江西省赣州市2022-2023学年高二数学下学期期中调研测试试题（Word版附解析）

2023年赣州市高二年级下学期期中调研测试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的方程性质和双曲线的离心率公式，即可求解.【详解】由双曲线中，所以离心率，故选：C.2.已知等比数列中，，则（）A.20B.17C.16D.15【答案】B【解析】【分析】根据等比数列通项公式项的性质求解即可.详解】.故选:B.3.已知，的导函数分别为，且，则 （）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】确定，代入数据计算得到答案.【详解】由得，所以，故选：C4.在三棱柱中，，若点为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算求解.【详解】，为的中点，，故选：A.5.向一容器中匀速注水，容器中水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：min）的函数关系为.记时水面上升的瞬时速度为时水面上升的瞬时速度为，从到t=4min水面上升的平均速度为V，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据瞬时速度与导数的关系结合导数运算公式求，，根据平均速度的定义求，再比较它们的大小即可.【详解】由得， 因为，，所以，，又，所以，，C正确.故选：C.6.课本选择性必修第二册第一章介绍了斐波那契数列，若数列{}满足，，则称数列为斐波那契数列，若把斐波那契数列中的奇数用1替换，偶数用换得到数列{}，在数列{}的前10项中任取3项，则这3项之和为1的不同取法有（）A.60种B.63种C.35种D.100种【答案】B【解析】【分析】根据条件得到数列的前10项中，有7项为1，3项为，再结合组合的定义，即可求解.【详解】由题意得：数列中各项依次为奇数､奇数､偶数､奇数､奇数､偶数､，所以数列的前10项中，有7项为1，3项为，若所取3项之和为1，则取2个值为1的项，1个值为的项，所以不同的取法种数为，故选：B.7.直播带货已经成为农民创业增收的好帮手，数据显示2022年全国农村直播电商已达到573.2万家.已知2022年某农村电商每月直播销售收入Y（单位：万元）与月份具有线性相关关系，利用该电商全年12个月的直播销售月收入数据，求得线性回归方程为，则下列结论一定正确的是（）A.把代入求得的是第n个月的销售收入B.相关系数C.2022年该电商直播销售收入逐月增加D.该电商2022年直播销售总收入为213.6万元【答案】D 【解析】【分析】根据线性回归方程为，分别判断A,C,D选项，根据相关系数概念判断B选项.【详解】利用求得的是每月直播销售收入的预测数据，与每月直播销售收入的真实数据可能不相同，错误；不是相关系数，，B错误；，由在回归直线上，得，所以该电商2022年年直播销售总收入为万元.故选:D.8.已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则的最大值为（）A.B.C.2D.2【答案】D【解析】【分析】根据条件得到点在圆的内部或圆周上，点的轨迹是以为直径的圆，再结合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案.【详解】因为，所以点在圆的内部或圆周上，又动点满足，所以当三点不重合时，点的轨迹是以为直径的圆，如图：当点在圆内时，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，则，当点在圆上时，两点重合，两点重合，所以，当且仅当点在圆上时取等号， 则，当且仅当三点共线时取等号，因为，当且仅当重合时取等号，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，此时，所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时取等号，所以的最大值为，故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据函数求导公式和运算法则，计算即可.【详解】对于A选项：（，所以A选项错误；对于B选项：，所以B选项错误；对于C选项：由公式得，所以C选项正确；对于D选项：，所以D选项正确；故选：CD.10.已知某校高二男生的身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，16），且，则（）A.该校高二男生的平均身高是175cmB.该校高二男生身高的方差为4 C.该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%D.从该校高二男生中任选一人，身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等【答案】AD【解析】【分析】根据正态分布定义和对称性知AD正确，B错误，再计算概率得到，C错误，得到答案.【详解】对选项A：在中，为平均数，正确；对选项B：方差为，错误；对选项C：，则身高超过的概率，错误；对选项D：正态曲线关于直线对称，所以身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等，正确；故选：AD11.下列各选项中，使数列为递增数列的是（）A.B.C.D.，【答案】ABD【解析】【分析】计算ABD中，，是递增数列，计算得到反例得到C选项不满足，得到答案.【详解】对选项A：，是递增数列，正确；对选项B：，是递增数列，正确；对选项C：，则，，不是递增数列，错误；对选项D：，是递增数列，正确；故选：ABD12.已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m 的值可能是（）A.-1B.C.aD.3a【答案】BD【解析】【分析】由，结合距离公式、二次函数的单调性得出m的可能值.【详解】因为点在椭圆上，所以，所以，若，当时，最小，若，当时，最小故选：BD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上13.二项式的展开式中的常数项为___________.【答案】【解析】【分析】根据二项式的展开式通项公式得到，令的指数为，求解，即可求解.【详解】二项式的展开式通项为，令，得，所以二项式的展开式中的常数项为，故答案为：.14.已知等差数列的前n项和为，，若时，最小，则=___________.