江西省九江十校2023届高三数学（文）第二次联考试题（Word版附解析）

2023年江西省九江市十校高考数学第二次联考试卷（文科）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合M，再利用集合的并集运算求解.【详解】解：因为，，所以，故选：B．2.若复数（是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用复数除法求出，根据共轭复数定义写出，然后计算出，得到虚部.【详解】复数是虚数单位）的共轭复数是，，，，则的虚部是.故选：D3.2022年三九天从农历腊月十八开始计算，也就是2023年1月9日至17日，是我国北方地区一年中最冷的时间．下图是北方某市三九天气预报气温图，则下列对这9天判断错误的是（） A.昼夜温差最大为12℃B.昼夜温差最小为4℃C.有3天昼夜温差大于10℃D.有3天昼夜温差小于7℃【答案】C【解析】【分析】直接看图求出每天的昼夜温差即可判断得解.【详解】A.1月11日昼夜温差最大为12℃，所以该选项正确；B.1月15日昼夜温差最小为4℃，所以该选项正确；C.1月11日、1月16日有2天昼夜温差大于10℃，所以该选项错误；D.1月9日、1月14日、1月15日有3天昼夜温差小于7℃，所以该选项正确.故选：C4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.【详解】由已知，化简得．平方得，所以．故选：A．5.函数的部分图象大致为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，并判断时，函数值的正负，即可判断选项.【详解】，定义域为，关于原点对称，由，所以为奇函数，排除；当时，，，故，排除.故选：.6.在中，，，若D是BC的中点，则（）A.1B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】运用向量的加法、相反向量、向量的数量积运算即可得结果.【详解】∵D为BC的中点，∴，，∴∴．故选：B. 7.已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数的一个零点是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，得到周期为，进而得到，再利用平移变换得到图象，然后根据图象关于y轴对称，求得解析式即可.【详解】解：由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为，所以，所以．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以，，即，．又，所以，所以．由得，，即．故选：B．8.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】设，，即，，在上单调递减，又，不等式，即，，原不等式的解集为.故选：D【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题，求解方法是通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究，由此对问题进行求解.9.在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（）A.4B.2C.1D.【答案】B【解析】【分析】由题知，，进而得，即，再结合正弦定理求解即可.【详解】∵是锐角三角形，在上的投影长等于的外接圆半径，，又，，，，两式相加得：，即，，即，又，，.故选：B. 10.已知是自然对数底数，则下列不等关系中正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，结合该函数的最大值，赋值进行判断.【详解】构造函数，，所以，令，得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以所以，所以，，，所以，，，所以，，，所以，，所以，，，所以，，，故B错误，C正确，D错误；所以，故A错误；故选：C11.已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦AB的长为8．过此动圆圆心轨迹C上一个定点引它的两条弦PS，PT，若直线PS，PT的倾斜角互为补角，记直线ST的斜率为k，则（）A.4B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知先求出动圆圆心轨迹C的轨迹方程，代入点求出，根据直线PS，PT的倾斜角互为补角，斜率互为相反数关系求出k，从而得出结果.【详解】设动圆圆心的坐标为C，已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦AB的长为8， 则．整理得，，故动圆圆心的轨迹C的方程为．因此，．当时，，设，，则有，．于是就是，所以．此时直线ST的斜率，故．同理可得，当时，直线ST的斜率．故．故选：C．12.已知正方体的棱长为1，，分别是棱和棱的中点，为棱上的动点（不含端点）.①三棱锥的体积为定值；②当为棱的中点时，是锐角三角形；③面积的取值范围是；④若异面直线与所成的角为，则.以上四个命题中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】结合判断①；设中点为，若为中点，证明即可判断②；在侧面内作垂足为，设到的距离，故面积为，进而判断③；取中点为，连接，进而得异面直线与所成的角即为，再讨论范围即可. 【详解】解：因为，点到平面的距离为定值，是定值，则三棱锥的体积为定值，故①选项正确；设中点为，若为中点，由正方体的性质，有，，，平面所以平面，平面，则，因为，所以，所以是直角三角形，故选项②不正确；在侧面内作垂足为，设到的距离，则边上的高为，故其面积为，当与重合时，，，当与重合时，，，故选项③正确；取中点为，连接，因为，所以异面直线与所成的角即为，在直角三角形中，，当为中点时，，当与，重合时，，故，，所以选项④正确，故命题正确的个数为3.故选：C.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为_____． 【答案】∃x∈R，x2﹣x+1≤0．【解析】【详解】试题分析：利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案为∃x∈R，x2﹣x+1≤0．考点：命题的否定．14.过点作斜率为k的直线l交双曲线于，两点，线段的中点在直线上，则实数k的值为______．【答案】##【解析】【分析】联立得到韦达定理，解方程，再检验即得解.【详解】由题意可设l的方程为．联立消去y得，．显然．设，，则，解得．由得，显然不适合，适合．故答案为：15.已知圆锥的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点在上，且.若平面，则实数__________.【答案】##【解析】【分析】延长交圆于点，设，求出三边边长，分析可知，利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可.