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江西省新余市2023届高三数学(文)二模试题(Word版附解析)

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新余市2022-2023学年高三第二次模拟考试高三数学试题卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设集合,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出集合、,利用交集定义可求得集合.【详解】因为,因此,.故选:A.2已知复数满足,则复数()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法化简复数,利用复数的模长公式可求得.【详解】因为,则,因此,.故选:B.3.已知,,则与的夹角()A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】求出向量的坐标,利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.【详解】因,,则,所以,,因为,故.故选:C4.等差数列满足,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为,根据已知条件可求得的值,进而可求得的值.【详解】设等差数列的公差为,则,所以,,故.故选:D.5.已知,且,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由余弦的二倍角公式,结合二次方程得,进而得,再根据正弦的二倍角公式求解即可.【详解】解:因为,且所以,即,所以,解方程得或(舍)因为, 所以,所以.故选:A6.函数的部分图象大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由的奇偶性和特殊值利用排除法可得答案.【详解】对,,所以函数是偶函数,其图象关于轴对称,所以排除选项A;令,可得或,即,当时,,所以,故排除选项C;当时,,所以,所以排除选项D.故选:B.7.德国数学家莱布尼兹于年得到了第一个关于的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(年)开始,历时近年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算开创先河,如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算的近似值(其中表示的近似值)”.若输入,输出的结果可以表示为() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】列举出循环的每一步,即可得出输出结果的表达式.【详解】第一次循环,,,不成立;第二次循环,,,不成立;第三次循环,,,不成立;第四次循环,,,不成立;,以此类推可知,最后一次循环,,,成立,跳出循环体,输出,输出的结果可以表示为.故选:C. 8.已知圆C:,若直线上总存在点P,使得过点P的圆C的两条切线夹角为,则实数k的取值范围是()A.B.或C.或D.【答案】C【解析】【分析】根据切线夹角分析出,由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得.【详解】设两切点为,则,,所以,因此只要直线上存在点,使得即可满足题意.圆心,所以圆心到直线的距离,解得或.故选:C.9.算盘是我国古代一项伟大的发明,是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别表示个位,十位、百位、千位.....,上面一粒珠子(简称上珠)代表5,下面一粒珠子(简称下珠)代表1,五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如,个位拨动一粒上珠,十位拨动一粒下珠至梁上,表示数字15.现将算盘的个位、十位,百位,千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,设事件“表示的四位数能被3整除”,“表示的四位数能被5整除”,则有:①②;③④.上述结论正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】只拨动一粒珠子至梁上,因此数字只表示1或5,由此可得四位数的个数;能被3整除,只能是2个1和2个5,求出四位数的个数后可得概率,而被5整除,只要个位数字是5即可.由此计数后可计 算出概率,判断各序号即可求解.【详解】只拨动一粒珠子至梁上,因此数字只表示1或5,四位数的个数是16.能被3整除的四位数,数字1和5各出现2个,因此满足条件的四位数的个数是6,所以,①正确;能被5整除的四位数,个位数为5,满足的个数为8,,②不正确;能被15整除的四位数的个位数是5,十位、百位、千位为一个5两个1,因此满足这个条件的四位数的个数是3,概率为,④正确;,③正确.故正确的有3个,故选:D.10.