【答案】【解析】【分析】解法一：根据等差数列的性质，求得的变号项，即可求解； 解法二：利用等差数列的前和公式得到，结合二次函数的图像与性质，即可求解.【详解】解法一：因为，所以当，时，，当，时，，，所以，最小，即.解法二：因为，所以，，又，所以时，最小，最小.故答案为：.15.设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】设函数与直线平行的切线为，利用导数的几何意义得出切点，再由距离公式得出的最小值.【详解】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为，由，得，所以切点为，则点到直线的距离就是的最小值，即.故答案为：.16.课外活动期间，几名篮球爱好者在体育老师指导下进行定点投篮训练，约定每人最多投篮10次，若某同学第n次投篮进球为首次连续进球，则该同学得分且停止投篮.例如：某同学前两次均投篮进球，则得10分，且停止投篮.已知同学甲每次投篮进球的概率均为，则甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮的概率为___________. 【答案】【解析】【分析】确定甲第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球，计算得到概率.【详解】甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮，则第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球，所以所求概率为.故答案为：四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若过点的直线与曲线在处相切，求实数a的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先对函数求导得到，从而得到曲线在处的切线斜率，再求得点，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）利用导数的几何意义得到，再根据两点间的斜率公式得到关于方程，即可求解.【小问1详解】当时，，则，所以，所以曲线在处的切线方程为，即.小问2详解】由，得， 因为直线与曲线在处相切，所以直线的斜率，又，所以，解得：，故实数a的值为.18.（1）已知数列的通项公式为，求的前n项和；（2）已知数列的通项公式为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用分组求和法结合等比数列求和公式计算即可.（2）确定，题目转化为求，计算得到答案.【详解】（1），则.（2），则，故.19.通勤是指从家中往返工作地点的过程，随着城市的扩张及交通技术的进步，人们可以在距离工作地点较远的地方居住，并以通勤来上班，某传媒公司通过对200名受访者每天平均通勤时间的统计，得到如下频数分布表.通勤时间（单位：时）人数40806020 把通勤时间超过1小时的称为通勤困扰程度高，不超过1小时的称为通勤困扰程度不高.已知200名受访者中，中年人有90人，其余为青年人，中年人中通勤困扰程度高的有30人.（1）请完成以下列联表，并判断是否有90%的把握认为，青年人与中年人的通勤困扰程度有差异；青年人中年人总计通勤困扰程度高通勤困扰程度不高总计（2）从200名样本人群中随机抽取1人，A表示“抽取的人是青年人”，B表示“抽取的人通勤困扰程度高”，记，求S的值，并证明：附：，当时，表明有90%的把握判断变量有关联.【答案】（1）表格见解析，有的把握认为青年人与中年人的通勤困扰程度有差异（2），证明见解析【解析】【分析】（1）列出联表，计算比较临界值作出结论即可；（2）由联表可得，根据条件概率计算公式代入计算即可得证.【小问1详解】根据题意，列列联表如下，青年人中年人总计通勤困扰程度高503080通勤困扰程度不高6060120总计11090200，所以有的把握认为青年人与中年人的通勤困扰程度有差异. 【小问2详解】由列联表得，所以，20.已知数列的前n项和为，，.（1）证明：是等差数列；（2）设数列的前n项和为，从下面两个条件中任选一个，证明：.①；②.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件得到，利用与的关系得到，从而得到，根据等差数列的定义即可证明；（2）根据条件中，令，求得首项，再根据（1）得到和，若选①，得到，根据数列的裂项相消求和得到，即可求解；若选②，得到，根据数列的裂项相消求和得到，即可求解.【小问1详解】 因为，所以，两式相减得，即.因为，所以，所以数列是公差为2的等差数列.【小问2详解】令中的，得，又，所以.若选①，，所以.若选②，则，则，所以.21.已知椭圆经过点，且离心率为，抛物线的焦点F与的右焦点重合.（1）求与的标准方程； （2）过的右顶点的直线与交于A，B两点，线段AB的中点为E，点O为坐标原点，证明：.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解椭圆方程，进而得到抛物线方程；（2）要证，只需证明＝0即可，设直线的方程与抛物线方程联立，由韦达定理得证.【小问1详解】由经过点，且离心率为，得解得，所以的标准方程为，，所以的标准方程为.【小问2详解】证明：的右顶点为，设，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与联立得，所以，所以，所以所以成立. 【点睛】关键点点睛：直线与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点，则的充要条件是直线恒过定点.22.已知长方体中，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）记长方体ABCD-中两条平行的棱所在直线为1对平行直线，从长方体所有棱所在的直线中任取4条，记这4条直线中平行直线的对数为X，求X的分布列与期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）建立坐标系，利用向量法得出直线与平面所成角的正弦值；（2）由组合知识得出的取值对应出概率，进而列出分布列，计算期望.【小问1详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，所以， 设平面的一个法向量为，则即取，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问2详解】由题意得的取值依次为，，，所以的分布列为1236.