专题33 利用条件概率公式求解条件概率(教师版)

专题33利用条件概率公式求解条件概率一、单选题1．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A．3/5B．3/4C．1/2D．3/10【答案】C【分析】先记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，根据题意得到与，再由条件概率，即可求出结果.【详解】记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知，，所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是．故选：C.【点睛】本题主要考查条件概率与独立事件，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.2．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择庐山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先根据题意分别算出和，再利用条件概率公式计算即可.【详解】31 由题知：事件：甲和乙至少一人选择庐山共有：种情况，事件：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有种情况，.故选：D【点睛】本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.3．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（）A．B．C．D．【答案】B【分析】确定，再利用条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，可知，利用条件概率的计算公式，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（）A．B．C．D．【答案】C31 【分析】在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率下雨的概率【详解】在下雨条件下吹东风的概率为，选C【点睛】本题考查条件概率的计算，属于简单题．5．甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意结合计数原理的知识求出所有基本事件数、发生的基本事件数、发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得、，再利用条件概率概率公式即可得解.【详解】甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点共有个基本事件，甲同学独自去一个景点，共有个基本事件，则；事件、同时发生即事件：四位同学去的景点不相同发生，共有个基本事件，则；所以.故选：A.【点睛】本题考查了条件概率的求解，考查了计数原理与古典概型概率公式的应用，熟记公式、合理分步是解题关键，属于中档题.6．袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，31 “摸得的两球同色”为事件，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】=,选C.7．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】记事件第一次取到的是合格高尔夫球，事件第二次取到不合格高尔夫球，由题意可得事件发生所包含的基本事件数，事件发生所包含的基本事件数，然后即可求出答案.【详解】记事件第一次取到的是合格高尔夫球事件第二次取到不合格高尔夫球由题意可得事件发生所包含的基本事件数事件发生所包含的基本事件数所以故选：B【点睛】本题考查的是条件概率，较简单.8．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到31 了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是()A．B．C．D．【答案】C【分析】首先求出第一次摸到黑球的概率，再求出第二次摸到白球的概率，利用条件概率的求法公式即可求解.【详解】设第一次摸到黑球为事件，则，第二次摸到白球为事件，则，设第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到球的概率为.故选：C.【点睛】本题考查了条件概率的求法，属于基础题.9．已知，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用条件概率公式求解.【详解】因为，，所以，故选：B【点睛】本题主要考查条件概率的求法，属于基础题.31 10．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分别求出第一次摸出的是次品的概率以及第一次摸出的是次品，第二次摸到的是正品的概率，结合条件概率的计算公式即可求出所求答案.【详解】解：记“第一次摸出的是次品”，“第二次摸到的是正品”，由题意知，,，则,故选:D.【点睛】本题考查了条件概率的求解，属于基础题.11．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先计算出黑球和白球的数量，然后根据条件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】设黑球有个（），则白球有个.从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，没有白球的概率为.即，由于，故解得.所以黑球有个，白球有个.31 设事件｛第2次取得白球｝，事件｛第1次取得黑球｝，，.所以已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为.故选：A【点睛】本小题主要考查条件概率计算，属于基础题.12．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，阶幻方（，）是由前个正整数组成的一个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，先列举出事件发生对应的基本事件，再列举出事件同时发生对应的基本事件，基本事件的个数比，即为所求的概率.【详解】根据题意，事件包含的基本事件有：，，，，，，，；共个基本事件；事件同时发生包含的基本事件有：，，，共个基本事件，31 所以.故选：D.【点睛】本题主要考查求条件概率，属于基础题型.13．2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（）A．0.99%B．99%C．49.5%.D．36.5%【答案】C【分析】利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率.【详解】设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”.