江苏省扬州中学2023-2024学年高三数学上学期开学检测试题（Word版附解析）

2023~2024学年度第一学期开学检测高三数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得到，求出交集.【详解】，或，故.故选：A2.若x>0，则的最小值为（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为x>0，所以，当且仅当，即，取等号，故A，B，C错误.故选：D.3.函数f（x）=lnx-的零点所在的大致区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式，求得，结合零点的存在定理，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，可得，， 可得，所以函数的零点所在的大致区间是．故选：B．【点睛】本题主要考查了零点的存在定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意恒成立，参变分离可得恒成立，结合正弦函数的性质计算可得.【详解】函数定义域为，且，依题意恒成立，恒成立，即恒成立，又，所以，即实数的取值范围是.故选：A5.函数在的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据奇偶函数的对称性排除A，再根据对应的函数值符号排除BC即可求解. 【详解】，，定义域关于原点对称，，是奇函数，排除A；当时，，排除C；当时，中，故，排除B.故选：D6.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知不等式变形可得，构造函数，其中，分析函数在上的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出，再结合对数函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为，令，其中，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，即，故，则，所以，，则，A错B对；无法确定与的大小，故与的大小无法确定，CD都错.故选：B. 7.已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（）A.B.C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据题目条件得到，故的一个周期为8，从而得到，计算出，得到答案.【详解】因为，所以，即，又，故，即①，用代替得②，由①②得，故的一个周期为8，故，又得，时，，故，故.故选：A8.若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，，又导函数得到在上单调递减，结合是定义在R上奇函数得到与0的大小，从而解不等式.【详解】令，， 则，当时，，故在上单调递减，则当时，，因为可导函数是定义在R上的奇函数，故，当时，所以，解得，又，故不等式的解集为.故选：B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9.下面命题正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.“”是“”的充分不必要条件C.“”是“”的必要不充分条件D.“且”是“”的必要不充分条件【答案】BC【解析】【分析】A选项，可举出反例，得到充分性不成立；B选项，证明出充分性成立，举出例子得到必要性不成立，B正确；C选项，举出反例得到充分性不成立，再证明出必要性成立；D选项，证明出充分性成立，D错误.【详解】A选项，设，满足，但无意义，故充分性不成立，A错误；B选项，当时，，充分性成立，当时，满足，但不满足，必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，B正确；C选项，当且时，此时，故充分性不成立， 当时，解得且，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，C正确；D选项，且时，，充分性成立，D错误.故选：BC10.下列命题中正确的是（）A.的最小值是2B.当时，的最小值是3C.当时，的最大值是5D.若正数满足，则的最小值为3【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，①，但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误.B选项，当时，，，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.C选项，当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以C选项正确.D选项，是正数， ，当且仅当时等号成立，所以D选项正确.故选：BCD11.已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（）A.当，有1个零点B.当时，有3个零点C.当，有2个零点D.当时，有7个零点【答案】ABD【解析】【分析】将函数的零点个数问题转化为解的个数问题，设，即有，然后结合每个选项中t的范围作出函数图象，数形结合，即可求解相应方程的解，进而确定函数零点个数.【详解】令，则，设，则等价于，则函数的零点个数问题即为解的个数问题；二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，对于A，当时，作出函数的图象如图：由图象可知有一个根，则由可知此时方程只有一个解， 此时函数的零点个数为1，A正确；对于B，当时，，作出函数的图象如图：由图象可知有一个根，令，令，则有3个解，即和，此时此时函数有3个零点，B正确；对于C，当时，分析同A，函数有1个零点，C错误；对于D，当时，，作出函数的图象如图：由图象可知有3个根，当时，；当时，， 则对于，当时，，当时，，此时共有3个解；对于，此时有1个解，即有2个解，对于，此时有1个解，即无解，故此时函数有7个零点，D正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：本题是关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.12.已知函数及其导函数满足，且，则下列说法正确的是（）A.在上有极小值B.的最小值为C.在上单调递增D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据导数的运算法则结合求得函数的表达式，同时求得，然后利用导数确定，的单调性和最值．