四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高三数学（文）上学期开学考试试题（Word版附解析）

仁寿一中南校区高2021级高三第一次调研考试文科数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设全集，集合，集合，则（   ）A．B．C．D．【答案】C2、已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（       ）A．B．C．D．【答案】D3、为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有8人，则第三组中有疗效的人数为（       ）A．8B．10C．12D．18【答案】B4、下列命题中，是真命题且是全称命题的是（   ）A．对任意实数a，b，都有B．梯形的对角线不相等 C．D．所有的集合都有子集【答案】D5、设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ）A．B．C．D．【答案】D6、已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（   ）A．B．C．D．【答案】C7、《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出16钱，则公士出的钱数为（       ）A．12B．23C．24D．28【答案】D8、O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（    ）A．B．C．D．8【答案】C9、已知正方体中，E为的中点，则直线与CE所成角的余弦值为（       ）A．B．C．D．【答案】A10、如图，中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（       ）A．B．C．D．【答案】B11、已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前n项和，则；④若，则数列是递增数列；其中正确的个数是（       ）A．B．C．D．【答案】B 12、已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（    ）A．是以4为周期的周期函数B．C．函数有3个零点D．当时，【答案】B【详解】因为，且为偶函数，所以，故的周期为4，故A正确．由的周期为4，则，，所以，故B错误；令，可得，作函数和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；当时，，则，故D正确．故选：B．第Ⅱ卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13、已知函数．则的值为_______【答案】514、已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为________【答案】14、已知，则________ 【答案】16、定义一种运算（为常数），且则使函数最大值为的值是_______【答案】-2或4_【解析】因为在上的最大值为4，所以，解得或，所以要使函数的最大值为4，根据定义可知，当时，即当时，，解得，当时，即当时，，解得，三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17、在中，角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求；（2）若，求的面积．【解析】(1)由及正弦定理得．因为，所以．所以．整理得．即．(2)由（1）可知，则，所以，由正弦定理，得，所以，所以的面积为．18、某城市在创建“国家文明城市”的评比过程中，有一项重要指标是评估该城市在过去几年的空气质量情况，考评 组随机调取了该城市某一年中100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如下表：AQI空气质量优良轻度污染中度污染重度污染天数17482015(1)某企业生产的产品会因为空气污染程度带来一定的经济损失，其中经济损失S（单位：元）与空气质量指数（AQI）（记为x）有关系式，在本年度内随机抽取一天，求这一天的经济损失S大于400元且不超过800元的概率.(2)若本次抽取得样本数据中有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.重度污染非重度污染合计供暖季的天数非供暖季的天数合计100附：0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】（1）要使，可知空气质量指数（AQI）.根据题意，空气质量指数（AQI）的天数为20天，所调取的数据为100天，所以概率为.（2）补充的列联表为重度污染非重度污染合计供暖季的天数82230非供暖季的天数76370 合计1585100.可见，有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.19、如图，在四棱台中，底面，M是中点.底面为直角梯形，且，，.  (1)求证：直线平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）连接，因为是中点，且，，则，又因为，则，可知四点共面，由，，可得，，则四边形是平行四边形，故，且平面，平面，所以平面.（2）因为底面，底面，则，且，，平面，所以平面，由（1）可知：，则平面，且平面，所以平面平面，过点作于点，连，平面平面，平面，所以平面，所以为与平面所成角， 因为，则，可得，所以直线与平面所成角的正弦值.  20、已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围．【解析】(1)由题意，，又，解得．所以椭圆C为.(2)设，若直线l的斜率存在，设l为，联立，消去y得：，，则，又，故且，即，则，又，所以，整理得，则且恒成立．，又，且，故.当直线l的斜率不存在时，，又，又，解得，则 ．综上，的取值范围为．21、已知函数．(1)求的单调区间；(2)存在且，使成立，求的取值范围．.【解析】（1）由题意得，令得，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减；综上，单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由题意存在且，不妨设，由（1）知时，单调递减．等价于，即，即存在且，使成立．令，则在上存在减区间．即在上有解集，即在上有解，即，；令，，，时，，在上单调递增，时，，在单调递减，∴，∴．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22、在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上（1）求的值和直线的直角坐标方程及的参数方程； （2）已知曲线的参数方程为，（为参数），直线与交于两点，求的值【解析】（Ⅰ）因为点，所以；由得于是的直角坐标方程为；的参数方程为：（t为参数）（Ⅱ）由：，将的参数方程代入得：，设该方程的两根为，由直线的参数的几何意义及曲线知，，；所以．[选修4—5：不等式选讲]23、已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，等价于，解得；当时，等价于，恒成立，解得；当时，等价于，解得；综上所述，不等式的解集为. （2）不等式的解集包含，等价于在区间上恒成立，也等价于在区间恒成立.则只需满足：且即可.即，解得.