2023高考数学统考一轮复习第4章三角函数解三角形第3节第1课时两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式教师用书教案理新人教版202303081220

　三角恒等变换[考试要求]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝.提醒：(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．(2)二倍角是相对的，如是的2倍，3α是的2倍．3．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).1．公式的常用变式tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；sin2α＝＝；\ncos2α＝＝.2．降幂公式sin2α＝；cos2α＝；sinαcosα＝sin2α.3．升幂公式1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2；1＋sinα＝；1－sinα＝.4．半角正切公式tan＝＝.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)(2)公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)(3)cosθ＝2cos2－1＝1－2sin2.(　　)(4)当α是第一象限角时，sin＝.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×二、教材习题衍生1．已知cosα＝－，α是第三象限角，则cos为(　　)A．B．－C．D．－\nA　[∵cosα＝－，α是第三象限角，∴sinα＝－＝－.∴cos＝(cosα－sinα)＝＝.故选A．]2．已知sinα－cosα＝，则sin2α＝(　　)A．－B．－C．D．A　[∵sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，∴sin2α＝－.故选A．]3．计算：sin108°cos42°－cos72°sin42°＝.　[原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42°＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝.]4．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝.　[tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.]第1课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式考点一　公式的直接应用　应用公式化简求值的策略\n(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[典例1]　(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝(　　)A．B．C．D．(2)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.①求cos2α的值；②求tan(α－β)的值．(1)A　[由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－或cosα＝2(舍去)．又∵α∈(0，π)，∴sinα＞0，∴sinα＝＝＝，故选A．](2)[解]　①因为tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此cos2α＝2cos2α－1＝－.②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.\n1．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tanθ－tan＝7，则tanθ＝(　　)A．－2B．－1C．1D．2D　[由已知得2tanθ－＝7，得tanθ＝2.]2．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(　　)A．B．C．D．B　[由二倍角公式可知4sinαcosα＝2cos2α.∵α∈，∴cosα≠0，∴2sinα＝cosα，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B．]考点二　公式的逆用和变形　两角和、差及倍角公式的逆用和变形的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形①sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；②cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；③1±sinα＝2；④sin2α＝＝；⑤cos2α＝＝；⑥tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．　公式的逆用[典例2－1]　(1)(2020·全国卷Ⅲ)已知sinθ＋sin＝1，则sin＝(　　)A．B．C．D．(2)化简＝.\n(1)B　(2)　[(1)由sinθ＋sin＝1，得sinθ＋sinθcos＋cosθsin＝1，整理得sinθ＋cosθ＝1，即＝1，即sin＝1，∴sin＝，故选B．(2)＝＝＝＝.]点评：(1)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　公式的变形[典例2－2]　(1)若0＜θ＜π，则＝.(2)化简sin2＋sin2－sin2α的结果是．(1)－cosθ　(2)　[(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos＞0，∴＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)＝\n＝2cos＝－2coscosθ，故原式＝＝－cosθ.(2)原式＝＋－sin2α＝1－－sin2α＝1－cos2α·cos－sin2α＝1－－＝.]1．设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝(sin56°－cos56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞bD　[由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝sin13°，b＝(sin56°－cos56°)＝sin56°－cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈为增函数，所以sin13°＞sin12°＞sin11°，所以a＞c＞b.故选D．]2．若α＋β＝－π，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝.2　[由α＋β＝－π得tan(α＋β)＝tan＝1，∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＋1＝1－tanαtanβ＋tanαtanβ＋1＝2.]考点三　利用“角的变换”求值\n　三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[典例3]　(1)已知cos＝，则cosx＋cos＝(　　)A．B．C．D．(2)若α∈，且sin＝，则cos＝.(3)已知sin＝，则cos＝.(1)D　(2)　(3)－　[(1)法一：cosx＋cos＝cos＋cos＝2coscos＝，故选D．法二：cosx＋cos＝cosx＋cosxcos＋sinxsin＝sinx＋cosx＝＝cos＝，故选D．(2)由于角α为锐角，且sin＝，则cos＝，则cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.(3)cos＝cos＝sin＝，∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.]\n点评：常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．1．已知sin＝，α∈，则(1)cosα＝；(2)sin＝.(1)－　(2)－　[(1)由α∈知α＋∈，∴cos＝－＝－＝－，∴cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝－.(2)由α∈和(1)知，得sinα＝.∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，∴sin＝sin2αcos－cos2αsin＝＝－.]2．已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为．　[cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.]