2024届高考数学一轮复习第02讲 三角恒等变换（和差公式、倍角公式）（教师版）

第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式）（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第8题,5分用和、差角的正弦公式化简、求值二倍角的余弦公式三角函数求值2023年新Ⅱ卷，第7题,5分半角公式、二倍角的余弦公式无2023年新Ⅱ卷，第16题,5分由图象确定正(余)弦型函数解析式特殊角的三角函数值2022年新Ⅱ卷，第6题,5分用和、差角的余弦公式化简、求值用和、差角的正弦公式化简、求值无2021年新I卷，第6题,5分二倍角的正弦公式正、余弦齐次式的计算三角函数求值2021年新I卷，第10题,5分逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式数量积的坐标表示坐标计算向量的模2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考 知识讲解1.正弦的和差公式2.余弦的和差公式3.正切的和差公式4.正弦的倍角公式5.余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式： ，1.正切的倍角公式2.半角公式(1)sin＝±.(2)cos＝±.(3)tan＝±＝＝.以上称之为半角公式，符号由所在象限决定．3.和差化积与积化和差公式4.推导公式5.辅助角公式，，其中，考点一、两角和与差的三角函数综合应用 1．（福建·高考真题）等于（　）A．0B．C．1D．【答案】C【分析】由题得原式=，再利用和角的正弦公式化简计算.【详解】由题得原式=.故选C【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．（江西·高考真题）若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于（   ）A．3B．－3C．D．【答案】C【分析】由两角差的正切公式即可求解.【详解】解：tan(α－β)＝＝＝，故选：C.3．（2022·全国·统考高考真题）若，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.4．（2020·全国·统考高考真题）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.1．（2023·全国·高三专题练习）（    ）A．B．C．D． 【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】．故选：A.2．（2023·云南昭通·统考模拟预测）的值为（    ）A．B．1C．D．【答案】A【分析】运用正切两角和公式变形求解即可.【详解】，令，则，所以，即.故选：A.3．（2020·全国·统考高考真题）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（    ）A．–2B．–1C．1D．2【答案】D【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.4．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知，则（    ）A．0B．C．D．【答案】A【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于的方程，解之即可求得的值.【详解】，， 又，则，则故选：A5．（2004·上海·高考真题）若，则.【答案】3【分析】直接利用和角的正切公式求解.【详解】由题得.故答案为：36．（2023·山东德州·三模）若为锐角，且，则．【答案】2【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解.【详解】因为，所以，故答案为：2考点二、倍角公式的综合应用1．（2021·全国·统考高考真题）（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意， .故选：D.2．（2020·江苏·统考高考真题）已知=，则的值是.【答案】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.3．（2021·全国·统考高考真题）若，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．4．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（    ）．A．B．C．D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此， 则，所以.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．5．（2021·全国·高考真题）若，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.1．（2021·北京·统考高考真题）函数是A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为 【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】已知，所以.故选：A.3．（2023·湖南·校联考二模）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】解：因为，所以，即，所以．，故选：B． 4．（2022·浙江·统考高考真题）若，则，．【答案】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵，∴，即，即，令，，则，∴，即，∴，则.故答案为：；.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵，∴，即，又，将代入得，解得，则.故答案为：；.5．（2020·浙江·统考高考真题）已知，则；．【答案】【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得【详解】，， 故答案为：【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.考点三、半角公式的综合应用1．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（    ）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为，而为锐角，解得：．故选：D．2．（全国·高考真题）已知，求的值．【答案】【分析】根据同角三角函数关系求得，再根据半角公式即可求得结果.【详解】因为，故可得，又.1．（2023·四川泸州·统考模拟预测）已知，若是第二象限角，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据诱导公式求出，再利用平方关系可求，然后利用公式即可求解. 【详解】解：因为，所以，又是第二象限角，所以，所以.故选：B．2．（2023·江西·校联考模拟预测）若，是第三象限的角，则＝（　　）A．2B．C．﹣2D．【答案】C【分析】将表达式中的正切化成正余弦，由，求出，代入即可求解．【详解】由且是第三象限的角，可得，又由，即.故选：C.3．（2023·浙江·校联考二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析可得． 