江西省智慧上进联盟2022-2023学年高二数学下学期期中调测试试题（Word版附解析）

2023年高二年级下学期期中调研测试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列为1，，9，，25，，…，则数列的一个通项公式是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据观察法，即可求解.【详解】由题意知，数列：1，4，9，16，25，的通项公式为，所以数列：的通项公式为.故选：B.2.某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率，结合图形即可求解.【详解】由题意知，汽车在时间的平均速度大小分别为，设路程y与时间t的函数关系为， 则，即为经过点的直线的斜率，同理为经过点的直线的斜率，为经过点的直线的斜率，为经过点的直线的斜率，如图，由图可知，最小，即最小.故选：C.3.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A.25B.45C.50D.90【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质和求和公式可求出结果.【详解】根据等差数列的性质可得，所以.故选：B4.已知函数的导函数为，若，则（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，再令计算可得.【详解】因为，所以， 所以，解得.故选：A5.已知等比数列的前项和为，若，，则（）A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】【分析】根据等比数列下标和性质得到，再代入计算即可.【详解】.故选：B6.“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单位：km/h）随时间t（单位：h）变换的函数关系为，，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的最小值，即可得解.【详解】因为，，所以，所以时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故选：C7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数可得在上为增函数，在上为减函数，由此可得；构函数，利用导数可得在上为减函数，由此可得，从而可得答案.【详解】，，，令，则，，当时，，当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，即，；， 令，，因，所以，所以在上为减函数，又，所以，即，，综上所述：.故选：D8.如图，已知正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.记某勾股树中最大正方形的边长为，第二大的正方形的边长为……以此类推，构成数列，且，若数列满足，则使得成立的的值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，再根据求出，即可得到的通项公式，从而得到的通项，由得到，解得的取值范围，即可得解.【详解】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，所以，又，所以，解得，所以，所以，因为，所以， 因为，所以，又，所以，解得，又，所以满足条件的的取值集合为.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据求导公式、求导法则和简单复合函数的求导结合选项，依次计算即可求解.【详解】A：，故A错误；B：，故B正确；C：，故C错误；D：，故D正确.故选：BD.10.已知等比数列的前n项和为，公比为，若，，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式列式求出和，可判断A和B，再求出和和判断C和D.【详解】由，得，由，得，得，得，得，故B正确；将代入，得，故A不正确；，故C正确；，故D正确.故选：BCD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.曲线在处的切线与直线垂直B.在上单调递增C.的极小值为D.在上的最小值为【答案】BC【解析】【分析】求出函数的导函数，求出，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B、C、D.【详解】因为，所以，所以，故A错误；令，解得，所以的单调递增区间为，而，所以在上单调递增，故B正确； 当时，所以的单调递减区间为，所以的极小值为，故C正确；在上单调递减，所以最小值为，故D错误；故选：BC12.已知数列的前n项和为，且，，，则下列说法正确的是（）A.B.数列是等比数列C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，数列隔项成等差，通过分奇偶，求出通项公式，即可逐一验证各项正误.【详解】解：根据，得，解得：，所以，当n为偶数时，，同理，当n为奇数时，，对于A,,故A正确，对于B,若数列是等比数列,即要求数列为等差数列，根据上述结论，数列不为等差数列，故B错误.对于C,,故C正确，对于D,,故D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知首项为的数列满足，则________. 【答案】【解析】【分析】根据递推公式计算可得.【详解】因为，，所以，.故答案为：14.若函数存在两个极值点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】分析可知有两个不等零点，由，即可求得实数的取值范围.【详解】因为，所以，因为函数有两个极值点，所以有两个不等的零点，则，解得或，不妨设的两个零点分别为、且，由，可得，由，可得或，此时函数有两个极值点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.15.已知首项为1数列满足，则________.【答案】【解析】【分析】由，得，再利用等比数列的通项公式求出，从而可得. 【详解】由，得，因为，所以，进而，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即.故答案为：.16.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得在上恒成立，即在上恒成立，利用导数研究函数的性质即可求解.【详解】，则，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在上单调递增，在上单调递减，得，所以， 即实数a取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式以及；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组，求得，结合等差数列的通项公式和前n项求和公式计算即可求解；（2）由（1）可得，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由题意得，设等差数列的公差为d，则，即，解得，所以，；【小问2详解】由（1）知，，是一条开口向上，对称轴为的抛物线，所以当时，取到最小值，且最小值为，所以的最小值为.18.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间.【答案】（1）（2）单调递增区间是和，单调递减区间是【解析】【分析】（1）根据导数几何意义求切线方程；（2）利用导数，根据和，求函数的单调区间.【小问1详解】，，所以函数在处的切线方程为，即切线方程为；【小问2详解】，当，解得：或，当，解得：，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.19.已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据与的关系即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可得，结合裂项相消求和法即可求解【小问1详解】①， 当时，，解得.当时，②，①-②，得，所以，又，符合上式，故.【小问2详解】由（1）知，则，所以，则.20.已知函数.（1）若，求的极值；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义即可求解；（2）利用导数研究函数的单调性，求出.由题意可得在上恒成立，即可求解.【小问1详解】当时，，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.【小问2详解】 当时，，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，即为最小值，且最小值为.又恒成立，所以在上恒成立，所以，即实数的取值范围为.21.已知正项等差数列的前n项和为，其中，.（1）求数列的通项公式及；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据条件，列出首项和公差的方程组，即可求解；（2）由（1）可知，，再利用错位相减法求和.【小问1详解】设等差数列的首项为，公差为，则，则，因为，所以，化简为，解得：或（舍），所以，；【小问2详解】， 两式相减得，22.已知函数.（1）讨论函数在上的零点个数；（2）当且时，记，探究与1的大小关系，并说明理由.【答案】（1）答案见解析（2），理由见解析【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性和极值情况，并结合端点值大小，分类讨论得到函数的零点个数；（2）判断出，不等式同构变形得到，构造，得到其单调性，并构造的单调性，证明出结论.【小问1详解】，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又，，，其中，若，即时，零点个数为0， 若，即时，零点个数为1，若，即时，零点个数为2，若，即时，零点个数为1，若，即时，零点个数为0，综上：当或时，零点个数为0，当或时，零点个数为1，当时，零点个数为2.【小问2详解】，理由如下：，，当时，，故，当时，，故，要证，即证，其中，故即证，令，，即证，，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在上恒成立，所以在上恒成立， 则在上单调递增，则，令，，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，即，结论得证.