山东省济宁市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2022—2023学年度第二学期质量检测高一数学试题本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据复数对应的点即可得到答案.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选：B2.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若为角终边上的一点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义分析运算. 【详解】由题意可得：.故选：A.3.若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的边的长度为（）A.2B.C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，根据勾股定理即可求解．【详解】由斜二测画法的直观图知：，，，，，原图形中，，，，，，,故选：C4.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式可得. 【详解】故选：A5.已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案．【详解】设该圆锥的底面半径为,母线为，则，，故，则圆锥的高为，因此该圆锥的体积，故选：D6.如图所示，要测量电视塔的高度，可以选取与塔底在同一水平面内的两个观测基点与，在点测得塔顶的仰角为，在点测得塔顶的仰角为，且，，则电视塔的高度为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，求得，，在中，利用余弦定理可得出关于的方程，结合可求得的值，即为所求.【详解】设，在中，，则，在中，，则为等腰直角三角形，故，在中，，，，，由余弦定理可得，即，可得，因为，解得，故选：C.7.在三棱锥中，，是边长为6等边三角形，若平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取的中点，的中点，取的外心，分别过点，作平面，平面，且，由题意得到点为三棱锥的外接球的球心，设外接球的半径为，则为外接球的半径，利用勾股定理求得，代入球的表面积公式即可求解．【详解】取的中点，的中点，连接，，如图所示， 由，有，则，所以点为外心，因为为等边三角形，取的外心，分别过点，作平面，平面，且，则点为三棱锥的外接球的球心，设外接球的半径为，连接，则为外接球的半径，由题可知，又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，所以四边形为矩形，所以，又，所以，所以三棱锥的外接球的表面积．故选：B．8.在中，，边上一点满足，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在、中，分别利用正弦定理可得出，即可得出 ，利用平面向量的减法可得出关于、的表达式，可得出、的值，即可得解.【详解】在中，由正弦定理可得．①在中，由正弦定理可得．②因为，，，由①②可得，则，即，解得，又因为，且、不共线，所以，，所以．故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数的的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于对称C.在上为减函数D.把的图象向右平移个单位长度可得一个偶函数的图象【答案】AB 【解析】【分析】根据函数图象可得解析式为，即可结合选项逐一求解.【详解】由图可知：,故A正确，当时，,进而，由于，故，对于B，，故B正确，对于C，，故在先减后增，故C错误，对于D，把的图象向右平移个单位长度得，由于为奇函数，故D错误，故选：AB10.已知向量，，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则与夹角为钝角D.当时，则在上的投影向量的坐标为【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合向量共线、垂直及投影向量的意义计算判断各选项作答.【详解】向量，，对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由，得，解得，B正确；对于C，当时，反向共线，夹角为，此时与的夹角不为钝角，C错误；对于D，当时，，，因此在上的投影向量为，D正确.故选：BD11.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是（）A.男生样本容量为100B.抽取的样本的均值为C.抽取的样本的均值为166D.抽取的样本的方差为43【答案】ACD【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解A，由平均数和方差的计算公式即可求解BCD.【详解】根据分层抽样可知抽取的男生有人，女生由人，故A正确，样本均值为，故B错误，C正确，样本方差为：，故D正确，故选：ACD12.如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，点为棱上的动点（包含端点），则下列说法中正确的是（）A.B.三棱锥的体积为定值 C.的最小值为D.当P为的中点时，平面截正方体所得截面的面积为【答案】ABD【解析】【分析】A选项由平面可得；B选项由等体积变化可得；C选项由展开面线段长可得；D选项先确定截面，然后计算面积可得.