第八章　§8.5　椭　圆

§8.5椭　圆第八章直线和圆、圆锥曲线成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的______.常数焦点焦距 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＝1(a>b>0)＝1(a>b>0)范围__________________________________________2.椭圆的简单几何性质－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点_____________________________________________________________________________轴长短轴长为____，长轴长为____焦点______________________________________焦距|F1F2|＝____对称性对称轴：_________，对称中心：______离心率______________a，b，c的关系___________A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)2b2aF1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)2cx轴和y轴原点a2＝b2＋c2 椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大. (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(6)焦点三角形的周长为2(a＋c). 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.()(3)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.()(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()√××× A.6B.3C.4D.2√ √ √ 探究核心题型第二部分 例1(1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.双曲线的一支题型一椭圆的定义及其应用√ 设动圆P的半径为r，又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆. 又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos60°＝4a2－3|PF1||PF2|＝4a2－16， 延伸探究若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积.∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16，又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝8， 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.思维升华 跟踪训练1(1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为√ ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12， (2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C：＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为A.4B.8C.10D.20√ 如图，设F1为椭圆C的左焦点，则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，所以△ABF周长的最大值为20. 命题点1定义法例2(2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2),F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为题型二椭圆的标准方程√ 命题点2待定系数法 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n).将P1，P2代入方程， 根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.思维升华 A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√ 当1<k<5时，该方程不一定表示椭圆，例如当k＝3时，方程变为x2＋y2＝2，它表示一个圆， √ 如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1,0)，点C，F1是线段AB的三等分点，得C为AF1的中点，F1为BC的中点，所以x0＝1， 结合a2－b2＝c2＝1，解得a2＝5，b2＝4， 命题点1离心率题型三椭圆的几何性质√ √ 设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，因为点P在椭圆C上， 求椭圆离心率或其范围的方法思维升华 命题点2与椭圆有关的范围(最值)问题√ 如图所示，当点M为椭圆的短轴顶点时，∠F1MF2最大，∴|MO|＝b，|MF2|＝a，|OF2|＝c， 4 所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，因为F(－1,0)，A(2,0)， 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.(2)利用函数，尤其是二次函数.(3)利用不等式，尤其是基本不等式.思维升华 √ 由题意|AF1|＝|AF2|＝a，设|BF1|＝t，则|BF2|＝2a－t，又以AB为直径的圆过F2，所以AF2⊥BF2，所以a2＋(2a－t)2＝(a＋t)2， 因为∠AF1F2＋∠BF1F2＝180°，所以cos∠AF1F2＋cos∠BF1F2＝0， √ 所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形， 课时精练第三部分 1.(2023·昆明模拟)已知椭圆＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为A.2B.4C.6D.81234567891011121314√基础保分练 1234567891011121314因为M，N是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，所以|MF1|＋|MF2|＝2a，|NF1|＋|NF2|＝2a，因此△F1MN的周长为|MF1|＋|MN|＋|NF1|＝|MF1|＋|MF2|＋|NF2|＋|NF1|＝2a＋2a＝4a＝8. √1234567891011121314 依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，1234567891011121314所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8， √1234567891011121314 1234567891011121314即4c2＝m2， 1234567891011121314√ 1234567891011121314设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，F1，N，F2四点共圆，知四边形MF1NF2为矩形，所以以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，则c>b，即c2>b2＝a2－c2，所以2c2>a2， 1234567891011121314√√ 1234567891011121314设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 1234567891011121314 1234567891011121314√√√ 1234567891011121314过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4a＝8，故A正确； 1234567891011121314 1234567891011121314 8.(2023·平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为____________；若P为椭圆C上一动点，M(3,3)，则|PM|－|PF|的最小值为_____.12345678910111213141 1234567891011121314因为椭圆C的一个焦点为F(0,1)，所以椭圆C的焦点在y轴上，且c＝1，因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以a－c＝1，得a＝2，如图所示，设椭圆C的另一个焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，所以|PM|－|PF|＝|PM|＋|PF′|－4. 1234567891011121314当F′，P，M三点共线时，|PM|＋|PF′|取得最小值，所以|PM|－|PF|的最小值为1. 1234567891011121314(1)求椭圆C的离心率； 由题意得，A(－a,0)，直线EF2的方程为x＋y＝c，即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，所以2c2＋ac－a2＝0，1234567891011121314 1234567891011121314即2e2＋e－1＝0， 1234567891011121314(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的标准方程. ①所以|PF1||PF2|＝4，得a2－c2＝3，②1234567891011121314 1234567891011121314联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 10.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；1234567891011121314 1234567891011121314在△F1PF2中，由余弦定理得，所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2， 1234567891011121314所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时，等号成立，所以3a2≥4(a2－c2)， 1234567891011121314又因为0<e<1， (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.1234567891011121314所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 11.(多选)(2023·长沙模拟)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是A.卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B.卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆D.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间1234567891011121314综合提升练√√√ 1234567891011121314根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，B不正确；当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度更慢，根据面积守恒定律，则运行时间更长，D正确. 1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314√拓展冲刺练√ 1234567891011121314所以△MF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，A正确； 1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314如图，过M作切线l的垂线交AB于N，过A，O，B分别作l垂线交l于A1，O1，B1，由光学性质可知MN平分∠AMB，∠B1MB＝∠A1MA，则∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM， 1234567891011121314 更多精彩内容请登录www.xinjiaoyu.com第八章直线和圆、圆锥曲线