【详解】由已知，则，，又，，，，因此，故选：C．考点四、辅助角公式的综合应用1．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则；．【答案】1【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.【详解】∵，∴∴故答案为：1，2．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ）A．和B．和2C．和D．和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C． 3．（2020·北京·统考高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为．【答案】（均可）【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.【详解】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ）A．B．4C．D．7【答案】C【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令，则，代入原式化简得，因为存在实数，则，即，化简得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值，法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若函数的最小值为，则常数的一个取值为.（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）.【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数的一个取值即可.【详解】可化为，所以，设，则，设，则，因为函数的最小值为，所以，，所以或，其中，故答案为：（答案不唯一）.3．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知则函数的最大值为.【答案】【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求最大值.【详解】，,令,因为,所以, 所以,所以,所以,对称轴,所以在单调递增,所以当时，,即当,时，有最大值.故答案为:.4．（2023·浙江宁波·统考一模）若，则．【答案】/0.5【分析】利用辅助角公式得即可求出即可求解.【详解】因为,所以即，所以，所以故答案为:.考点五、三角恒等变换的综合应用1．（2023·吉林延边·统考二模）下列化简不正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，所以A选项正确.B选项，，B选项正确.C选项，，C选项正确.D选项，，D选项错误.故选：D2．（2023·江苏·校联考模拟预测）若，则（    ）A．0B．C．1D．【答案】C【分析】根据题意和正弦的倍角公式，化简得到，再由余弦的倍角公式，得到，令，求得，结合，即可求解.【详解】解：由，可得，又由正弦的倍角公式，可得，即，令，则，解得，所以.故选：C.3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知为第二象限角，，则 （    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.【详解】为第二象限角，，原式..故选：B.4．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知为锐角，且，则.【答案】【分析】利用两角和的正弦公式化简得到，利用辅助角公式得到，即可求出，从而得解.【详解】因为，，又，所以，所以，即，因为为锐角，所以，所以，所以，即.故答案为： 1．（2023·山西吕梁·统考三模）已知，则的近似值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先求出，再根据利用两角差的正、余弦公式展开，最后利用诱导公式变形，代入计算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：B2．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知，，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解.【详解】因为，又因为，，所以， 所以因为，所以，所以，所以当为奇数时，，，当为偶数时，，，因为，所以，因为，所以.故选：C.3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知条件算出即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故选：C.4．（2023·河北·校联考一模）函数的最小值为.【答案】/【分析】根据二倍角公式化简，即可求解最值.【详解】因为 ，所以当时，，此时的最小值为.故答案为：【基础过关】一、单选题1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设，则等于（    ）A．-2B．2C．-4D．4【答案】C【分析】先用两角差的正切公式可求出的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为，所以，故，故选：C．2．（2023·山东威海·统考二模）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为，所以.故选：C3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知，，则（    ）A．4B．6C．D． 【答案】D【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.【详解】由得，进而可得，所以，故选：D4．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知直线的倾斜角为，则（    ）A．-3B．C．D．【答案】B【分析】利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】因为直线的倾斜角为，所以.所以.故选：B.5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若，，则（    ）A．1B．C．D．【答案】C【分析】首先求出，即可得到，再根据计算可得.【详解】因为，所以，，，又，所以，即，所以.故选：C 6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简求解即可.【详解】由题意得，，因为，所以，所以，即，所以.故选：B7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知锐角，满足，则的值为（    ）A．1B．C．D．【答案】C【分析】利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，即，即，所以.故选：C8．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知，，，则（    ）A．B．C．D．1【答案】B 【分析】先根据二倍角公式化简条件得：，再根据角的范围及诱导公式得，利用正弦函数的单调性可得，化简求值即可.