福建省福州市2024届高三上学期第一次质量检测数学试题

2023~2024学年福州市高三年级第一次质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11．已知复数z满足=−1i，则在复平面内，z对应的点在（）zA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22．已知集合A={xx<1}，B={xx>0}，则AB=（）A．（0，1）B．(0,+∞)C．(−+∞1,)D．(−∞+∞,)23．已知点Px(,2)在抛物线C：yx=4上，则P到C的准线的距离为（）0A．4B．3C．2D．14．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（）A．90B．180C．270D．36035．一个正四棱台形油槽可以装煤油190000cm，其上、下底面边长分别为60cm和40cm，则该油槽的深度为（）75A．cmB．25cmC．50cmD．75cm46．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（）1123A．B．C．D．3234学科网（北京）股份有限公司 157．已知a=，b=ln2，c=ln5，则（）eA．abc>>B．bca>>C．acb>>D．cab>>8．若定义在R上的函数fx()=sinωx+>cosωωx(0)的图象在区间[0,π]上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为（）1721172517253341A．,B．,C．,D．,44444444二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81．以下关于这组数据判断正确的有（）A．极差为13B．中位数为82C．平均数为79D．方差为1242210．已知圆M：xy+=1，直线l：ykx=+−(31)，则（）3A．l恒过定点(3,1−)B．若l平分圆周M，则k=3C．当k=3时，l与圆M相切D．当−<<33k时，l与圆M相交311．已知函数fx()=−+x32ax有两个极值点．则（）A．fx()的图象关于点(0,2)对称B．fx()的极值之和为-4C．∃∈aR，使得fx()有三个零点D．当01<<a时，fx()只有一个零点12．已知正四棱柱ABCD−ABCD的底面边长为2，球O与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切，P为平1111面CDD上一点，且直线BP与球O相切，则（）1A．球O的表面积为4πB．直线BD与BP夹角等于45°1C．该正四棱柱的侧面积为162D．侧面ABBA与球面的交线长为2π11第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a=(1,2)，b=+−(1λλ,2)，若ab⊥，则实数λ的值为__________．14．将圆周16等分，设每份圆弧所对的圆心角为θ，则sincosθθ的值为__________．学科网（北京）股份有限公司 15．已知定义城为R的函数fx()同时具有下列三个性质，则fx()=__________．（写出一个满足条件的函数即可）①fxyfxfy(+=)()+()；②fx′()是偶函数；③当xy+>0时，fxfy()+<()0．22xy16．已知双曲线C：−=>>1(ab0,0)的左焦点为F，两条渐近线分别为l，l．点A在l上，点B22121ab在l上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称、若AF=2b，则C的离心率为2__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等比数列{a}的前n项和为S，且aS=+2．nnnn+1（1）求{a}的通项公式；n（2）若ba=log，求数列{b}的前n项和T．nn221−nn18．（本小题满分12分）π记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=2，B=．6（1）若c=2，求a；（2）求△ABC面积的最大值．19．（本小题满分12分）国际上常采用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是体重(单位:kg)BMI=．为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用22身高(单位:m)比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名男员工、30名女员工的身高和体重数据．计算得到他们的BMI值，并根据“中国成人的BMI数值标准”简称“指标”整理得到如下结果：指标人数偏瘦（BMI<18.5）正常（18.5≤BMI<24）偏胖（24≤BMI<28）肥胖（BMI≥28）性别男12171110女91173（1）若该公司男员工有1500名，则该公司共有多少名员工？（2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名员工，求抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率．20．（本小题满分12分）如图，在底面为菱形的四棱锥M−ABCD中，AD=BD=MB=2，MA=MD=2．