在长方体中,,,点、分别是棱、的中点,、、平面,直线平面,则直线与直线所成角的余弦值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平行定理对直线进行平移、从而实现在三角形内求解角度.【详解】如图,连接并延长,交线段的延长线于点,连接交于点.则易知.连接,因为,所以异面直线与所成的角为.在中,易得,,, 则.故选:B.11.已知双曲线,过右焦点作的一条渐近线的垂线,垂足为点,与的另一条渐近线交于点,若,则的离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出图形,计算出,设,可得出,由二倍角的正切公式可得出关于的等式,求出的值,利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示:双曲线的渐近线方程为,即,所以,,则,因为,则,设,则,所以,,,, 由二倍角的正切公式可得,即,可得,因此,.故选:A.12.已知,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造,求导求单调性即可得,即证明,再构造,,求导求单调性即可得,即,即证明,即可选出选项.【详解】解:由题知构造,,所以,故在单调递减,所以,即,即,即因为,构造,,所以即在上单调递增,所以, 即,即,即,综上:.故选:D二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.)13.若实数、满足约束条件,则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】作出可行域,平移直线,找出使得该直线在轴上的截距最大时对应的最优解,代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,即点,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即.故答案为:.14.已知数列中,,,且、是函数的两个零点,则___________.【答案】 【解析】【分析】分析可知数列为等比数列,利用韦达定理可得出,分析出的正负,结合等比中项的性质可求得的值.【详解】因为在数列中,,,则,所以,,所以,数列为等比数列,且该数列的首项为,公比为,因为、是函数的两个零点,由韦达定理可得,因为,可得,所以,,由等比中项的性质可得,因此,.故答案为:.15.已知函数在上单调递增,且在上有最大值.则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】通过函数在上单调递增,求出的范围,再根据在上有最大值可得,进而即得.【详解】由,可得,又函数在上单调递增,所以,所以,又函数在上有最大值, 所以,即,综上,.故答案为:.16.在三棱锥中,平面平面是以为斜边的等腰直角三角形,为中点,,则该三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【解析】【分析】分析得到球心O在平面ACD的投影与M点重合,由面面垂直得到球心O在平面BCD上,作出辅助线,球心O在MH上,设OM=x,由半径相等列出方程,求出x,进而得到外接球半径,求出表面积.【详解】因为是以CD为斜边的等腰直角三角形,M为CD中点,,所以AM⊥CD,且,因为,所以,而,由勾股定理得:,所以BM=BC,故为等腰直角三角形,,,由题意得:球心O在平面ACD的投影与M点重合,因为平面平面BCD,所以球心O在平面BCD上,在平面BCD上,过点M作MH⊥CD,故,球心O在MH上,设OM=x,由余弦定理得:,则,由得:,解得:,设外接球半径为,则,故该三棱锥的外接球的表面积为, 故答案为:【点睛】关键点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)17.在平面四边形中,.(1)求的长;(2)若为锐角三角形,求的取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)直接利用余弦定理求解即可;(2)弦有三角形为锐角三角形求出角的范围,在中,利用正弦定理将用角表示出来,再结合三角函数的性质即可得解.【小问1详解】在中,, 由余弦定理可得,即,解得或;【小问2详解】因为,所以,因为为锐角三角形,所以,解得,在中,因为,所以,由,得,所以,所以.18.从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)产品质量指标值在185与215之间的每个盈利200元,在175与185或215与225之间的每个亏损50元,其余的每个亏损300元.该企业共生产这种产品10000个,估计这批产品可获利或亏损多少元? 【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图,结合平均数和方差公式,即可求解;(2)根据频率,可计算获利或亏损.【小问1详解】样本平均数【小问2详解】由频率分布直方图可知,质量指标值在的频率为,质量指标值在和的频率为,质量指标值在和的频率为,所以10000件产品的获利情况是元.19.如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点.