查求二项分布的分布列及期望，属于常考题型.15．某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，课程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列（只需列式无需计算）及期望.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，期望为.【分析】（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件，则“甲能修得该课程学分”的概率为，由独立事件的概率公式可计算出概率．（2）由（1）知每个人获得复赛资格的概率是，的取值依次为，～，由二项分布概率公式计算了概率得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望．【详解】（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件，则“甲能修得该课程学分”的概率为，事件相互独立，42 (2)，，，因此，的分布列如下：因为～所以【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，随机变量的概率分布列和数学期望，考查二项分布．旨在考查学生的数据处理能力，运算求解能力．16．江苏实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“”指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量．①求随机变量的概率；②求的概率分布列以及数学期望．【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析，.【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式可求得事件“该校最终选地理的学生”的概率；（2）①由题意可知，利用独立重复试验的概率公式可求得随机变量的概率；②利用二项分布可求得随机变量的分布列，并由此可计算出随机变量的数学期望.42 【详解】（1）该校最终选地理的学生为事件，；因此，该校最终选地理的学生为；（2）①由题意可知，，所以，；②由于，则，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：．【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，同时也考查了利用二项分布计算随机变量的概率分布列以及数学期望，考查计算能力，属于中等题.17．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于分的选手将直接参加竞赛选拔赛.已知成绩合格的名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中的频率构成等比数列.42 （1）求的值；（2）估计这名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有名选手进入竞赛选拔赛，记这名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)84；(3)分布列见解析，1.【分析】(1)利用频率分布直方图的性质列式求解即可.(2)利用频率分布直方图求平均数的方法求解即可.(3)易得随机变量满足二项分布,再根据二项分布的分布列与数学期望求解即可.【详解】解:(1)由题意,得解得(2)估计这名选手的平均成绩为.(3)由题意知,,则可能取值为,所以所以的分布列为42 故的数学期望为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的运用与二项分布的分布列与数学期望,属于中等题型.18．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.（1）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；（2）设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数的分布列.【答案】（1）0.275；（2）分布列见解析.【分析】（1）先设，，分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，根据题中条件，由概率的计算公式，即可得出结果；（2）由题中条件，得到甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即，的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得出分布列.【详解】（1）设，，分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率.（2）甲被录取的概率为，同理，.42 所以甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即，的可能取值为0，1，2，3，其中.故，，，，故的分布列为01230.3430.4410.1890.027【点睛】本题主要考查求独立事件的概率，考查求二项分布的分布列，属于常考题型.19．为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.（1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率；（2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；（3）用分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】(1)参加甲游戏的概率P=,设"这4个人中恰有k人去参加甲游戏"为事件Ak(k＝0,1,2,3,4),可求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率,计算即可得出结果;(2)由(1)可知求;(3)ξ的所有可能取值为0,2,4,写出其对应的概率和分布列.【详解】42 依题意知，这4个人中每个人去甲地的概率为，去乙地的概率为.设“这4个人中恰有i人去甲地”为事件，则.（1）这4个人中恰有2人去甲地的概率为（2）设“这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数”为事件B，则，由于与互斥，故.所以这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率为.（3）的所有可能的取值为，由于与互斥，与互斥，故，，.所以ξ的分布列为：ξ024P故.【点睛】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，对二项分布的正确判读是解题的关键，属于一般难度题型.20．某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36（1）完成下面的列联表，并判断能否有99％的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异?超过30不超过3042 改造前改造后（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为T天(即从开工运行到第kT天，k∈N*)进行维护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元／次；保障维护费第一次为0.2万元／周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4．以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）见解析，有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）见解析；均值为2.275万元.【分析】（1）根据已知改造前后数据完成列联表，计算，查表与临界值比较大小即可确定；（2）依题意可知，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，一个生产周期内需保障维护的次数服从二项分布.计算出一个生产周期内的正常维护费和保障维护费即可得出一个生产周期内的生产维护费，根据二项分布概率公式可求出分布列及期望.【详解】解：（1）列联表为：42 超过30不超过30改造前515改造后155有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为.