福建省福州市2023届高三数学质量检测试题（Word版附解析）

2023年5月福州市普通高中毕业班质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位，越界答题!第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则（）A.2B.3C.6D.7【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集确定元素与集合的关系，即可求得的值.【详解】因集合，，且，所以故.故选：B.2.在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】设，然后由复数除法运算得，根据对应的点在第二象限可解.【详解】设，则，因为复数对应的点位于第二象限，所以,得，所以复数对应的点在第三象限. 故选：C3.已知向量在单位向量上的投影向量为，则（）A.-3B.-1C.3D.5【答案】A【解析】【分析】根据投影向量可求得向量的数量积，再根据数量积的运算即可得所求.【详解】因为向量在单位向量上的投影向量为，所以，又，所以，则.故选：A.4.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于贷款人的年收入（单位：万元）的Logistic，模型：，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（）（精确到0.01万元，参考数据：，）A.4.65万元B.5.63万元C.6.40万元D.10.00万元【答案】A【解析】【分析】先根据题中数据代入计算函数中参数的值，然后计算时的值即可.【详解】由题意，即，得，所以.令，得，得， 得得.故选：A.5.已知的外接圆半径为1，，则（）A.B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，则.故选：D.6.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（）A.15种B.18种C.19种D.36种【答案】C【解析】【详解】根据题意，记只会划左桨两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人；则不同的选派方法有以下三种：（1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有种，（2）从中选择1人划左桨，则从中选1人划左桨，再从剩下的3人中选2人划右桨，共有种；（3）从中选择0人划左桨，则中的两人划右桨，从中选2人划左桨，共有所以，不同的选派方法共有19种. 故选：C7.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A.α∥β且∥αB.α⊥β且⊥βC.α与β相交，且交线垂直于D.α与β相交，且交线平行于【答案】D【解析】【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．8.已知，函数，.若，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，，则，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案.【详解】，即，令，，令，则，所以函数为增函数，即函数为增函数，又，则当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数求出函数的最小值，是解决本题的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（）A.中位数B.平均数C.方差D.第40百分位数【答案】AD【解析】【分析】根据中位数，平均数，方差及百分位数的定义，举例说明即可.【详解】设这个数分别为，且，则中位数为，去掉最大和最小的数据，得，中位数为，故中位数一定不变；由，得的第40百分位数为，由，得的第40百分位数为，故第40百分位数不变，设这个数分别，则平均数为， 去掉最大和最小的数据为，此时平均数为，所以此时平均数改变了；设这个数分别，则平均数为，方差为，去掉最大和最小的数据为，则平均数为，方差为，所以此时方差都改变了.故选：AD.10.已知椭圆C：，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（）A.C长轴长为2B.C的焦距为C.C的离心率为D.C与圆有2个公共点【答案】BC【解析】【分析】先由p，q，r依次成公比为2的等比数列求出椭圆方程，再逐一判断各选项.【详解】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，.所以C的方程可化为，则，，即，.对于A，所以C的长轴长为4，故A错误；对于B，焦距为，故B正确；对于C，C的离心率为，故C正确；对于D，联立解得，C与圆只有1个公共点，故D 错误.故选：BC.11.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（）A.B.C.D.离水面的距离不小于3.7m的时长为20s【答案】ABD【解析】【分析】由题意，的最大值为，最小值为，即可求出，再根据函数的周期即可求出，根据时，，利用待定系数法即可求出，解正弦不等式即可判断D.【详解】由题意，的最大值为，最小值为，则，所以，故A正确；由旋转一周需要60s，得函数的周期，所以，故B正确；故，当时，，则，所以，故C错误；由，得，因为，所以，由，得， 令，得，所以，故，所以离水面的距离不小于3.7m的时长为，故D正确.故选：ABD.12.已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（）A.是偶函数B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】举例说明判断A；分析函数与的性质，作出部分函数图象，结合图象与性质推理、计算判断BCD作答.【详解】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；函数定义域为，满足，当时，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，因此当时，函数在上递减， 在上递增，当时，取得最大值，当时，，，当时，，，当时，，，因此当时，函数，在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，当时，函数的图象有唯一公共点，因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；显然，所以，C正确；，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，D错误.【点睛】关键点睛：求两个分段函数的公共点的坐标，确定要求值的自变量属于哪一段区间，再代入该段的解析式求值是关键.第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答.答案无效. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知变量和的统计数据如下表：6789103.54566.5若由表中数据得到经验回归直线方程为，则时的残差为_________（注：观测值减去预测值称为残差）.【答案】##【解析】【分析】先求出回归方程，再根据回归方程求出预测值，最后计算残差即可.【详解】，则，解得，所以，当时，，所以时的残差为.故答案为：.14.写出经过抛物线的焦点且和圆相切的一条直线的方程_________.【答案】（或，写出一个方程即可）【解析】【分析】斜率不存在时，直接观察可知；斜率存在时，设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径可解.【详解】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为2.