则“某人检验呈阳性时他确实患病”为，又，故选：C.【点睛】本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事件的概率或条件概率.14．已知，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用条件概率公式计算可得结果.【详解】31 由条件概率公式得.故选：B.【点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题.15．端午节是我国的传统节日，每逢端午家家户户都要吃粽子，现有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，事件“取到的2个为同一种馅”，事件“取到的2个都是豆沙馅”，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分别计算出取出的两个粽子为同一种馅，以及取到的2个都是豆沙馅的基本事件个数，然后由条件概率公式计算即可.【详解】由已知，有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，则，所以故选：A【点睛】本题考查条件概率的计算公式，以及古典概率的计算方法，属于基础题.16．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】31 分别计算出和，由条件概率公式可计算求得结果.【详解】由题意知：事件有，，，共个基本事件；事件有，，，，，，，，，共个基本事件；，，.故选：.【点睛】本题考查条件概率的求解问题，属于基础题.17．如下图，四边形是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，用B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知关系分别求出，由几何概型求概率的计算方式求得与，最后利用条件概率计算公式求得答案.【详解】因为四边形是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，即，则，所以A表示事件“豆子落在正方形内”，31 B表示事件“豆子落在扇形”，则AB表示事件“豆子落在三角形EOH内”，所以故选：C【点睛】本题考查在几何图形中求条件概率，属于简单题.18．某学校高三（）班要从名班干部（其中名男生，名女生）中选取人参加学校优秀班干部评选，事件男生甲被选中，事件有两名女生被选中，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】计算出事件、的概率，利用条件概率公式可求得的值.【详解】由题意可得，事件男生甲与两名女生被选中，则，因此，.故选：B.【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属于中等题.19．从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（）31 A．B．C．D．【答案】C【分析】设事件表示“第一张抽到偶数”，事件表示“第二张抽取奇数”，分别求出和，利用条件概率计算公式即可求得结果.【详解】从标有1，2，3，4，5五张卡片中，依次抽出2张，设事件表示“第一张抽到偶数”，事件表示“第二张抽取奇数”，则，，在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为，故选：C.【点睛】本题主要考查的是条件概率的计算，要熟记条件概率的计算公式，属于基础题.事件发生的前提下，事件发生的概率，用公式可表示为.20．某次校园活动中，组织者给到场的前1000名同学分发编号的号码纸，每人一张，活动结束时公布获奖规则.获奖规则为：①号码的三位数字之和是7的倍数者可获得纪念品；②号码的三位数字全是奇数者可获得纪念品.已知某同学的号码满足获得纪念品的条件，则他同时可以获得纪念品的概率是（）A．0.016B．0.032C．0.064D．0.128【答案】D【分析】记某同学获得纪念品､纪念品分別为事件､，由分步乘法计数原理结合古典概型概率公式可得；再由分类加法、排列组合的知识结合古典概型概率公式可得31 ；最后由条件概率公式即可得解.【详解】记某同学获得纪念品､纪念品分別为事件､，则事件发生的充要条件是：三位数字均是1，3，5，7，9五个数中的一个，对应的概率；事件是在三位数字均为奇数的基础上，还需满足三位数字之和为7的倍数，三个之间的数字之和范围为，又因为每位数字都是奇数，故其和亦为奇数，故三位数字之和只可能是7或21，所以三位数字从小到大排列只有以下五种可能：①1，1，5，对应的三位数个数为；②1，3，3，对应的三位数个数为；③3，9，9，对应的三位数个数为；④5，7，9，对应的三位数个数为；⑤7，7，7，对应的三位数有1个；故.于是所求概率为.故选：D.【点睛】本题考查了计数原理及古典概型概率公式的应用，考查了条件概率公式的应用及运算求解能力，属于中档题.21．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】31 记事件为“至少有一个女孩”，事件为“另一个也是女孩”，分别求出、的结果个数，问题是求在事件发生的情况下，事件发生的概率，即求，由条件概率公式求解即可.【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：男，男，男，女，女，男，女，女．记事件为“至少有一个女孩”，事件为“另一个也是女孩”，则（男，女），（女，男），（女，女），（男，女），（女，男），（女，女），（女，女）．于是可知，．问题是求在事件发生的情况下，事件发生的概率，即求，由条件概率公式，得．故选：B．【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：，等可能事件的概率的求解公式：（其中为试验的所有结果，为基本事件的结果）.22．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,则；则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为.故选：B.31 【点睛】本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题.23．如图，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】根据题意，正方形的面积为1×1=1，而与直线及轴所围成的曲边梯形的面积为而阴影部分的面积为,∴正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为，.故选：A．考点：几何概型，条件概率31 24．.三台中学实验学校现有三门选修课，甲、乙、丙三人每人只选修一门，设事件A为“三人选修的课程都不同”，B为“甲独自选修一门”，则概率P(A|B)等于（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用条件概率的计算公式即可求解.【详解】甲独自选修一门，则有门选修课可选，则乙、丙只能从剩下的门选修课中选择，可能性为，所以甲独自选修一门的可能性为，因为三个人选修的课程都不同的可能性为..