【详解】选项A：连接，由正方体的性质得平面，，因平面，所以，因平面，平面，，所以平面，又因平面，所以，故A正确；选项B：如图到平面的距离为，到的距离为2，，故B正确； 选项C：如图，将正方形与放在同一平面中，则的最小值为线段，故C错误；选项D：如图，连接，由正方体的性质得，则在平面上，故四边形即为平面截正方体所得截面，因为的中点，故，又因平面,面所以故四边形为矩形，，，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则________．【答案】4 【解析】【分析】利用同角三角函数的关系，化简求值.【详解】已知，则.故答案为：414.已知是关于的方程的一个根，则________．【答案】【解析】【分析】由一元二次方程的根互为共轭复数，再由韦达定理可求，即得.【详解】因是关于的方程的一个根，所以是关于的方程的另一个根，由韦达定理得，，得，，所以，故答案为：.15.在正四棱锥中，，点是的中点，则直线和所成角的余弦值为________．【答案】【解析】【分析】根据中位线可得异面直线所成的角，利用三角形的边角关系即可求解.【详解】如图，连接，相交于，连接，则为的中点，又为的中点，所以，所以为异面直线和所成的角或其补角． 又为等边三角形，且边长为2，故，又，所以，所以，所以．异面直线和所成的角的余弦值为故答案为：16.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理边化角，即可得到，从而得到，再由正弦定理将转化为关于的三角函数，结合的取值范围及余弦函数、二次函数的性质计算可得.【详解】因为，所以，由正弦定理可得，，，，，，即，，由为锐角三角形得，解得． ，因为，所以，所以当时，取得最大值．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某学校举行高一学生数学素养测试，现从全年级所有学生中随机抽取100名学生的测试成绩（其成绩都落在内），得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，．（1）求频率分布直方图中的值：（2）估计该样本的80%分位数．【答案】（1）（2）80%分位数为【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）利用百分位数的计算公式即可由频率之和求解.【小问1详解】由题意知 解得【小问2详解】因为，，，，所以该样本的80%分位数一定位于内，由可以估计该样本的80%分位数为18.已知向量与的夹角为，且，．（1）求；（2）若向量，，求与的夹角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，结合可求得的值；（2）利用平面向量数量积的运算性质求出、、的值，可求出的值，结合向量夹角的取值范围可得出与的夹角.【小问1详解】解：因为，，所以，即，因，解得. 【小问2详解】解：因为，，所以，同理．所以，又，所以，故与的夹角为．19.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数单调性运算求解；（2）由题意可得，根据结合两角和差公式运算求解【小问1详解】因为，令，，解得，， 所以的单调递增区间为，.【小问2详解】由，可得因为，则，所以，所以，即.20.如图，在三棱台中，，，分别为，的中点．（1）求证：平面;（2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）通过证明平面平面，即可证明平面； （2）通过求出棱台上下底面面积和三棱锥的体积表达式，即可求出三棱台的体积.【小问1详解】由题意，，分别为，的中点，，又平面，平面，平面，，为的中点，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，又，平面平面∵平面，∴平面.【小问2详解】由题意及（1）得，设的面积为，则由几何知识知的面积为，的面积为，设三棱台的高为，则，∴.21.在中，内角，，的对边分别为，，，若．（1）求角的大小; （2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)将化成，然后结合正弦定理求解；(2)运用等面积法先表示出，然后结合余弦定理以及基本不等式求解线段长度的最大值.【小问1详解】因为，所以，即，由正弦定理得，即,由余弦定理得，又，所以.【小问2详解】由余弦定理得，即所以，即（当且仅当时，等号成立）因为，所以，解得,因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立），所以长度的最大值为．22.如图，在直三棱柱中，平面平面．（1）求证：为直角三角形；（2）设点，分别为棱，的中点，若二面角的大小为，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）根据二面角的定义分析可得，利用等体积法求点到平面的距离，进而结合线面夹角运算求解.【小问1详解】因为为直三棱柱，则平面，且平面，可得，过点A作，垂足为，又因为平面平面，平面平面，平面，可得平面，且平面，可得， ，，可得平面，且平面，可得，所以为直角三角形.【小问2详解】由（1）可知：平面，平面，所以，，则即为二面角的平面角，可得，所以，设点到平面的距离为d，直线与平面所成角为，可得，，则，，因为，则，即，解得，可得，所以直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】方法点睛：证明线面垂直的常用方法1.利用线面垂直的判定定，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直．2.利用面面垂直的性质定，把证明线面垂直转化为证明面面垂直．3.利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．