第八章　§8.5　椭　圆

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§8.5　椭　圆考试要求　1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝(0<e<1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．(2)＝|PF1||PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　√　)(3)＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(　×　)(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　×　)教材改编题1．椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为(　　)A．6B．3C．4D．2答案　A解析　由椭圆方程＋＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6.2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝2，则离心率e＝＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期3．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　)A．3B．2＋C．2D.＋1答案　A解析　由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.题型一　椭圆的定义及其应用例1　(1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．双曲线的一支答案　A解析　设动圆P的半径为r，又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆．(2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．答案　解析　方法一　由题意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos60°＝4a2－3|PF1||PF2|＝4a2－16，∴|PF1||PF2|＝，∴＝|PF1||PF2|sin60°＝××成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期周长的最大值为(　　)A．4B．8C．10D．20答案　D解析　如图，设F1为椭圆C的左焦点，则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，所以△ABF周长的最大值为20.题型二　椭圆的标准方程命题点1　定义法例2　(2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2),F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　D解析　由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2，焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1.命题点2　待定系数法例3　已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________．答案　＋＝1解析　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．将P1，P2代入方程，得解得所以椭圆的方程为＋＝1.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期思维升华　根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．跟踪训练2　(1)“1<k<5”是方程“＋＝1表示椭圆”的(　　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1<k<5且k≠3，当1<k<5时，该方程不一定表示椭圆，例如当k＝3时，方程变为x2＋y2＝2，它表示一个圆，即“1<k<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．(2)(2022·南京师大附中模拟)已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　B解析　如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1,0)，点C，F1是线段AB的三等分点，得C为AF1的中点，F1为BC的中点，所以x0＝1，所以＋＝1，解得y0＝，即A，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则下列结论正确的是(　　)A．椭圆的长轴长等于4B．椭圆的离心率为C．椭圆的标准方程可以是＋＝1D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2答案　CD解析　设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝得2a＝＝8，解得a＝4，A不正确；显然b＝2，则c＝＝2，离心率e＝＝，B不正确；当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为＋＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，D正确．6．(多选)(2022·白山模拟)椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下四个命题中正确的是(　　)A．若过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8B．椭圆C上存在点P，使得·＝0C．椭圆C的离心率为D．若P为椭圆＋y2＝1上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，则点P，Q的最大距离为3答案　ABD解析　由椭圆C：＋y2＝1得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4a＝8，故A正确；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期因为c>b，所以以原点为圆心，以c为半径的圆交y轴于短轴顶点的外部，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，即使得·＝0，故B正确；椭圆C的离心率e＝＝，故C错误；因为P为椭圆＋y2＝1上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，当点P，Q的坐标为P(2,0)，Q(－1,0)或P(－2,0)，Q(1,0)时，点P，Q的距离最大，|PQ|max＝2＋1＝3，故D正确．7．(2022·天津模拟)已知B(－，0)是圆A：(x－)2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为________________．答案　＋y2＝1解析　如图，连接BD，由题意得|BD|＝|CD|，则|BD|＋|DA|＝|CD|＋|DA|＝4>2＝|AB|，由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为(±，0)，长半轴长为2，故短半轴长为1，故动点D的轨迹方程为＋y2＝1.8．(2023·平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为____________；若P为椭圆C上一动点，M(3,3)，则|PM|－|PF|的最小值为________．答案　＋＝1　1解析　因为椭圆C的一个焦点为F(0,1)，所以椭圆C的焦点在y轴上，且c＝1，因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以a－c＝1，得a＝2，因为b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1；将M(3,3)代入椭圆方程，得＋＝>1，所以M点在椭圆外，如图所示，设椭圆C的另一个焦点为F′，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期则|PF|＋|PF′|＝4，所以|PM|－|PF|＝|PM|＋|PF′|－4.当F′，P，M三点共线时，|PM|＋|PF′|取得最小值，且最小值为|MF′|＝＝5，所以|PM|－|PF|的最小值为1.9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的标准方程．解　(1)由题意得，A(－a,0)，直线EF2的方程为x＋y＝c，因为A到直线EF2的距离为b，即＝b，所以a＋c＝b，即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，所以2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍)，所以椭圆C的离心率为.(2)由(1)知离心率e＝＝，即a＝2c，①因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，则|PF1||PF2|sin60°＝，所以|PF1||PF2|＝4，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期由方程组得a2－c2＝3，②联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解　不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c.在△F1PF2中，由余弦定理得，cos60°＝＝，即＝，所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，所以|PF1|·|PF2|＝.又因为|PF1|·|PF2|≤2＝a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时，等号成立，所以3a2≥4(a2－c2)，所以≥，所以e≥.又因为0<e<1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是.(2)证明　由(1)可知|PF1|·|PF2|＝，所以＝|PF1|·|PF2|sin60°成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝××＝，所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．11．(多选)(2023·长沙模拟)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是(　　)A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆D．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间答案　ACD解析　根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，B不正确；＝＝－1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确；当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度更慢，根据面积守恒定律，则运行时间更长，D正确．12．(2022·邯郸模拟)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为________．答案　解析　由题意可得a＝3，b＝，c＝＝2.如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4，根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a－2c＝2，又因为|F1F2|＝2c＝4，所以cos∠PF2F1＝＝成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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