学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；（2）已知MN=2NB，求直线BN与平面ACN所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）22xy已知椭圆E：+=1的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B．点C在E上，Py(4,)，Qy(4,)分PQ43别为直线AC，BC上的点．（1）求yy⋅的值；PQ（2）设直线BP与E的另一个交点为D，求证：直线CD经过F．22．（本小题满分12分）已知函数fx()=lnxa−，记曲线yfx=()在点(xfx,())处的切线为l，l在x11轴上的截距为xx(>0)．22（1）当x=e，a=1时，求切线方程；1aa（2）证明：xx−≥−ee．12答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本运算、几何意义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性．【答案】A．111i+【解析】由=−1i得z==，应选A．z1i2−2．【考查意图】本小题以不等式为载体，主要考查集合运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性．【答案】C．【解析】Ax=−<<{11x}，B={xx>0}，故AB=−+∞(1,)，应选C．3．【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的图象和性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、学科网（北京）股份有限公司 数学运算等核心素养，体现基础性．【答案】C．2【解析】抛物线yx=4的准线为x=−1，由PC∈得x=1，故P到准线的距离为2，应选C．04．【考查意图】本小题以二十四节气为载体，主要考查排列与组合等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和应用意识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和应用性．【答案】B．12【解析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏．其中1春2夏的不同情况有：CC⋅=906621种；2春1夏的不同情况有：CC⋅=90种，所以小明选取节气的不同情况有：9090180+=种．应选66B．5．【考查意图】本小题以正四棱台形油槽为载体，主要考查空间几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性．【答案】D．h22【解析】设正四棱台的高，即深度为hcm，依题意，得190000=(60++×406040)，解得h=75，3应选D．6．【考查意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．【答案】C．【解析】解法一：记第i次摸到红球为事件A，摸到黄球为事件Bi(=1,2)，则ii12111PB(2)=PAPBAPBPBB(1)(21)+(1)(21)=×+×=，23232221PAB(12)2PAB(12)=PAPBA(1)(21)=×=，故PAB(12)==．应选C．433PB(2)321解法二：记第i次摸到红球为事件A，摸到黄球为事件Bi(=1,2)．由抽签的公平性可知PB()==，ii242221×PAB(12)2又PAB()==，所以PAB()==．应选C．1212433×PB(2)37．【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．【答案】A．1lneln2ln45ln5lnx【解答】解法一：a==，b=ln2==，c=ln5=，令fx()=，ee245x1ln−xfx′()=，当x≥e时，fx′()≤0，故fx()在区间[e,+∞)上单调递减，所以abc>>．2x学科网（北京）股份有限公司 105101055解法二：因为2==>=232255，所以ln2>ln5，即bc>．x2在同一坐标系中作出函数fx()=2，gxx()=的图象，如图所示，由图可知，fg(ee)<()，即e211e22e2e2e2<e1112e<，所以2e<，即，所以ln2<=lne，即ba<．2eelnx1ln−x（令fx()=，fx′()=，当0e<<x时，fx′()>0，故fx()在区间(0,e)上单调递增，所以2xx1lneln2ab==>==ln2．）ee2综上，abc>>．应选A．8．【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．【答案】A．π【解析】由已知，fx()=2sinωx+，4ππ(41k+)π令ωπxk+=+，k∈Z，得x=，k∈Z，424ω(41k+)π依题意知，有5个整数k满足0≤≤π，即0414≤+≤kω，所以k=0,1,2,3,4，则4ω17214414451×+≤<×+ω，故≤<ω，应选A．44二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【考查意图】本小题主要考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数据分析等核心素养，体现基础性．