专题11 数列求和方法之分组并项求和法(原卷版)

专题11数列求和方法之分组并项求和法一、单选题1．已知数列满足，，，且是等比数列，则（）A．376B．382C．749D．7662．若在边长为的正三角形的边上有（，）等分点，沿向量的方向依次为，记，若给出四个数值：①；②；③；④；则的值可能的共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．若数列的通项公式是，则（）A．45B．65C．69D．二、解答题4．设为等差数列，是正项等比数列，且，.在①，②，这两个条件中任选一个，回答下列问题：（1）写出你选择的条件并求数列和的通项公式；（2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和.5．已知数列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn.（1）若{an}是等差数列，求k的值；（2）若a＝1，k＝－，求Sn.6．在数列中，，，.（1）证明：数列是等比数列；（2）求的前项和.7．已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，.（1）求数列的通项公式；6 （2）令，求数列的前项和.8．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，________，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.9．已知数列是等差数列，是其前项和，且．（1）求数列的通项公式;（2）设，求数列的前项和．10．已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.11．已知是等比数列，，．数列满足，，且是等差数列．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．12．设数列的前项和为，且.（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）若数列中，，，求数列的前项和.13．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．14．已知数列满足奇数项成等比数列，而偶数项成等差数列，且，，，，数列的前n项和为．6 （Ⅰ）求；（Ⅱ）当时，若，试求的最大值．15．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题.已知等比数列的公比是，，且有().(注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分)（1）求证：；（2）求数列的前项和为.16．设是数列的前n项和，已知，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17．已知等差数列中，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若是等比数列的前3项，求的值及数列的前项和18．已知数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.19．已知数列中，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都有.（1）求a的值；（2）试确定数列是不是等差数列；若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；（3）记，求数列的前n项和.6 （4）记是否存在正整数M，使得不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由.20．已知数列的首项，，.（1）求证：数列为等比数列；（2）记，若，求最大正整数.21．已知数列满足数列的前n项和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．22．已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.23．如图，在直角坐标系中有边长为2的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列.设这一系列正方形中心的纵坐标为，其中为最大正方形中心的纵坐标.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的奇数项构成新数列，求的前n项和.6 24．已知数列的前项和为，且，数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，，求数列的前项和.25．已知有限数列{an}，从数列{an}中选取第i1项、第i2项、……、第im项（i1＜i2＜…＜im），顺次排列构成数列{ak}，其中bk＝ak，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an}的长度为m的子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的子列．若数列{an}的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{an}为完全数列．设数列{an}满足an＝n，1≤n≤25，n∈N*．（Ⅰ）判断下面数列{an}的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列（1）：3，5，7，9，11；数列（2）：2，4，8，16．（Ⅱ）数列{an}的子列{ak}长度为m，且{bk}为完全数列，证明：m的最大值为6；（Ⅲ）数列{an}的子列{ak}长度m＝5，且{bk}为完全数列，求的最大值．三、填空题41．数列的通项公式，其前项和为，则______.42．已知数列的前项和为，，则的值为__________.43．在数列中，若，记是数列的前项和，则__________.44．已知等差数列中，则数列的前n项和=___.45．已知数列的前n项和，.求数列的通项公式为______.设，求数列的前项和______.46．已知数列满足，为的前项和，记，数列的前项和为，则______．47．设为数列的前项和，，若（），则__________.6 四、双空题48．已知数列的前项和为，且，，则______；若恒成立，则实数的取值范围为______.49．设数列中，，，则________，数列前n项的和________.50．已知数列的前项和为，满足，，则_______；___________．6