22.3 第2课时 商品利润最大问题导学案

第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第2课时商品利润最大问题学习目标：1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.重点：能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.难点：弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.自主学习一、知识链接1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.(1)y=－x2－4x+5；(2)y=x2－3x+4.2.说说利润问题中利润、售价、销量之间的数量关系.课堂探究二、要点探究探究点1：利用二次函数解决商品利润最大问题问题某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期的销售额是元，销售利润是元.典例精析例1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每件每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？◆涨价销售①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润(元)销售量(件)每星期利润(元)正常销售涨价销售②自变量x的取值范围如何确定？③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ ◆降价销售①设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润(元)销售量(件)每星期利润(元)正常销售降价销售②自变量x的取值范围如何确定？③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？变式某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式；(2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？知识要点：求解最大利润问题的一般步骤.(1)建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润×销售量”；(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围；(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.练一练某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 例2某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.(1)当售价在40～50元/件时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？(2)当售价在50～70元/件时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？(3)若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？变式1若该商品售价在40～70元/件之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x元/件的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？变式2若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；变式3在变式2的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元/件时，利润最大，最大利润是多少元？三、课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价－总成本.确定自变量取值范围涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 当堂检测1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售，可卖出(600－20x)件，使利润最大，则每件售价应定为元.2.进价为80元/件的某衬衣定价100元/件时，每月可卖出2000件，每件价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元/件)之间的函数关系式为，每月利润w(元)与衬衣售价x(元/件)之间的函数关系式为.(以上关系式只列式不化简）3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？4.某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y=ax2+bx－75.其图象如图.(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 参考答案自主学习知识链接1.解：（1）开口向下，对称轴为直线x=-2顶点坐标为（-2,9），最大值为9.（2）开口向上，对称轴为直线x=，顶点坐标为，最小值为2.（1）销售额=售价×销售量；（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价.课堂探究二、要点探究探究点1：利用二次函数解决商品利润最大问题问题180006000典例精析例1◆涨价销售①填表如下：单件利润(元)销售量(件)每星期利润(元)正常销售203006000涨价销售（20+x）(300-10x)（20+x）(300-10x)所得利润y=(20+x)(300-10x)，即y=-10x2+100x+6000.②营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③y=-10x2+100x+6000.当x=时，y=-10×52+100×5+6000=6250.即涨价5元时，最大利润是6250元.◆降价销售①填表如下：单件利润(元)销售量(件)每星期利润(元)正常销售203006000降价销售（20-x）(300+20x)(20-x)(300+20x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.②营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20.③即y=-20x2+100x+6000.当x=时，即降价2.5元时，最大利润是6125元.综上可知，定价65元时，最大利润是6250元.变式解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000；(2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800，∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件，∴75≤x≤90.∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元． 练一练解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800=-10(x-4)2+1960.易知0≤x≤18，则当x=4时，即涨价4元时，y取最大值1960元.答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.例2解：（1）由题意得：当40≤x≤50时，Q=60(x－30)=60x－1800，∵y=60>0，Q随x的增大而增大，∴当x最大=50时，Q最大=1200.答：此时每月的总利润最多是1200元.（2）当50＜x≤70时，设y与x函数关系式为y=kx+b,∵线段过(50，60)和(70，20).解得∴y=－2x+160（50＜x≤70）..∴Q=(x－30)y=(x－30)(－2x+160)=－2x2+220x－4800=－2(x－55)2+1250(50＜x≤70)，∵a=－2＜0，图象开口向下，∴当x=55时，Q最大=1250.∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.（3）∵当40≤x≤50时，Q最大=1200＜1218，当50≤x≤70时，Q最大=1250＞1218.∴售价x应在50~70元之间.∴令－2(x－55)2+1250=1218，解得x1=51，x2=59.当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160=58(件)，当x2=59时，y2=－2x+160=－2×59+160=42(件).∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.变式1解：Q与x的函数关系式为：由例2可知：若40≤x≤50，则当x=50时，Q最大=1200；若50＜x≤70，则当x=55时，Q最大=1250；∵1200＜1250，∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.变式2解：Q与x的函数解析式为：①当40≤x≤50时，∵Q最大=1200＜1218，∴此情况不存在.②当50＜x≤70时，Q最大=1250>1218，令Q=1218，得－2(x－55)2+1250=1218解得：x1=51，x2=59.由Q=－2(x－55)2+1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218∴若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59.变式3解：由题意得：解得：51≤x≤53.又∵a=－2＜0，∴当51≤x≤53时，Q随x的增大而增大∴当x=53时，Q最大=1242.∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.当堂检测1.252.y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)3.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]=(10+2x)(84－4x)=－8x2+128x+840=－8(x－8)2+1352.因为x≤9，故当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.4.解：（1）由题中条件可求y=-x2+20x-75.∵-1<0,，对称轴x=10，∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.（2）由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元.