设一个生产周期内需保障维护的次数为，则；一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元.一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元.设一个生产周期内的生产维护费为X，则X的所有可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4.所以，的分布列为22.22.63.2442 一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元.【点睛】本题考查独立性检验的应用、二项分布及期望，属于中档题.21．某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，毎台仪器被毎位专家评议为“可靠”的概率均为，且每台仪器是否可靠相互独立．（1）当，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望；（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由．【答案】（1）分布列详见解析，数学期望；（2）不会超过预算，理由详见解析．【分析】（1）该事件满足二项分布，由其概率计算公式分别计算随机变量为，，，，4的概率，即可列出分布列，再由np计算均值；（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400，为100时，即都通过或都不通过，即可计算，再由对立事件概率计算方式求得42 ，即可表示一台仪器花费的数学期望函数，利用导数求得最值，即可判定.【详解】（1）题意知的所有可能取值为，，，，4，且服从参数为的二项分布，所以，，，，．故的分布列为：X01234P从而．（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400．，．所以=，化简得，42 令，，解得，当，，在单调递增，当，，在单调递减，所以当时，的最大值为．实施此方案，最高费用为元33000元，不会超过预算．【点睛】本题考查求二项分布事件的分布列与均值，利用数学期望解决实际问题，还考查了利用导数求最值，属于较难题.22．袋中有大小完全相同的7个白球，3个黑球，甲、乙两人分别从中随机地连续抽取3次，每次抽取1个球．（1）若甲是无放回地抽取，求甲至多抽到一个黑球的概率；（2）若乙是有放回地抽取，且规定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，求乙总得分的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，；【分析】（1）由无放回抽取，甲至多抽到一个黑球事件{没有抽到黑球，抽到一个黑球}，结合古典概型的概率求它们的概率，然后加总两种情况下的概率即为甲至多抽到一个黑球的概率；（2）由有放回地抽取及白球得10分，黑球得20分，可知抽取3个球的事件{3个白球，2个白球1个黑球，1个白球2个黑球，3个黑球}对应，结合二项分布概率公式即可求4种情况下的概率，得到分布列，应用分布列求期望即可；【详解】（1）甲是无放回地抽取，甲至多抽到一个黑球：基本事件{没有抽到黑球，抽到一个黑球}；∴没有抽到黑球}，抽到一个黑球}，42 ∴甲至多抽到一个黑球的概率为：；（2）乙是有放回地抽取，抽到白球得10分，抽到黑球得20分，∴抽取3次{3个白球，2个白球1个黑球，1个白球2个黑球，3个黑球}，对应的取值有；而每次抽到白球、黑球的概率分别为、，故：，即可得分布列如下：30405060∴【点睛】本题考查了求有无放回事件的概率，应用古典概型求无放回试验的概率，并根据有放回试验中的各次试验的独立性，应用二项分布求分布列，进而求期望值；23．成都市现在已是拥有1400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在范围内，规定分数在80以上（含80）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识不具有很强安全意识5842 总计200（1）补全上面的列联表，并判断能否有超过的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关？（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．附表及公式：，其中．P（）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，有超过的把握；（2）分布列见解析，数学期望为．【分析】（1）拥有驾驶证的有80人，具有很强安全意识的有40人，由此可得列联表，再计算得后与比较大小即可得出结论；（2）由题意可知可以取0，1，2，3，4，且，由此可求出分布列及数学期望．【详解】解：（1）200人中拥有驾驶证的占，有80人，没有驾驶证的有120人，具有很强安全意识的占，有40人，不具有很强安全意识的有160人，补全的列联表如表所示：拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识221840不具有很强安全意识58102160总计80120200计算得，∴有超过的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关；42 （2）由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为，∴可能取0，1，2，3，4，且，于是（，1，2，3，4），X的分布列为X01234P∴．【点睛】本题主要考查独立性检验与二项分布的应用，属于基础题．24．近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2019年元旦期间，石嘴山市某物平台的销售业绩高达1271万人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（1）完成下面的列联表，并回答是否有99%的把握认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量，求对商品和服务全好评的次数的分布列，数学期望和方差.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82842 （，其中）【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为，方差为.【分析】（1）根据题设已知条件信息完善列联表，由卡方检验计算公式求卡方值，即可知是否有99%的把握认为商品好评与服务好评有关；（2）根据二项分布公式得到分布列，并依据二项分布公式求期望、方差.【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200，故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关.（2）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3.其中，，，，的分布列为：0123∵，42 ∴，.【点睛】本题考查了卡方检验值的计算，利用二项分布得到分布列，应用二项分布公式求期望、方差.25．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：得分男性人数女性人数（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于分）和“不太了解”（得分低于分）两类，完成列联表，并判断是否有的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取名学生家长，设这名家长中“比较了解”的人数为，求的概率分布列和数学期望.不太了解比较了解合计男性女性合计附：，.42 临界值表：【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，.【分析】（1）根据题中已知条件完善列联表，并计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，并由此可计算出随机变量的数学期望.【详解】（1）由题意得列联表如下：不太了解比较了解合计男性女性合计的观测值.因为，所以有的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关；（2）由题意得该校名学生家长“比较了解”的概率为，，，、、、，即的概率分布列如下表所示：42 所以.【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了利用二项分布求随机变量的分布列与数学期望值，考查数据处理能力，属于中等题.26．