【详解】因为函数及其导函数满足，则，即，令（为常数），所以，，因为，可得，所以，，，，时，，递减，时，，递增， 对于A选项，易得时达到极小值；A对对于B选项，，B错；，对于C选项，当时，，所以上单调递增，C对；对于D选项，，令，可得，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，，D对.故选：ACD．【点睛】难点点睛：对于已知等式中含有，的式子，难点在于构造新函数，已知条件转化为新函数的导数的关系式，从而得出新函数的性质．常见的新函数有，，，，，．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数，则定义域是________．【答案】【解析】【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.【详解】由可得，，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.14.已知关于的不等式的解集为，则_______________. 【答案】16【解析】【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答.【详解】因关于x的不等式的解集为，则是方程的二根，则有，解得，所以.故答案为：16.15.若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是______.【答案】或【解析】【分析】设切点，然后利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程化简，得到关于的二次方程，则此方程有两个不相等的实根，从而由可求得答案.【详解】，设切点，则切线的斜率为，故切线方程为，取，代入，得，∵，∴有两个不等实根，故，解之，得或，故答案为：或16.已知函数，当，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为_________.【答案】12【解析】【分析】不妨设，由函数的单调性化简不等式为，引入函数 ，问题转化为恒成立，由此只要用导数确定的单调性，再由分离参数法转化为求函数的最值，得出结论．【详解】因为，函数在上单调递增，不妨设，则，可化为，设，则，所以为上的减函数，即在上恒成立，等价于在上恒成立，设，所以，因，所以，所以函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）.所以.故答案为：12.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题中含有两个自变量以及其它参数，解题方法有两种，（1）不妨设，转化不等式后利用函数的单调性把问题转化为新函数的单调性：如，再解决新函数的单调性得出参数范围；（2）不妨设，然后引入参数（，已知关系转化为关于的关系式，从而利用换元法变为关于的关系式（降元，即二元变一元），再由新函数的性质求得参数范围．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）7（2） 【解析】【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可，（2）利用对数的运算性质求解即可【小问1详解】.【小问2详解】.18.已知函数是定义域为R的偶函数.（1）求实数的值；（2）若对任意，都有成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）2（2）【解析】分析】（1）由偶函数定义求得参数值；（2）由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得范围．【小问1详解】由偶函数定义知：， 即，∴对成立，.【小问2详解】由（1）得：；∵，∴，当且仅当即时等号成立，∴，∴，即，解得：或，综上，实数的取值范围为.19.已知集合，，命题，命题.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据元素和集合的关系列式可求出结果；（2）根据且是的真子集列式，解不等式组可得结果.【小问1详解】，且，∴，解得.即实数的取值范围是.【小问2详解】，得或，由，得，， 是的充分不必要条件，∴是的真子集，所以（等号不能同时取得），解得，又或，所以.实数的取值范围是.20.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：对任意的.【答案】（1）在上单调递减，上单调递增（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再根据导数和单调性的关系，即可求解；（2）不等式转化为证明，再构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证明不等式.【小问1详解】由题可知函数的定义域为令得或（舍去）-0+单调递减极小值单调递增所以，在上单调递减，上单调递增.小问2详解】 ，要证明，只用证明，令，设，，即单调递增，，，可得函数有唯一的零点且，满足，当变化时，与的变化情况如下，0单调递减极小值单调递增所以，因为，因为，所以不取等号，即，即恒成立，所以，恒成立，所以，对成立.21.已知函数．（1）若在上存在单调减区间，求实数的取值范围；（2）若在区间上有极小值，求实数的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用在上有解，分离参数求解作答.（2）由（1）的信息，分析函数的极值情况，再建立不等式求解作答.【小问1详解】函数，求导得，因为函数在上存在单调减区间，则不等式在上有解，即在上成立，而函数在上递减，显然，于是，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由（1）知，，即，解得，当或时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得极小值，于是，即，当时，不等式成立，当时，解得，则，所以实数的取值范围是.22.已知函数．（1）若，求的最小值；（2）若方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）时，设，利用导数判断出的单调性可得答案；（2）即有解，构造函数设，利用导数判断出的单调性，可得方程有解转化为在上有解，再构造函数，利用导数求出值域可得答案．【小问1详解】当时，，，设，则，在上单调递增，且，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以；【小问2详解】即，即，设，则，，设，则，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即，在上单调递增，所以方程有解即在上有解， 有解，即有解，设，则，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，当时，，所以，即实数a的取值范围是．