【详解】由，得，①化简①式，得，又，所以，即，因为，，所以，且在上单调递增，所以，所以，则，所以.故选：B．二、填空题9．（2023·河北·统考模拟预测）已知，则.【答案】/-0.8【分析】根据正切的差角公式得出，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由，又，代入得.故答案为：10．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）若，则的值为．【答案】或 【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.【详解】因为，则，则，即，解得，所以的值为或.故答案为：或【能力提升】一、单选题1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知角，满足，，则（    ）A．B．C．D．2【答案】A【分析】根据积化和差公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解.【详解】由得，进而，则所以，则.故选：A.2．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知，则（    ） A．B．C．D．【答案】D【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.【详解】，，.故选：D3．（2023·四川·模拟预测）设，，，则有（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用辅助角公式化简a，正切二倍角公式和放缩放化简b，余弦二倍角公式化简c，然后根据正弦函数的单调性比较可得.【详解】，，，当，单调递增，所以，所以.故选：C4．（2023·贵州遵义·统考三模）已知锐角满足，则（    ）A．B．C．D．1【答案】D【分析】先根据求出，再利用二倍角得正切公式求出，再根据两角和得正切公式即可得解.【详解】由，得， 即，解得，又为锐角，所以，又，即，解得（舍去），所以，所以.故选：D.5．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若，，则等于（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用二倍角和两角差的余弦公式，再结合角的范围，即可求解.【详解】依题意可知，，即，即，得，因为，，所以，即.故选：D6．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用导数证明不等式当时，，进而得，再讨论与的关系即可判断.【详解】解：令，，则在上恒成立，所以，函数在上单调递减， 所以，当时，，即，；令，，则，所以，函数在上单调递减，所以，当时，，即，，所以，当时，所以，，因为，所以所以，，即，即所以，故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用时，，结合二倍角公式，比较与的关系判断.7．（2023·江苏无锡·校联考三模）设，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性比较b与c，a与b，利用中间值比较即可.【详解】记，则，记，则，又，所以，所以在上单调递减，所以，则，所以在上单调递减，所以，故时，，所以， 所以，又，所以，记，则，所以在上单调递增，所以，即时，，所以，所以，所以.故选：D【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.二、多选题8．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知锐角，，满足，则（    ）A．，可能是方程的两根B．若，则C．D．【答案】BD【分析】由，的符号即可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正、余弦的降幂公式化二次为一次，结合三角函数值的符号可判断C；用两角和的正切公式的变形可判断D.【详解】因为，为锐角，所以，，若，是方程的两根，由韦达定理得，故A错误；因为，为锐角且，函数在上单调递增，故B正确； 因为，为锐角，所以，，故，C错误；因为，所以，又，所以，所以，故D正确.故选：BD.三、填空题9．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）若函数的最小值为，则常数的一个取值为.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，由三角恒等变换公式进行化简，然后由函数的最小值为，列出方程，即可得到结果.【详解】因为其中，，且，即，即，所以，则，.当时，，即的一个取值为.故答案为：.10．（2023·云南保山·统考二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则.【答案】/【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.【详解】根据三角函数的定义可知，， 由二倍角公式得.故答案为：.【真题感知】一、单选题1．（全国·高考真题）的值是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据积化和差及诱导公式即得.【详解】.故选：A.2．（全国·高考真题）的值等于（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二倍角的正弦公式化简计算即可.【详解】解：.故选：B.3．（全国·高考真题）若，则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先利用诱导公式以及二倍角公式将化简得到，再进一步变形即可求解. 【详解】，则解得，.故选：D4．（安徽·高考真题）函数的最小正周期为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平方关系结合二倍角的正弦公式及降幂公式化简，再根据余弦函数的周期性即可得解.【详解】解：，因为函数的最小正周期.故选：B.5．（全国·高考真题）函数的最小正周期是(    )A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为的形式，再由可得到答案．【详解】(其中)，．故选：C．6．（湖北·高考真题）已知，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A 【分析】利用二倍角公式判断，即可得到，再由计算可得.【详解】解：由，又，所以，所以，又，所以或（舍去），所以.故选：A．7．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ）A．1B．C．D．【答案】B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.    二、多选题8．（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A．B．C．D．【答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC三、填空题9．（上海·高考真题）函数的最小正周期为【答案】【分析】化简即得解.【详解】解：由题得，所以函数的最小正周期为.故答案为：10．（2004·全国·高考真题）函数的最大值为．【答案】【分析】由辅助角公式即可求解.【详解】, 其中.而，所以的最大值为.故答案为：