四川省宜宾市叙州区第二中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

叙州区第二中学2023年春期高一期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】由可解得结果.【详解】依题意可得，解得.故选：A.2.等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用诱导公式化简角，然后利用正弦的两角差公式即可得到答案.【详解】故选：C.【点睛】本题考查两角差的正弦公式和诱导公式的应用，属于基础题.3.函数的图象的一条对称轴方程是（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】令，求出图像的对称轴，然后逐项代入求出，为整数即可解的答案.【详解】解：由题意得：令，可得当时，当时，当时，当时，故选：D．4.若点M是的重心，则下列各向量中与共线的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】，，由M是的重心可得，，即可选出答案.【详解】，不与共线，不与共线因为点M是的重心，所以，，所以，与共线，不与共线故选：C 【点睛】若点是的重心，则有5.已知，则A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用两角差的余弦可得的值，平方后得到的值.【详解】因为，故即，故即，故选A.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.6.设向量，，则在上的投影的数量为（）A.1B.2C.1D.2【答案】B【解析】【分析】利用平面向量数量积的几何意义直接求解即可【详解】因为，，所以在上的投影的数量为，故选：B7.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设圆锥的高为h，母线长为l，根据圆锥的侧面积公式求出，再利用勾股定理求出，最后 根据体积公式计算可得；【详解】解：设圆锥的高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积，故，故圆锥的体积．故选：C．8.如图，在中，，，是棱的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】在中，由余弦定理求得，再由当三棱锥体积最大，把三棱锥补形为一个长方体，结合长方体求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】在中，因为，，由余弦定理可得，所以，当，即平面，三棱锥体积最大，此时､､两两垂直，可把三棱锥补形为一个长方体，且长方体长、宽、高分别为：，所以三棱锥的外接球半径为：， 所以外接球的表面积为：.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题目条件与余弦二倍角公式得到，,求出或，结合，求出的值.【详解】由条件知，，∴，∴或，∵，∴，或．故选：ACD10.已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况：，此时有，解得； 或，此时有，解得；故选：AB11.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】切化弦后，由平方关系化为关于的方程，解方程可得，求出后由商数关系得，再由正切的二倍角公式得，由余弦的二倍角公式得，由两角和的正弦余弦公式化简后代入值可得．【详解】对于选项A，∵，∴，∴，解得或（舍），故选项A正确；对于选项B，∵，∴，，，故选项B正确；对于选项C，，故选项C错误； 对于选项D，，故选项D正确．故选：ABD．12.已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.周期为B.直线是图像的一条对称轴C.点是图像的一个对称中心D.将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像【答案】AC【解析】【分析】根据图像最高点得到，由周期得到，再将点代入函数解析式中求得，再根据正弦型函数的图像性质，对选项逐一判断即可得到结果.【详解】由函数图像可知，，最小正周期为，，将点代入函数解析式中，得：，又，，故． 对于选项A：函数的最小正周期为，故A正确；对于选项B：令，即，因此其对称轴为，，无论取何值，，故B不正确；对于选项C：令，所以，即的对称中心为，点是图像的一个对称中心，故C正确；对于选项D：将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，该函数不是偶函数，故D不正确；故选：AC.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的最小正周期是，则的值＝_____________【答案】【解析】【分析】根据题意，得到，求解，即可得出结果.【详解】因为函数的最小正周期是，所以，解得故答案为【点睛】本题主要考查三角函数的周期公式，熟记公式即可，属于基础题型.14.已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数_________．【答案】或【解析】【分析】根据向量共线运算求解.【详解】因为与是两个不共线的向量，若三点共线，则，即， 可得，解得或.故答案为：或.15.如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．【答案】【解析】【分析】还原原图，计算面积即可.【详解】在斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，，可得，．还原原图形如图：则，则，故答案为：.16.已知在中，，，，，，则的值为_________.  【答案】【解析】【详解】在中，，建立直角坐标系, ,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故填.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）已知点，，，，，若点在第四象限，求的取值范围；（Ⅱ）已知和是两个非零向量，向量和向量垂直，且向量和向量垂直，试求和的夹角．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示求得点坐标，由点在第四象限可得参数范围；（2）由垂直数量积为0求得与的关系，从而由数量积定义求得向量夹角．【详解】（1）由已知，，所以点坐标是，在第四象限，则，解得；（2）由已知，解得， ，，所以．18.已知函数．（1）用五点法作出一个周期内的图象；（2）若方程在区间上有解，请写出的取值范围，无需说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）按照五点法，列表出表格、画出函数图形即可；（2）问题转化为与在区间上有交点，数形结合，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】列表01绘制图象如下：【小问2详解】方程，即与在区间上有交点． 结合函数图象可知，要使有解，则，所以，故的取值范围是．19.已知a，b为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）已知和的值，可求和的值，诱导公式化简后求值；（2），展开后代入已知数据即可求值.【小问1详解】a，b为锐角，，∴，，∴，则，则【小问2详解】 20.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.（1）求BC的长；（2）若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）结合图形不难得到，且米，接下来结合正弦定理即可表示出BC的长；（2）结合已知＝15°，＝45°，代入（1）的结果计算可得的长度，在中求出的度数，再结合正弦定理得到，至此问题得到解决.【小问1详解】在中，，根据正弦定理得，所以.【小问2详解】由（1）知米．在中，，， 根据正弦定理得，即所以．21.中，角、、所对的边分别是、、，若，，且.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，利用正弦定理边角互化思想得出，再利用余弦定理可得出的值，从而可得出的值；（2）由（1）得出，利用余弦定理可求出、的值，再利用三角形的面积公式可求出的面积.【详解】（1），.由同角三角函数的平方关系得.，由正弦定理可得.由余弦定理得，，由正弦定理边角互化思想得；（2）由（1）可知，由余弦定理得，，则，， 由三角形面积公式可知，面积为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积公式应用，要根据三角形已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，同时也考查充分利用边角互化思想的应用，简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.22.如图，在四边形中，（1）证明；（2）设，求的最大值，并求取得最大值时的值为多少.【答案】（1）证明见解析（2），0【解析】【分析】（1）由题中条件，结合向量的线性运算及数量积运算可得，即可得证；（2）依题意，可知，，又，由平面向量基本定理可得的方程组，进而得出的解析式，利用二次函数的性质求最值即可.【小问1详解】，即，得，，得，.【小问2详解】 依题意，，由题可知.，.，又不共线，即，.当时，取得最大值，且最大值为，此时.