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:10之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7:10之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7:10之前到校的天数比乙同学在7:10之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.【答案】（1）分布列见解析，；（2）.【分析】（1）先根据已知条件分析出服从二项分布，再利用二项分布概率计算公式求出相应概率，即可求出其分布列与数学期望；（2）先分析出乙同学之前到校的天数也服从二项分布，再根据互斥事件与相互独立事件的概率计算公式求概率即可.【详解】（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率为，所以，从而，，所以，随机变量的分布列为：P012345X42 所以；（2）设乙同学上学期间的五天中之前到校的天数为，则，且事件，由题意知，事件之间互斥，且与相互独立，由（1）可得.【点睛】该题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.27．甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定每一局比赛获胜方记1分，失败方记0分，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是．（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在的比分是3比1甲领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）利用事件的独立性，分两种情况，恰好打了7局甲获胜和恰好打了7局乙获胜，再将概率相加，即可得答案；（2）记的可能取值为，利用二项分布求出分布列，即可得答案；【详解】解：（1）恰好打了7局甲获胜的概率是，恰好打了7局乙获胜的概率是，故比赛结束时恰好打了7局的概率．42 （2）的可能取值为，，，，，故的分布列为2345则的数学期望．【点睛】本题考查相互独立事件和二项分布的概率计算，考查运算求解能力，求解时注意识别概率模型.28．2019年10月17日是全国第五个“扶贫日”，在“扶贫日”到来之际，某地开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部50人，B镇有基层干部80人，C镇有基层干部70人，每人都走访了不少贫困户；按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将完成走访数量分成5组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图．（1）求这40人中有多少人来自B镇，并估算这40人平均走访多少贫困户？（2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取4人，记这4人中工作出色的人数为X，求X的数学期望．【答案】（1）16人，5700户（2）42 【分析】（1）由分层抽样按比例分配原则求得B镇比例，再从40人中按比例抽取即可；按照平均数等于各组中间数值乘以对应频率之和计算即可（2）由频率分布直方图，计算出工作出色的概率为，易知工作出色的人数符合二项分布，结合概率公式计算，列出分布列，即可求出数学期望【详解】（1）A，B，C三镇分别有基层干部50人，80人，70人，共200人，利用分层抽的方法选40人，则B镇应选取（人）40名基层干部走访贫困户的平均数量x为用样本估计总体，得三镇所有基层干部走访贫困户的总数量为（户）（2）由频率分布直方图得，从三镇的所有基层干部中随机挑选1人，其工作出色的概率为易知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且，则，，，，，所以X的分布列为X43210P【点睛】本题考查分层抽样中某层抽样数的计算，频率分布直方图中平均数的计算，离散型随机变量期望的求解，42 属于中档题29．某城市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对城市中某条快速路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过该快速路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，其中平均车速，标准差.通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）.（1）从该快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率.（2）某兴趣小组也对该快速路进行了观测，他们于某个时间段内随机对100辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出上面的条形图.①估计这100辆车的速度的中位数（同一区间中数据视为均匀分布）；②若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该快速路上的所有车辆中任取三辆，记其中不需要矫正速度的车辆数为速度X，求X的分布列和期望.附：若，则；；.【答案】（1）0.1814；（2）①85，②分布列见解析，期望为2.4【分析】（1）利用正态分布的对称性求、，而车速在之外的车辆需矫正速度，即可求车辆需矫正速度的概率；（2）①根据中位数的概念即可得到车速的中位数，②由题意车速在之间的不需要矫正速度且不需要矫正速度的车辆数的取值为，进而利用二项分布的42 概率公式求不同的概率，并得到分布列，即可计算期望值【详解】（1）由，∴由题意，知：快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率为（2）①由图知：100辆车的速度在有26辆，在有34辆∵同一区间中数据均匀分布，知：40辆速度在之间的车中，速度为83、84、85、86各有10辆∴100辆车的速度的中位数为85②由题意知：不需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之间的不需要矫正速度∴不需要矫正速度的概率：，需要矫正速度的概率：∴由上：，分布列如下：0123∴【点睛】本题考查了概率与统计，利用正态分布的对称性求满足正态分布事件的发生概率，应用二项分布求出不同取值的概率并得到分布列，进而求其期望值30．云南是世界茶树的原产地之一，也是中国四大茶产区之一，独特的立体气候为茶叶的种质资源多样性创造了良好的自然条件，茶叶产业是云南高原特色农业的闪亮名片．某大型茶叶种植基地为了比较、42 两品种茶叶的产量，某季采摘时，随机选取种植、两品种茶叶的茶园各30亩，得到亩产量（单位：亩）的茎叶图如下（整数位为茎，小数位为叶，如55.4的茎为55，叶为4）：亩产不低于的茶园称为“高产茶园”，其它称为“非高产茶园”.（1）请根据已知条件完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为“高产茶园”与茶叶品种有关？A品种茶叶（亩数）B品种茶叶（亩数）合计高产茶园非高产茶园合计（2）用样本估计总体，将频率视为概率，现从该种植基地品种的所有茶园中随机抽取4亩，且每次抽取的结果相互独立，设被抽取的4亩茶园中“高产茶园”的亩数为，求的分布列和数学期望．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为“高产茶园”与茶叶品种有关；（2）分布列见解析，E（X）＝.【分析】（1）根据已知条件填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；42 （2）由题意知X～B（4，），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（1）根据已知条件完成2×2列联表如下，A品种茶叶（亩数）B品种茶叶（亩数）合计高产茶园10313非高产茶园202747合计303060计算K2＝＝4.812＞3.841，所以有95%的把握认为“高产茶园”与茶叶品种有关；（2）由题意知，P＝＝，X～B（4，），计算P（X＝0）＝•＝，P（X＝1）＝••＝，P（X＝2）＝••＝，P（X＝3）＝••＝，P（X＝4）＝•＝；所以X的分布列为：X01234P42 数学期望为E（X）＝4×＝．【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，二项分布的应用，也考查了运算求解能力，属于中档题．42