记过点的直线为l，当l斜率不存在时，由图可知l与圆相切，此时l的方程为； 当l斜率存在时，设其方程为，即，因为直线l与圆相切，所以，解得所以l的方程为，即.故答案为：（或，写出一个方程即可）15.已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为_________.【答案】【解析】【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的侧面公式即可求得其侧面积.【详解】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为，则圆台的高，测圆台的母线长为，据此可得圆台的侧面积为.故答案为：.16.不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性结合 ，解不等式即可.【详解】由，得，令，则，因为，所以，所以，所以函数为增函数，又，则不等式即为，所以，即不等式的解集为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：构造函数是解决本题的关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，直线，线段DE与，均垂直，垂足分别是E，D，点A在DE上，且，.C，B分别是，上的动点，且满足.设，面积为.（1）写出函数解析式； （2）求的最小值.【答案】（1）（2）的最小值为【解析】【分析】（1）根据直角三角形的边角关系得关于的表达式，再根据三角形面积公式即可得函数解析式；（2）利用三角恒等变换化简，再根据函数的性质即可得的最小值.【小问1详解】结合图形可知，若，则，所以，又，所以，又在中，在中，所以面积为【小问2详解】由（1），因为，所以，所以的取值范围是所以当时，取得最小值.18.学校有A，B两家餐厅，周同学每天午餐选择其中一家餐厅用餐.第1天午餐选择A餐厅的概率是 ，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为.（1）记周同学前两天去A餐厅的总天数为X，求X的数学期望；（2）如果周同学第2天去B餐厅，那么第1天去哪个餐厅的可能性更大?请说明理由.【答案】（1）（2）如果周同学第天去餐厅，那么第天去餐厅的可能性更大，理由见解析【解析】【分析】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，根据随机变量的分布结合条件概率求解分布列及数学期望；（2）根据条件概率与全概率公式求解即可判断.【小问1详解】设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，则与对立，与对立.由题意可得则的分布列为：012所以.【小问2详解】由全概率公式，得 所以所以则所以如果周同学第天去餐厅，那么第天去餐厅可能性更大.19.如图，四边形是圆柱的轴截面，是母线，点D在线段BC上，直线//平面.（1）记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，证明：；（2）若，，直线到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得为的中点，结合锥体的体积分析证明；（2）根据题意可得到平面的距离为，结合锥体的体积可得，进而可求得，结合线面夹角的定义分析求解.【小问1详解】连接，设，连接，因为直线//平面，平面，平面平面，所以//，又因为为的中点，则为的中点， 所以.【小问2详解】因为直线//平面，直线到平面的距离为，则到平面的距离为，又因为为的中点，则到平面的距离为，由，则，可得，延长交底面圆周于点，连接，则因为平面，平面，则，，平面，所以平面，由平面，则，即的边AD的高为，由题意可得：，可得为等腰直角三角形，则，可得，由，解得，所以直线与平面所成角的正弦值，因为//，则直线与平面所成角即为直线与平面所成角，故线与平面所成角的正弦值. 20.已知数列满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）求使取得最小值时的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据可得，即，再利用累加法求解即可；（2）根据数列的通项公式判断出数列的单调性，结合数列的单调性即可得解.【小问1详解】，由，得，即，当时，，所以，当时，上式也成立，所以；【小问2详解】由（1）可知，，当时，，即，当时，，即， 当或时，，即，则数列在且上递减，在且上递增，，所以取得最小值时或.21.已知双曲线：的右顶点为A，О为原点，点在的渐近线上，的面积为.（1）求的方程；（2）过点Р作直线交于M，N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直线AH的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】根据点在的渐近线上，可得，再根据的面积求出即可；（2）易得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，求出的方程，令，可得点的坐标，从而可得点的坐标，再根据斜率公式计算即可.【小问1详解】因为点在的渐近线上，所以，，则，所以，故，所以的方程为；【小问2详解】当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消得，则，解得且， ，直线的方程为，令，得，即，因为H为NG的中点，所以，所以，因为，所以，所以直线AH的斜率为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 22.已知，函数.（1）讨论在上的单调性；（2）已知点.（i）若过点Р可以作两条直线与曲线相切，求的取值范围；（ii）设函数，若曲线上恰有三个点使得直线与该曲线相切于点，写出的取值范围（无需证明）.【答案】（1）答案见解析（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解；（2）（i）设切点为，根据导数的几何意义可得切线方程为，再根据切线过点，可得，根据过点Р可以作两条直线与曲线相切，得关于的方程在上至少有两个不同的解，令，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解；（ii）由（i）得，当时，曲线上恰有两个点处得切线过点，再根据函数与互为反函数，结合（i）即可得解.【小问1详解】，当时，，所以在上单调递减，当时，令，则，令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】（i）设切点为，因为，所以切线的斜率为，则切线方程为，因为切线过点，所以，即，若过点Р可以作两条直线与曲线相切，则上述关于的方程至少有两个不同的解，显然不是该方程的解，所以关于的方程在上至少有两个不同的解，令，则，令，则，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以，所以当时，，所以在上单调递增，在上单调递增，的大致图象如下图所示： 因为，，所以当时，关于关于的方程在上有两个不同的解，此时过点Р可以作两条直线与曲线相切，所以的取值范围为；（ii）由（i）得，过点Р可以作一条直线与曲线相切，则当时，曲线上恰有两个点处得切线过点，由，得，由，得，所以函数与互为反函数，则函数与关于对称，因为点在直线，则曲线上恰有两个点处得切线过点，即为过点Р可以作两条直线与曲线相切，由（i）得，此时， 所以的取值范围为.【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：（1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论；（2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.