2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第四章三角函数与解三角形4.8正弦定理、余弦定理课件

§4.8正弦定理、余弦定理第四章　三角函数与解三角形 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝；b2＝；c2＝_________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC 变形(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝__________________cosA＝；cosB＝；cosC＝____________2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC 2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解 (2)S＝＝＝；(3)S＝(r为三角形的内切圆半径). 在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB. (5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.()√××× 1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于√ 在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得 2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于√ 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝________.45°或135°因为c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°. 探究核心题型第二部分 例1(1)在△ABC中，若则AC等于题型一利用正弦定理解三角形√ (2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则C等于A.30°B.60°C.120°D.60°或120°√又因为0<C<π，c>a，A＝45°，所以C＝60°或120°. 延伸探究若将本例(2)条件变为“a＝，A＝60°，c＝2”，求C.因为c<a，所以C<A，C＝45°. 利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角.思维升华 跟踪训练1(1)已知在△ABC中，A＝30°，则c等于√ ∵b>a，∴B＝60°或120°.若B＝120°，则C＝30°， (2)(2023·兰州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b＝2，c＝，且asinB＋bcosA＝b，则△ABC的面积为. 例2(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则A＋B的大小为题型二利用余弦定理解三角形由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab得a2＋b2－c2＝－ab，√ √ 因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，解得c＝－4(舍去)或c＝3，所以c＝3. 利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的. √ 所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA， (2)(2022·攀枝花模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋c)2－b2，则cosB的值是√ 因为2S＝(a＋c)2－b2，所以acsinB＝a2＋c2－b2＋2ac，即acsinB＝2accosB＋2ac，即sinB－2cosB＝2，又sin2B＋cos2B＝1，则(2cosB＋2)2＋cos2B＝1，(5cosB＋3)(cosB＋1)＝0， 例3(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acosB，则△ABC的形状一定是A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰三角形题型三三角形的形状判断√ 即c2＝a2＋c2－b2，故a2＝b2，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形. (2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则△ABC的形状为A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形√ 即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等. 又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为△ABC的内角， 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以△ABC是等边三角形. 判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论. 跟踪训练3(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是A.若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形B.若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形√√ 对于A，若acosA＝bcosB，则由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若bcosC＋ccosB＝b，则由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝sinB，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确； 则tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误. (2)在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形√ ∵a2＋b2－c2＝ab，又C∈(0，π)，由2cosAsinB＝sinC及正弦定理得，∴b2＝a2，即b＝a， 课时精练第三部分 12345678910111213141516基础保分练√ 12345678910111213141516因为sinA＝6sinB，则由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC， 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝16－12＝4，解得a＝2. 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516而0°<A<180°，解得A＝135°，显然0°<B<90°，则B＝30°，C＝15°， 123456789101112131415166.(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosB(acosC＋ccosA)＝b，lgsinC＝lg3－lg2，则△ABC的形状为A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形√ 12345678910111213141516∵2cosB(acosC＋ccosA)＝b，∴根据正弦定理得，2cosB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinB，∴2cosBsin(A＋C)＝sinB，∴2cosBsin(π－B)＝sinB，即2cosBsinB＝sinB， 12345678910111213141516 7.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝____.12345678910111213141516所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12， 8.(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为__.12345678910111213141516 12345678910111213141516∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，sinBsinC>0，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得2bccosA＝8， 123456789101112131415169.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝(2a－c)cosB.(1)求B； 12345678910111213141516由正弦定理，得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，∴sinA＝2sinAcosB， 12345678910111213141516(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的面积.∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理得c＝2a，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状.∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，即b2＋c2－bc＝bc，∴(b－c)2＝0，∴b＝c， 11.(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是A.若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形B.若A>B，则sinA>sinBC.若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形12345678910111213141516综合提升练√√√ 12345678910111213141516对于A，若cosA＝cosB，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB成立，故B正确； 12345678910111213141516所以C为钝角，所以△ABC是钝角三角形，故D正确. 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 12345678910111213141516因为sinA>0，sinB>0，所以(sinA＋sinB)2≥4sinAsinB， 13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2,2sinA＝a(－cosB)，则B＝.12345678910111213141516 12345678910111213141516 123456789101112131415162 12345678910111213141516因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，因为sinB≠0， 12345678910111213141516即2b2－5bc＋2c2＝0， 12345678910111213141516拓展冲刺练√√√ 12345678910111213141516因为a2＋b2－c2＝absinC，因为acosB＋bsinA＝c，所以sinAcosB＋sinBsinA＝sinC，因为C＝π－(A＋B)， 12345678910111213141516所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，所以sinAcosB＋sinBsinA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinBsinA＝cosAsinB，因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以tanA＝1，又A∈(0，π)，因为tanC＝2，C∈(0，π)， 12345678910111213141516 16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA＋sinB＝sinC，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sinC，则c＝，cosC＝.123456789101112131415164 12345678910111213141516因为△ABC的周长为9，因为△ABC的面积为3sinC， 12345678910111213141516