(1)证明:平面PBC;(2)求点P到平面AEF的距离.【答案】(1)证明见解析 (2).【解析】【分析】(1)先根据底面ABCD,得到,再根据,利用线面垂直的判定定理证明平面PAB,即,再根据一次线面垂直的判定定理证明平面PBC;(2)先根据长度及垂直关系得到进而得到的面积,再计算出,根据等体积法即可求得点P到平面AEF的距离.【小问1详解】证明:因为底面ABCD,平面ABCD,所以.因为ABCD为正方形,所以,因为,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,因为平面PAB,所以,因为,E为线段PB的中点,所以,又因为,平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.【小问2详解】由F是BC的中点.所以,因为底面ABCD,平面ABCD,所以,因为E为线段PB的中点,所以,由(1)知平面PBC,平面PBC,所以,所以,所以,因为,所以,由(1)知平面PAB,所以平面PAB,设点P到平面AEF的距离为h,则有, 解得,所以点P到平面AEF的距离为.20.已知椭圆:的右焦点为在椭圆上,的最大值与最小值分别是6和2.(1)求椭圆的标准方程.(2)若椭圆的左顶点为,过点的直线与椭圆交于(异于点)两点,直线分别与直线交于两点,试问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)(2)是定值,定值为【解析】【分析】(1)根据椭圆的标准方程列方程组求解即可;(2)当直线斜率不存在时,易得,当直线斜率存在时,设直线:,,,将直线与椭圆成联立,利用韦达定理结合向量数量积的坐标公式求解即可.【小问1详解】设椭圆的焦距为,由题意可得,解得,故椭圆的标准方程为.【小问2详解】由(1)得,当直线垂直于轴时,,代入椭圆方程,解得,.所以直线的方程为,令,得,则, 直线的方程为,令,得,则,所以,,则,即,若为定值,则必为,当直线的斜率存在时,设直线,,,联立整理得,,则,,直线的方程为,令,得,则,直线的方程为,令,得,则,因为,所以,,则,故,即.综上,为定值.21.已知函数,.(1)若,求的最小值; (2)若有且只有两个零点,求实数的取值范围.【答案】(1)最小值为;(2).【解析】【分析】(1)代入,求出,根据的范围可得在上恒成立,即可求出最小值;(2)显然,则原题可转化为在区间上有且只有1个零点.求出导函数,进而二次求导可得在区间上单调递增.推理得到当时,在上零点,根据导函数得到函数的单调性,结合零点的存在定理可得出实数的取值范围.【小问1详解】解:当时,,则.当时,,所以,所以.又,所以,所以恒成立,所以在区间上单调递增, 所以的最小值为.【小问2详解】解:由已知可得,则在区间上有且只有1个零点.,令,.则,因为在区间上恒成立,所以在区间上单调递增.所以,当时,有最小值;当时,有最大值.当时,有,则恒成立,则在区间上单调递增,所以.又,所以在区间上无零点,不符合题意,舍去;当时,有恒成立,则在区间上单调递减,所以.又,所以在区间上无零点,不符合题意,舍去;当时,有,.又在区间上单调递增,根据零点的存在定理可得,,使得. 当时,,单调递减:当时,,单调递增.又,,要使在区间上有且只有一个零点,则,解得.又,所以.综上,实数的取值范围是.【点睛】方法点睛:根据函数零点的个数求解参数的取值范围:先观察看函数是否已存在零点,然后根据导函数研究函数的单调性,结合零点的存在定理,即可得到参数的取值范围.22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)已知点,若直线与曲线交于A,两点,求的值.【答案】(1)C:,直线l:(2)【解析】【分析】(1)用消参数法化参数方程为普通方程,由公式化极坐标方程为直角坐标方程;(2)化直线方程为点的标准参数方程,代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解.【小问1详解】 曲线C的参数方程为(为参数,),所以,所以即曲线C的普通方程为.直线l的极坐标方程为,则,转换为直角坐标方程为.【小问2详解】直线l过点,直线l的参数方程为(t为参数)令点A,B对应的参数分别为,,由代入,得,则,,即t1、t2为负,故.23.设.(1)求的解集;(2)若的最小值为,且,求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)将函数写成分段函数,再分段求解,最后取并集即可;(2)由绝对值三角不等式可得,于是有,再利用基本不等式求解即可.【小问1详解】 ,当时,或或,解得或或,所以,故解集为;【小问2详解】,当且仅当即时,等号成立,∴,∴,∵a,b为正实数,∴,当且仅当,即时,等号成立.故的最小值为.

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发布时间:2023-09-13 22:30:02 页数:23
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文章作者:随遇而安

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