故选：B【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了排列、组合的应用，属于基础题.25．掷骰子2次，每个结果以记之，其中，，分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设，，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据古典概型概率计算方法,列举出A集合的所有情况,即可由条件概率求解.【详解】根据题意则集合A所有可能为,则B集合为根据条件概率求法可得31 故选:C【点睛】本题考查了列举法求古典概型的概率,条件概率的求法,属于基础题.26．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为()A．B．C．D．【答案】B【分析】根据条件概率公式计算即可.【详解】设事件A：答对A题，事件B：答对B题，则，..故选：B.【点睛】本题考查了条件概率的计算，属于基础题.27．设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据条件概率公式求解即可得答案.【详解】解：由题意得，，31 根据条件概率的公式得：，解得.所以事件发生的概率为.故选：A.【点睛】本题考查条件概率公式，是基础题.28．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{两次的点数均为偶数}，{两次的点数之和小于8}，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先求出事件包含的基本事件数，以及在发生的条件下，事件包含的基本事件数，再用条件概率公式求出结果．【详解】由题意，事件{两次的点数均为偶数}，包含的基本事件数是共9个基本事件；在事件发生的条件下，事件{两次的点数之和小于}，包含的基本事件数是共个基本事件，所以．故选：B．【点睛】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．二、多选题29．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，31 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A．B．C．事件与事件相互独立D．、、两两互斥【答案】BD【分析】根据每次取一球，易得，，是两两互斥的事件，求得，然后由条件概率求得，，再逐项判断.【详解】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；因为，所以，故B正确；同理，所以，故AC错误；故选：BD【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.30．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.则其中正确命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】ABD31 【分析】①利用古典概型的概率求解判断.②利用独立重复实验的概率求解判断.③利用古典概型概率求解判断.④利用独立重复实验的概率求解判断.【详解】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，①从中任取3球，恰有一个白球的概率是故正确；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故正确；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为：则至少有一次取到红球的概率为，故正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.31．下列有关说法正确的是（）A．的展开式中含项的二项式系数为20；B．事件为必然事件，则事件、是互为对立事件；C．设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为，；D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则.【答案】CD31 【分析】由二项式定理得：的展开式中含项的二项式系数为，即可判断；由对立事件与互斥事件的概念，进行判断；由正态分布的特点，即可判断；由条件概率的公式，计算即可判断.【详解】对于，由二项式定理得：的展开式中含项的二项式系数为，故错误；对于，事件为必然事件，若，互斥，则事件、是互为对立事件；若，不互斥，则事件、不是互为对立事件，故错误对于，设随机变量服从正态分布，若，则曲线关于对称，则与的值分别为，．故正确．对于，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则（A），（B），，则，故正确；故选：．【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，考查事件的关系、条件概率的求法，考查二项式定理的判定方法和正态分布的特点，考查判断和推理能力，是中档题．三、填空题32．伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则______.【答案】【分析】求出,再利用条件概率求解.【详解】由已知得，，31 则.故答案为：【点睛】方法点睛：求条件概率常用的方法有：（1）；（2）；（3）转化为古典概型求解.33．袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球.不放回地连续取两次，则已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________.【答案】【分析】记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”，根据题中条件，由条件概率的计算公式，即可得出结果.【详解】记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”：则，，所以已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查求条件概率，属于基础题型.34．从装有个红球个白球的袋子中先后取个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为______.【答案】31 【分析】分别算出“第一次取到红球”的基本事件个数，“两次都取到红球”的个数，然后套用条件概率计算公式求解.【详解】设事件为“第一次取到的是红球”，事件为“第一、二次都取到红球”，则，，所以在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为：.故答案为：.【点睛】本题考查条件概率及其计算，较简单，解答时要灵活运用条件概率的运算公式.35．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．