【详解】如图，延长交圆于点，由题意可知，、均为等边三角形， 设，由正弦定理可得，则，易知为的中点，则，，则，，因为平面，平面，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得.故答案为：.16.著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，，且，则__________.【答案】【解析】【分析】首先求出函数的导函数，依题意得到，从而得到，即可得到为等差数列，从而得解.【详解】，，，， 即，又，数列为等差数列，公差为，首项为1，.故答案为：.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.设数列的前项和为，，是等比数列，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用与之间的关系，可得数列的通项公式；（2）利用等比数列的通项公式可得，利用裂项相消法与分组求和法可得.【小问1详解】，当时，，当时，，，当时，符合上式，故数列的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，则，，， 在等比数列中，公比，，，数列的前项和.18.某省电视台为及时向人民群众传达二十大精神，在二十大召开期间，决定调整播放节目.现对收看曲艺节目和新闻节目观众的喜爱与否作抽样调查，随机抽取了100名电视观众，相关数据统计如下表所示：喜爱性别曲艺节目新闻节目男性1527女性4018（1）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，则女性观众应该抽取几名？（2）在上述抽取的5名观众中任取2名参加座谈会，求恰有1名男性观众的概率；（3）试判断是否有的把握认为，性别与喜爱节目的类型有关？参考公式：.其中.参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）2名（2）（3）有的把握认为，性别与喜爱节目的类型有关【解析】【分析】（1）利用分层抽样的计算公式进行求解； （2）结合（1）中数据，利用古典概型概率公式求解；（3）结合题干数据和公式，算出，然后得出结论.【小问1详解】用分层抽样方法在收看新闻节目观众中随机抽取5名，则女性观众应该抽取名.【小问2详解】由（1）得5人中由男性观众3人，女性观众2人，根据古典概型概率公式：任取2名参加座谈会，恰有1名男性观众的概率为.【小问3详解】根据题目所给数据得到如下的列联表：曲艺节目新闻节目总计男性152742女性401858总计5545100，所以有的把握认为，性别与喜爱节目的类型有关.19.如图，四边形是正方形，是矩形，平面平面，，是上一点，且.（1）当时，求证：平面平面；（2）当时，求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）由已知根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得出.根据勾股定理证明，然后证明平面，即可根据面面垂直的定义，得出证明；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标.求出平面的法向量和，即可根据向量法求出夹角的正弦值，根据正余弦的关系，得出余弦值.【小问1详解】因为四边形是正方形，所以.又平面平面，且平面平面，所以平面.因为平面，所以.当时，为的中点，此时，，则，所以，，所以有，所以.又，平面，平面，所以平面.因为平面，所以，平面平面.【小问2详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图建立空间直角坐标系，由已知，可得，所以，，，， 所以，，，.设平面的一个法向量为，则有，取，得.设与平面所成角，则，所以.所以与平面所成角的余弦值为.20.已知为椭圆上一点，过点引圆两条切线､，切点分别为，直线与轴､轴分别交于点､.（1）设点坐标为，，求直线的方程；（2）求面积的最小值为坐标原点）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求切线的方程，代入点坐标，进而求得直线的方程.（2）求得两点的坐标，然后求得面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值.【小问1详解】先求在圆上一点的切线方程：设圆的方程为，圆心为，半径为，设是圆上的一点，则①，设是圆在处的切线方程上任意一点，则，即②， 并整理得，即圆在处的切线方程为.根据题意，设，，，，，，是圆的切线且切点为，则的方程为，同理的方程为，又由､交于点，则有，，则直线的方程为.【小问2详解】要使围成三角形，则不是椭圆的顶点，所以，由（1）可得的坐标为，，的坐标为，，又由点是椭圆上的动点（非顶点），则有，则有，即，当且仅当时等号成立，，即面积的最小值为. 21.已知函数，其中，．（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数的导函数在内有且仅有一个极值点，求a的取值范围．【答案】（1）函数在内单调递增（2）【解析】【分析】（1）由时，得到，然后利用导数法求解；（2）由，令，求导，由得到，令，利用数形结合法求解.【小问1详解】解：当时，，．因为，所以，，因此，故函数在内单调递增．【小问2详解】，令，则．由得，．显然不是的根．当时，． 令，则．由得．当或时，；当时，，且，．所以极大值是．由图知，当或时，直线与曲线在内有唯一交点或，且在附近，，则；在附近，，则．因此是在内唯一极小值点．同理可得，是在内唯一极大值点．故a的取值范围是．【点睛】方法点睛：关于极值点问题，转化为函数零点再结合极值点的定义求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆锥曲线的极坐标方程为，､为的左､右焦点，过点的直线与曲线相交于A，两点.（1）当时，求的参数方程；（2）求的取值范围.【答案】（1）（为参数）（2）【解析】【分析】（1）利用，代入曲线的极坐标方程可得其直角坐标方程可得、、的坐标，求出直线的斜率、倾斜角，在上任取一点，设有向线段的长为可得直线的参数方程；（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，设，对应的参数分别为，，根据的值可得答案.【小问1详解】，，曲线的直角坐标方程为，即，，，，直线的斜率：，时，直线的倾斜角为，在上任取一点，设有向线段的长为，则直线的参数方程为（为参数）；【小问2详解】 将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，即，设，对应的参数分别为，，则，故,因为，所以，则，故，所以.选修4-5：不等式选讲23.设函数，其中.（1）当时，求曲线与直线围成的三角形的面积；（2）若，且不等式的解集是，求的值.【答案】（1）64（2）【解析】【分析】（1）由题知，进而分别求解相应的交点，计算距离，再计算面积即可；（2）分和两种情况求解得的解集为，进而结合题意求解即可.【小问1详解】解：根据题意，当时，，所以，，设；直线与交于点，与直线交于点，且，点到直线的距离，所以，要求图形面积；【小问2详解】 解：当时，，，即，解可得，此时有，当时，，，即，解可得，又由，则，此时有，综合可得：不等式的解集为，因为不等式的解集是所以，，解可得；所以，.