山西省长治市第四中学2023-2024学年高三数学上学期8月月考试题（Word版附解析）

高三8月月考数学试题考试范围：函数、集合考试时间：120分钟考试分数：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合并集的概念及运算，即可求解．【详解】由集合，，根据集合并集的概念及运算，可得．故选：B．2.若函数，若，则实数m的值等于（）A.－3B.1C.－1或3D.－3或1【答案】D【解析】【分析】分段求解方程，即可求得函数的零点.【详解】当时，等价于，解得；当时，等价于，解得.故选：D.【点睛】本题考查函数零点的求解，属基础题.3.已知，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据指数函数的单调性判断与1的大小关系，再由对数函数的单调性判断与0的大小关 系，最后判断与0和1的大小关系即可求解.【详解】解：因为，，，所以，故选：C.4.已知不等式的解集为，则不等式的解集为A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到，为方程的根，再解出的值带入不等式即可.【详解】有题知：，为方程的根.所以，解得.所以，解得：或.故选：B【点睛】本题主要考查二次不等式的求法，同时考查了学生的计算能力，属于简单题.5.函数的大致图象是A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式，用排除法判断，根据偶函数排除C、D；再根据单调性，排除A，即可求解答案.【详解】可知函数是偶函数，排除C，D；定义域满足：，可得或.当时，是递增函数，排除A；故选B.【点睛】本题考查已知函数解析式的函数图像的判断，考查数形结合思想，属于基础题.6.已知，则关于的说法正确的是（）A.有最大值8B.有最小值C.有最小值8D.有最大值【答案】B【解析】【分析】由题意可知x与3y和为定值，根据基本不等式即可求得的最小值.【详解】根据题意得，，则（当且仅当时，等号成立），则有最小值.故选B．7.定义运算：，例如：，，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将问题转化为函数与的图象有3个不同的交点，画出函数图象，利用图象求解即可【详解】因为函数有3个不同的零点， 所以方程有3个不相等的实根，所以函数与的图象有3个不同的交点，函数图象如图所示由图可知当，两函数图象有3个不同的交点，所以实数的取值范围为，故选：A8.高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出函数的值域，再根据题干中要求即可得出的值域.【详解】，， ，，，即函数的值域为，由高斯函数定义可知：函数的值域为故选：C.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.当时，幂函数的图像在直线的下方，则的值可能为（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】转化为当时，恒成立，可得，由此可得解.【详解】根据题意得当时，，可知，故选：AB【点睛】关键点点睛：由不等式得出是解题关键.10.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则 【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】A.取特殊值，，，显然不满足结论；B.由可知，，结论正确；C，，，，显然不满足结论；D.，则又，则根据不等式性质，有成立.故选：BD.11.已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（）A.4B.3C.D.【答案】CD【解析】【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围．【详解】由函数是上的增函数，所以所以，故选：CD．12.对任意两个实数a，b，定义，，若，，下列关于函数的说法正确的是（）A.函数是偶函数B.方程有两个解 C.函数有个单调区间D.函数有最大值为，最小值【答案】ABC【解析】【分析】根据定义表示出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项．【详解】由题意可得，，作出函数图象，如下图所示：由图像可知，该函数为偶函数；函数有两个零点；函数单调递减区间为：和，单调递增区间为：和，故函数有四个单调区间；当时，函数取得最大值为，无最小值．故选：ABC．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.函数的单调递减区间是___________．【答案】【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.【详解】，， 解得或.函数的开口向上，对称轴是轴，在上递减，根据复合函数单调性同增异减可知的单调递减区间是.故答案为：14.使得“”成立的一个充分不必要条件是______．【答案】（答案不唯一，只需为集合的真子集即可）【解析】【分析】由指数函数性质求得不等式的解，然后根据充分不必要条件的定义确定．【详解】，即原不等式解集为，只要取此集合的真子集即可，如．故答案为：．15.若函数满足，则__________.【答案】1【解析】【分析】根据，分别令，求解.【详解】因为，令可得：，①令可得：，②联立①②可得：，故答案为：1. 16.已知函数是定义在[-5,5]上的偶函数，且在区间是减函数，若，则实数a的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】利用奇偶性及单调性将原命题等价转化为，从而解该不等式组即可求得正解.【详解】由已知可得原不等式等价于，结合单调性可得．故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知集合U为全体实数集，或，.（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）把代入求出N，然后结合集合的补集交集运算即可.（2）根据函数的包含关系即可求解参数的取值范围.【小问1详解】解：由题意得：当时，集合U为全体实数集或，【小问2详解】 若，则当时，，解得：；当时，成立，且或成立，解得：；综上：实数a的取值范围或18.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，（1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；（2）运用该不等式比较以下三个值的大小：，，【答案】（1）；证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可．（2）利用（1）中结论可得，时，，依此不等式即可比较所给三个数的大小.【小问1详解】由题意可得：，时，．证明如下：，，，，，，．【小问2详解】由（1）知，时，，即；则，，又 综上所述，.19.求满足下列条件的各式的值：（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）首先解方程求出的值，再根据对数恒等式计算可得；（2）根据对数恒等式计算可得.【详解】解：（1），；（2），.【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题.20.已知函数，．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）讨论函数值域．【答案】（1）（2）偶函数，理由见解析（3）答案见解析【解析】 【分析】（1）由对数的真数大于零可求得函数的定义域.（2）根据函数奇偶性的定义判断.（3）换元后分和两种情况分析判断.【小问1详解】且，得，即定义域为.小问2详解】因为定义域关于原点对称，且，所以函数为偶函数.【小问3详解】，令，由，得，则，，当时，，所以原函数的值域为；当时，，所以原函数的值域为.21.设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点.【答案】见解析【解析】【分析】由可得到，由此化简得到，确定，可知与中至少有一个为正；利用零点存在定理可证得结论.【详解】又 与中至少有一个为正又或∴函数在内至少有一个零点【点睛】本题考查零点存在定理的应用，关键是能够通过确定区间端点处的函数值的正负，从而利用零点存在定理确定是否存在零点.22.已知函数．（1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）若，①判断函数的奇偶性，并证明；②若恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）函数是上的增函数，证明见详解；（2）①函数为奇函数，证明见详解；②【解析】【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取，设，然后，再分析判断其符号即可.（2）当时，①，直接利用函数奇偶性的定义判断；②利用函数是奇函数，将，转化为，再利用是上的单调增函数求解.【小问1详解】函数是增函数，定义域：，任取，不妨设，， ，∵，∴.又，∴，即，∴函数是上的增函数.【小问2详解】当时，①，定义域为，关于原点对称，，∴函数是定义域内的奇函数.②等价于，∵是上的单调增函数，∴，即恒成立，∴，