【答案】【分析】由条件概率计算方式，分别计算事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的基本事件个数，其中分两类乙在最后与乙不在最后计数，与事件AB的基本事件个数，最后由公式求解即可.【详解】设事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B：“学生丙第一个出场”，对事件A，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一个给甲，再将余下的4个人全排列有种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有种，故总的有.对事件AB，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有种故.故答案为：【点睛】31 本题考查条件概率实际应用，属于中档题.36．已知，，则__________.【答案】【分析】直接根据条件概率公式计算即可得答案.【详解】解：根据条件概率公式和已知条件，，所以.故答案为：【点睛】本题考查条件概率公式的应用，是基础题.37．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．【答案】【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.【详解】记第一次摸出新球为事件A，第二次取到新球为事件B，则.故答案为：.【点睛】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.31 38．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为______.【答案】【分析】由对立设事件的概率分别得到连续熬夜48小时和连续熬夜72小时未诱发心脏病的概率，再利用条件概率公式求解.【详解】设事件为发病，事件为发病，由题意可知：，，则，，由条件概率公式可得：.故答案为：【点睛】本题主要考查对立事件和条件概率的求法，属于基础题.39．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6．已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率为______________．【答案】【分析】记事件A：某天的空气质量为优，事件B：第二天的空气也为优，由题意可得，，再由条件概率公式即可得解.【详解】记事件A：某天的空气质量为优，事件B：第二天的空气也为优，由题意，，则.故答案为：.31 【点睛】本题考查了条件概率的求解，属于基础题.40．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼.已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为______.【答案】【分析】根据条件概率公式，计算求值即可.【详解】设该学生通过第一关为事件，通过第二关为事件，在通过第一关的前提下通过第二关的概率为，因为，所以.【点睛】本题考查条件概率的计算，考查逻辑分析，运算求解的能力，属基础题.41．设，，则等于________．【答案】【分析】由可判断出,进而可求.【详解】解:..故答案为:.【点睛】本题考查了条件概率.易错点是对条件概率公式不熟练,记错公式.31 42．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______【答案】【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，利用二项分布求得，然后利用条件概率公式求解.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，则，，故答案为：【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.43．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.【答案】【分析】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，31 即求条件概率：故答案为：【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.四、解答题44．田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）首先将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，列出第一局双方参赛的马匹的全部情况，再找到田忌胜利的情况，即可得到答案.（2）首先设事件“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，事件“田忌获得本场比赛胜利”，列举出事件，的个数，利用条件概率公式即可的得到答案.（3）根据题意直接写出答案即可.【详解】将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，并且用马的记号表示该马上场比赛.31 （1）设事件“第一局双方参赛的马匹”，事件“在第一局比赛中田忌胜利”，由题意得，，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是.（2）设事件“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，事件“田忌获得本场比赛胜利”，由题意得，，则本场比赛田忌胜利的概率是.（3）.【点睛】本题主要考查古典概率的求法，同时考查了条件概率，考查学生分析问题的能力，属于中档题.45．2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日~2月9日连续9天的日生产量（单位：十万只，）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：2.7219139.09109531 注：图中日期代码1~9分别对应2月1日~2月9日；表中，.（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，请求y关于t的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只.参考公式：回归直线方程是，，.参考数据：.【答案】（1）；（2），从2月14日开始日生产量超过四十万只.【分析】（1）设出事件，利用条件概率的概率公式即可求出概率.（2）由，可得，即，利用已知数据求出、的值，再，两边同时求导即可.【详解】（1）9个样本点中日生产量都不高于三十万只的有5个，高于二十万只且不高于三十万只的有3个，设事件A：所取2个点的日生产量都不高于三十万只，事件B：所取2个点的日生产量高于二十万只，事件：所取2个点的日生产量高于二十万只且不高于三十万只，则，，.（2），，，，31 ，.令，解得，，即该厂从2月14日开始日生产量超过四十万只.【点睛】本题主要考查了求条件概率，以及求非线性回归方程，属于中档题.31