22.3 第1课时 几何图形的最大面积课件

22.3实际问题与二次函数第二十二章二次函数第1课时几何图形的最大面积 情景引入将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？ 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.(1)y=x2−4x−5；(配方法)(2)y=−x2−3x+4.(公式法)解：(1)开口方向：向上；对称轴：直线x=2；顶点坐标：(2，-9)；最小值：-9.(2)开口方向：向下；对称轴：直线x=；顶点坐标：(，)；最大值：. 求二次函数的最大（或最小）值引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h=30t-5t2 合作探究问题1二次函数的最值由什么决定？xyOxyO最小值最大值二次函数的最值由a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 问题2当自变量x为全体实数时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是多少？当a＞0时，有，此时；当a＜0时，有，此时. 问题3当自变量x限定范围时，二次函数y=ax2+bx+c的最值如何确定？先判断是否在限定范围内，若在，则二次函数在x=时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值. 故小球运动的时间是3s时，小球最高.小球运动中的最大高度是45m．t/sh/mO1234562040h=30t−5t2(0≤t≤6)试一试根据探究得出的结论，解决引例的问题：∵0≤3≤6， 例1求下列函数的最大值与最小值：xOy解：-31（1）∴当时，有当时，有典例精析 解：Oxy1-3（2）∴当x=-3时，有∴当-3≤x≤1时y随着x的增大而减小.当x=1时，有 方法归纳当自变量的范围有限制时，二次函数的最值可以根据以下步骤来确定：1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴；2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围；3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系，根据二次函数的性质及图象，确定当x取何值时函数有最大或最小值，然后根据x的值，求出函数的最值. 典例精析例2用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m2)随矩形一边长l(m)的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？问题1矩形面积公式是什么？问题2如何用l表示另一边？问题3面积S的函数关系式是什么？矩形面积=长×宽另一边长为(30−l)mS=(30−l)l=−l2+30l二次函数与几何图形面积的最值 问题4当l是多少米时，场地的面积S最大？解：根据题意得S=l(30-l)，即S=-l2+30l(0＜l＜30).因此，当时，有S最大值=也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.51015202530100200l/mS/m2O 变式如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.60-2xxx(1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为__________m.矩形菜园的面积S=______________________.想一想如何求得自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？0＜60−2x≤32，即14≤x＜30.(60−2x)x(60−2x)＝−2x2＋60x ∴当x=15m时，S取最大值，此时S最大值=450m2.解：设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为(60−2x)m.∴S=x(60−2x)=−2x2＋60x.∵S=−2x2＋60x=−2(x−15)2+450，设未知数，用含未知数的代数式表示相关量由题意得0＜60−2x≤32，即14≤x＜30.根据题意，求出自变量的取值范围写出二次函数解析式，并化为顶点式结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值 (2)当墙长18m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？解：设垂直于墙的一边长为xm，由(1)知S=−2x2＋60x=−2(x2−30x)=−2(x−15)2+450.问题1与(1)有什么区别？试一试在(2)中，求自变量的取值范围.21≤x＜30.是否依然在x=15时，S取得最大值？可利用的墙的长度不一样 问题2当21≤x＜30时，S的值随x的增大如何变化？当x取何值时，S取得最大值？当21≤x＜30时，S随x的增大而减小，故当x=21时，S取得最大值，此时S最大值=−2×(21−15)2+450=378(m2).实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值.注意 例3用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）x解：设矩形窗框的宽为xm，则高为m.由于这里应有x＞0，故0＜x＜2.矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是 即配方得所以，当x=1时，函数取得最大值，y最大值=1.5.这时因此，所做矩形窗框的宽为1m、高为1.5m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5m2. 知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值；3.当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值. 1.二次函数y=(x+1)2−2的最小值是（）A．−2B．−1C．1D．22.二次函数y=−2x2−4x+3(x≤−2)的最大值为____.33.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形的面积的最大值是______.A8 4.某小区要在一块空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙(墙长25m)，另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym2．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.解：∵BC=xm，∴AB=∴y= (2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？∵0＜x≤25，∴当x=20时，绿化带的面积取得最大值，最大面积为200m2. 5.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；解：由于矩形周长为12m，一边长为xm，故另一边长为(6-x)m.∴S=x(6-x)=-x2+6x，其中0＜x＜6. 解：S=-x2+6x=-(x-3)2+9(0＜x＜6).∴当x=3，即矩形的一边长为3m时，其面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元）.(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过s，四边形APQC的面积最小.3ABCPQ能力提升 几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，要利用函数的增减性来确定