【答案】AC．10．【考查意图】本小题以直线与圆为载体，考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；学科网（北京）股份有限公司 考查运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性．【答案】BC．【解析】依题意，l恒过定点(−−3,1)，选项A错误；3若l平分圆周M，则l经过圆M的圆心(0,0)，代入直线方程得k=，选项B正确；331k−圆心O(0,0)到l的距离d=，当k=3时，dr==1，l与圆M相切，选项C正确；若l与圆M2k+122相交，则d<1，即(31kk−<+)1，即03<<k，故选项D错误．综上，应选BC．11．【考查意图】本小题以三次函数为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．【答案】ACD．3【解答】fx()的图象可由奇函数gx()=x−3ax的图象向上平移2个单位长度得到，故fx()的图象关于点(0,2)对称，选项A正确．设fx()的极值点分别为xxxx,(<)，则由对称性可知xx+=0，故fx()+fx()=×=224，即12121212fx()的极值之和为4，选项B错误．2依题意，方程fxxa′()=−=330有两异根，则a>0，xa=−，xa=，fx()在区间(−∞,a上12单调递增，在区间(−aa,)上单调递减，在区间a,+∞)单调递增．由图象可知，当fx(12)>>0fx()时，fx()的图象与x轴有3个交点，即fx()有3个零点，选项C正确．当01<<a时，faaaaa()=−3+=−221(aa)>0，此时fx()只有一个零点，选项D正确．综上，应选ACD．12．【考查意图】本小题以正四棱柱为载体，主要考查球、直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．【答案】BCD．【解答】如图，设球O与下底面相切于点O，则OO⊥平面ABCD，连接OA，则∠OAO为直线OA与平1111面ABCD所成的角．因为球O与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径R=OO=OA=2，所以11S=⋅=428ππ，四棱柱的侧面积为(2422162××)=，故选项A错误，C正确．表学科网（北京）股份有限公司 依题意，BB，BP均为球O的切线，BD经过球心O，所以∠=BBD∠PBD，又BD=22=BB，所11111111以∠=PBD∠=BBD45°，选项B正确．111对于选项D，棱AA的中点F，即球O与棱AA的切点应为交线上的点，故交线应为过F的圆．截面圆的圆111心即为矩形ABBA的中心E，在Rt△OEF中，OF=R=2，OE=BC=1，所以截面圆半径112r=EF=−=211，周长为2π，该选项正确．综上，应选BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【考查意图】本小题以平面向量为载体，主要考查平面向量的基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性．【答案】5．【解析】由ab⊥得(1++−=λλ)22()0，解得λ=5．14．【考查意图】本小题以圆的等分为载体，考查三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力，抽象概括能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性．2【答案】．4π112π【解析】依题意，得θ=，所以sincosθθ=sin2θ=sin=．8224415．【考查意图】本小题以函数的性质为载体，考查函数的奇偶性、函数与导数等基础知识；考查推理论证能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性、综合性与应用性．【答案】−x（答案不唯一，kxk(<0)均可）．16．【考查意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的离心率、双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．【答案】2．学科网（北京）股份有限公司 b【解答】依题意，l的方程为yx=，AF⊥l，设垂足为P，则FP=b．因为AF=22b=FP，所12a以点F，A关于直线l对称，∠=FOP∠AOP，又l，l关于y轴对称，所以l的倾斜角为212121bb×180°=60°，故=tan60°=3，所以离心率e=+=12．23aa四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【命题意图】本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．aS=+2,21【解答】（1）解法一：由aSnn+1=+2得aS=+2,32设等比数列{a}的公比为q，n−=aq1(1)2,所以2aqq1(−−=1)2,a=2,a=−2,11解得或（舍去）．q=2,q=0n所以a=2．n21n−（2）ba=log=log2=2n−1，nn221−2故b=1，bb−=−−2121122n(n−−=)(n≥)，1nn−1所以{b}是首项为1，公差为2的等差数列，nnbb(1+n)n(121+−n)2所以Tn===．