四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高三文科数学上学期第一次调研考试试题（Word版附解析）

仁寿一中南校区高2021级高三第一次调研考试文科数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名.考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据分式不等式的解法和对数函数的性质，分别求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由不等式，可得，即集合，由不等式，可得，即集合，所以.故选：C.2.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根据复数的几何意义求出复数、，结合复数的除法运算，即可求得答案.【详解】由于复数，在复平面内对应的点分别为，，故，则，故选：D3.为研究某药品疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有8人，则第三组中有疗效的人数为（）A.8B.10C.12D.18【答案】B【解析】【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案.【详解】由题可知样本总数为，设第三组有疗效的人数为人，则，解得人.故选：B.4.下列命题中，是真命题且是全称命题的是（）A.对任意实数a，b，都有B.梯形的对角线不相等 C.D.所有的集合都有子集【答案】D【解析】【分析】根据全称量词定义可知A，B，D为全称量词命题，进而根据不等式性质可判断A选项，根据梯形的性质可判断B选项，根据子集的定义可判断D选项.【详解】根据全称命题的定义可知，全称命题有A，B，D三项，C为特称命题，对于A，有，故A为假命题；对于B，梯形的对角线不一定相等，故B为假命题；对于D，根据子集的定义可知，D为真命题.故选：D5.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，即可求出、，再根据，即可求出，从而求出双曲线方程，最后求出渐近线方程；【详解】解：依题意，所以，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为；故选：C6.已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义及判定，即可求解.【详解】对于A中，由，则不一定成立，反之：若，则不一定成立，所以是的即不充分也不必要条件，所以A不符合题意；对于B中，由，则不一定成立，反之：若，则不一定成立，所以是的即不充分也不必要条件，所以B不符合题意；对于C中，由，则成立，反之：若，则不一定成立，所以是的充分不必要条件，所以C符合题意；对于D中，由，则不一定成立，反之：若，则成立，所以是的即必要不充分条件，所以D不符合题意.故选：C.7.《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫.不更.簪裹.上造.公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫.不更.簪裏.上造.公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出16钱，则公士出的钱数为（       ）A.12B.23C.24D.28【答案】D【解析】【分析】依题意由等差数列通项公式及其前项和公式计算即可得出答案.【详解】根据题意可知，5人所出钱数成递增等差数列，不妨设大夫所出的钱数为，公差为，易知，；所以可得，解得；因此，即公士出的钱数为28.故选：D8.O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（）A.B.C.D.8【答案】C【解析】 【分析】首先根据焦半径公式求点的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点，,所以，得，,所以的面积.故选：C9.已知正方体中，E为的中点，则直线与CE所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义作出所求角，解三角形，即可求得答案.【详解】连接，在正方体中，，即四边形平行四边形，故,则直线与CE所成角即为直线与CE所成角，即即为所求角或其补角；设正方体棱长为2，连接，则，在正方体中，平面，平面，故，则,又,而异面直线所成角的范围为，故直线与CE所成角的余弦值为， 故选：A10.如图，△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以为基底表示出，根据可求m的值，再根据数量积的运算律计算即可．【详解】，，设，则，又，，，解得，，．故选：B11.已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前n项和，则；④若，则数列是递增数列；其中正确的个数是（       ） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列及其前n项和的定义与性质一一判定即可【详解】是等比数列，设公比为，对于①，可得，故数列是等比数列，①正确；对于②，由等比中项的性质可知，故，②错误；对于③，，若得，不符合等比数列的性质，③错误；对于④，，若，此时，即是递增数列，若，此时，即是递增数列，故④正确；故选：B12.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（）A.是以4为周期的周期函数B.C.函数有3个零点D.当时，【答案】B【解析】【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】因为，且为偶函数，所以，故的周期为4，故A正确．由的周期为4，则，，所以，故B错误；令，可得，作函数和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；当时，，则，故D正确．故选：B．第Ⅱ卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知函数．则的值____.【答案】5【解析】【分析】令，求出，代入函数解析式计算即可.【详解】令，得， 所以当，故答案为：5.14.已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据两圆公切线条数确定位置关系为外切，再由圆心距与半径的关系列方程求出m的值.【详解】将圆C的方程化为标准方程：，得圆心，半径.圆，圆心，半径.由题可知，两圆外切，则有，解得.故答案为：.15.已知，则______.【答案】##0.28【解析】【分析】先根据两角和的正切公式求出的值，再进行弦化切将用表示，即可求出结果.【详解】因为，解得，因为，将代入得.故答案为：.16.定义一种运算，设（t为常数），且 ，则使函数最大值为4的t值是__________．【答案】【解析】【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可．