n22解法二：（1）因为aS=+2，①nn+1所以当n≥2时，aS=+2，②nn−1①－②得aa=2，nn+1aan+1所以等比数列{}的公比q==2．nan由①式得aa=+2，得a=2，211学科网（北京）股份有限公司 n所以a=2．n（2）Tbb=++⋅⋅⋅+bnn12=logaa+log+⋅⋅⋅+loga2123221n−=log2(aa13⋅⋅⋅a21n−)13++⋅⋅⋅+(21n−)=log22121+−(nn)=log2222=n．18．【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．满分12分．π【解答】解法一：（1）因为b=2，c=2，B=，6222根据余弦定理得b=+−ac2accosB，2π22所以(2)=+−aa24cos，62即aa−2320+=，解得a=31±．222（2）根据余弦定理，得b=+−ac2accosB，22π22所以2=+−ac2accos=+−ac3ac≥−2ac3ac=−(23)ac，6（当且仅当ac==31+时取等号），2即ac≤=22(+3)，23−11π1123+所以△ABC面积S△ABC=acsinB=acsin=ac≤×+22(3)=，22644223+即△ABC面积的最大值为．2π解法二：（1）因为b=2，c=2且B=，6学科网（北京）股份有限公司 bc根据正弦定理，得=，sinBCsin222所以=，即sinC=，πsinC2sin6ππ5因为cb>，所以CB>，所以<<C，66π3π所以C=或C=，44πππ123262+当C=时，sinA=sin(BC+=)sin+=×+×=，46422224ab根据正弦定理，得=，sinABsin62+2×bAsin4所以a===31+；sinBπsin63πππ3123262−当C=时，sinA=sin(BC+=)sin+=×−+×=，46422224ab根据正弦定理，得=，sinABsin62−2×bAsin4所以a===31−；sinBπsin6综上，a=31±．（2）略，同解法一．π解法三：（1）因为b=2，c=2且B=，6bc根据正弦定理，得=，sinBCsin222所以=，即sinC=，πsinC2sin6ππ5因为cb>，所以CB>，所以<<C，66π3π所以C=或C=，44学科网（北京）股份有限公司 πππ7π当C=时，A=−+=−+=ππ(BC)，46412ab根据正弦定理，得=，sinABsin7π2sinbAsin12ππππππ所以a===22sin+=22sincos+cossin；sinBπ343434sin6ππππ=22sincos+=cossin31+；34343ππππ3当C=时，A=−+=−+=ππ(BC)，46412ab根据正弦定理，得=，sinABsinπ2sinbAsin12ππππππ所以a===22sin−=22sincos−cossinsinBπ343434sin6ππππ=22sincos−=cossin31−；3434综上，a=31±．acb2（2）根据正弦定理，得====22，sinACBsinsinπsin6所以aA=22sin，cC=22sin，25π13即aC=(22)sinsinAC=8sinsinA−=A8sinAcosA+sinA62221cos2−A=2sin2A+43sinAA=2sin2+×43=2sin2A−23cos2A+23213π=4sin2AA−cos2+=234sin2A−+23，2235ππππ4因为0<<A，所以−<−<2A，6333ππ5ππ所以当2A−=，即A=时，sin2A−取得最大值为1，即ac最大值为423+，32123学科网（北京）股份有限公司 11π1123+所以△ABC面积S△ABC=acsinB=acsin=ac≤×+(423)=，22644223+即△ABC面积的最大值为．219．【命题意图】本小题主要考查分层抽样、独立事件的概率、互斥事件、对立事件的概率等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素养；体现应用性和创新性．满分12分．【解】（1）设该公司共有x名员工，150050依题意得=，x5030+解得x=2400，所以该公司共有2400名员工．404（2）依题意，事件“抽到一名男员工不为肥胖”的概率为=，事件“抽到一名女员工不为肥胖”的概505279率为=，30104416由事件的独立性，得抽到的两个男员工都不存在肥胖的概率为×=，55259981抽到的两个女员工都不存在肥胖的概率为×=，1010100设事件M为“抽到的员工中至少有一名是肥胖”，则事件M为“抽到的员工都不存在肥胖”，8116324所以PM()=×=，10025625324301所以PM()=1−=，625625301所以抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率为．62520．【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．【解答】（1）取AD的中点为O，连结OM，OB，因为四边形ABCD是为菱形，且AD=BD=2，所以△ABD为正三角形，所以BO⊥AD，且BO=3．因为MA=MD=2，所以MO⊥AD，2222所以MO=MA−AO=(211)−=，222又因为MB=2，所以MO+=BOMB，学科网（北京）股份有限公司 所以MO⊥BO，因为AD∩=BOO，AD⊂平面ABCD，BO⊂平面ABCD所以MO⊥平面ABCD，又因为MO⊂平面MAD，所以平面MAD⊥平面ABCD．（2）由（1）知，OA，OB，OM两两垂直，故以O为坐标原点，分别以OA，OB，OM为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．231则A(1,0,0)，B(0,3,0)，C(−2,3,0)，M(0,0,1)，N0,,，3331所以CA=(3,−3,0)，CN=2,−,，CB=(2,0,0)，33设平面ACN的法向量为n=(xyz,,)，3xy−=30,nCA⋅=0,则即31nCN⋅=0,2xyz−+=0,33取x=1，则n=(1,3,3−)．因为BM=(0,−3,1)，BMn⋅−−33313则cosBMn,===−，BMn2×1313313所以直线BN与平面ACN所成角的正弦值为．1321．【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面向量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．【解答】（1）依题意，A(−2,0)，B(2,0)．学科网（北京）股份有限公司 22xy11设Cxy(,)，则+=1，1143y6y11直线AC方程为yx=(+2)，令x=4得y=，Px+2x+211y2y11直线BC方程为yx=(−2)，令x=4得y=，Qx−2x−211212y1所以yy=PQ2x−412x11231×−4=2x−41=−9，即yy⋅的值为−9．PQ（2）设Dxy(,)，Pt(4,)，则22tt直线AP方程为yx=(+2)，直线BP的方程为yx=(−2)，62tyx=(+2,)2222由6得(t+27)x++−=4txt41080，3xy22+=412224t−108542−ttt18所以−=2x，即x=，故yx=(+=2)．1212112t+2727+t627+ttyx=(−2,)2222由2得(t+−+−=3)x4txt4120，3xy22+=412224t−1226t−tt−6所以2x=，即x=，故yx=(−=2)．2222222t+3t+323t+所以(xyxy−−−11)()122122273−−−t6tt918t=⋅−⋅222227++++tt3t327t22−6273t(−+−tt327)==0，22(tt++327)()学科网（北京）股份有限公司 又F(1,0)，所以向量FC=(x−1,y)，与FD=(x−1,y)共线，1122所以直线CD经过F．解法二：（1）依题意，A(−2,0)，B(2,0)．22xy11设Cxy(,)，则+=1，1143yy11所以kk⋅=⋅ACBCxx+−22112y1=2x−412x131−4=2x−413=−．43yPyQ即−=⋅=kk⋅，故yy的值为−9．APBQPQ44242+−（2）设Cxy(,)，Dxy(,)，Pt(4,)．1122要证直线CD经过F(1,0)，只需证向量FC=(x−1,y)，与FD=(x−1,y)共线，1122即证(xyxy−=−11)()．（*）12212222xy(−2)0y3xy−21111P因为+==1+，所以k==−⋅=，AC4343xy+24611y3xy+222P同理可得k==−⋅=，BDxy−24222kAC(xy21−2)1所以==，即xy−++=3620xyyy，①122112kxyBD(12+23)同理可得−+++=3xyxy260yy，②122112①－②得44440xy−+−=xyyy，即(xyxy−=−11)()．1221121221所以（*）式成立，命题得证．学科网（北京）股份有限公司 22．【命题意图】本小题主要考查导数，函数的单调性、零点、不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现基础性、综合性和创新性．满分12分．1【解答】（1）fx′()=，x当x=e，a=1时，fx()=lne10−=，即切点为(e,0)，111所以所求切线斜率kf=′(e)=，e11所以所求的切线方程为yx=(−e)，即yx=−1．ee（2）由于fx()=lnxa−，111所以切线l的方程为y−(lnxa−=)(xx−)．11x11令y=0，得−(lnxa−=)(xx−)，解得xxxxa=−−(ln)．（*）112111x1a+1由x>0，得x<e．21构造函数gxxxxa()=−−(ln)，所以gxa′()=−lnx，aa所以当0e<<x时，gx′()>0，gx()单调递增；当x>e时，gx′()<0，gx()单调递减．故aagx()=g(ee)=．maxa所以x≤e．2a若x≤e，由（*）式知xx≤，112a所以xx≤≤e，12aa故xx−≥−ee．12aaaaaa若x>e，则x−−−=−−−=+−exe(xe)(ex)(xx)2e，1121212aaa所以x−−−=−exe2xxxa(ln−−)2e．12111aaa+1构造函数ϕ(x)=−2xxxa(ln−−)2e(e<<xe)，所以ϕ′(xax)=+−>(1)ln0，学科网（北京）股份有限公司 aa+1故ϕ(x)在区间(e,e)上单调递增，a所以ϕϕ(x)>=(e0)，a所以2xxxa−(ln−−>)2e0，即111aaaa所以xx−−−>ee0，即xx−>−ee．1212aaa综上，不等式成立xx−≥−ee成立（当且仅当x=e时取等号）．121学科网（北京）股份有限公司