【详解】若在上的最大值为4，所以由，解得或，所以要使函数最大值为4，则根据新定义，结合与图像可知，当，时，，此时解得，当，时，，此时解得，故或4，故答案为：或4.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17.在中，角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）4【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及两角差的正弦公式可求出结果；（2）由求出，根据正弦定理求出，再根据三角形面积公式可求出结果.【小问1详解】由及正弦定理得．因为，所以．所以．整理得．即．【小问2详解】由（1）可知，则，所以，由正弦定理，得，所以，所以的面积为．18.某城市在创建“国家文明城市”的评比过程中，有一项重要指标是评估该城市在过去几年的空气质量情况，考评组随机调取了该城市某一年中100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如下表：AQI空气质量优良轻度污染中度污染重度污染天数17482015 （1）某企业生产的产品会因为空气污染程度带来一定的经济损失，其中经济损失S（单位：元）与空气质量指数（AQI）（记为x）有关系式，在本年度内随机抽取一天，求这一天的经济损失S大于400元且不超过800元的概率.（2）若本次抽取得样本数据中有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.重度污染非重度污染合计供暖季的天数非供暖季的天数合计100附：0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）（2）表格见解析，有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.【解析】【分析】（1）根据古典概型可求概率；（2）根据独立性检验，填写列联表并代入公式计算.【小问1详解】要使，可知空气质量指数（AQI）.根据题意，空气质量指数（AQI）的天数为20天，所调取的数据为100天，所以概率为.【小问2详解】 补充的列联表为重度污染非重度污染合计供暖季的天数82230非供暖季的天数76370合计1585100.可见，有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.19.如图，在四棱台中，底面，M是中点.底面为直角梯形，且，，.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意可证，可知四点共面，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）过点作于点，连，根据垂直关系分析可得为与平面所成角，运算求解即可.【小问1详解】连接， 因为是中点，且，，则，又因为，则，可知四点共面，由，，可得，，则四边形是平行四边形，故，且平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为底面，底面，则，且，，平面，所以平面，由（1）可知：，则平面，且平面，所以平面平面，过点作于点，连，平面平面，平面，所以平面，所以为与平面所成角，因为，则，可得，所以直线与平面所成角的正弦值.20.已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程； （2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率及点在椭圆上，列方程组求椭圆参数，即可得椭圆C的方程；（2）讨论直线斜率的存在性，设及l为，联立椭圆方程，应用判别式求t、k的关系，结合韦达定理及已知条件求t的范围，再应用向量数量积的坐标表示得到关于t的关系式，进而其范围，注意直线斜率不存在时的值.【小问1详解】由题意，，又，解得．所以椭圆C为.【小问2详解】设，若直线l的斜率存在，设l为，联立，消去y得：，，则，又，故且，即，则，又， 所以，整理得，则且恒成立．，又，且，故.当直线l的斜率不存在时，，又，又，解得，则．综上，取值范围为．21.已知函数．（1）求的单调区间；（2）存在且，使成立，求的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．【解析】【分析】（1）先求，再由得增区间，由得减区间；（2）先转化为在上存在减区间，即有解，分离参数得有解，只需即可．【小问1详解】由题意得，令得， 时，，在上单调递增；时，，在上单调递减；综上，单调递增区间为，单调递减区间为．【小问2详解】由题意存在且，不妨设，由（1）知时，单调递减．等价于，即，即存在且，使成立．令，则在上存在减区间．即在上有解集，即在上有解，即，；令，，，时，，在上单调递增，时，，在单调递减，∴，∴．【点睛】难点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值及不等式有解问题，属于难题．不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布列不等式组解答，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可），本题（2）就是用这种方法求得k的取值范围的．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程] 22.坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上（Ⅰ）求的值和直线的直角坐标方程及的参数方程；（Ⅱ）已知曲线的参数方程为，（为参数），直线与交于两点，求的值【答案】（Ⅰ），的直角坐标方程为，的参数方程为：（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）将点的极坐标方程代入直线的极坐标方程可求出的值，然后将直线方程化为普通方程，确定直线的倾斜角，即可将直线的方程表示为参数方程的形式；（Ⅱ）将曲线的参数方程表示普通方程，然后将（Ⅰ）中直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的一元二次方程，并列出韦达定理，根据的几何意义计算出和，于是可得出的值．【详解】解：（Ⅰ）因为点，所以；由得于是的直角坐标方程为；的参数方程为：（t为参数） （Ⅱ）由：，将的参数方程代入得，设该方程的两根为，由直线的参数的几何意义及曲线知，，所以．【点睛】本题考查曲线的极坐标、参数方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意义，对于这类问题的处理，一般就是将直线的参数方程与普通方程联立，借助韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题．[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【详解】（1）当时，等价于，解得；当时，等价于，恒成立，解得；当时，等价于，解得； 综上所述，不等式的解集为.（2）不等式的解集包含，等价于在区间上恒成立，也等价于在区间恒成立.则只需满足：且即可即，解得.