22.1.1 二次函数导学案

第二十二章二次函数22.1.1二次函数学习目标：1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.2.会利用二次函数的概念解决问题.3.能根据实际问题列二次函数关系式.重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式.难点：能根据实际问题列二次函数关系式.自主学习一、知识链接1.什么是函数？2.什么是一次函数？正比例函数？3.一元二次方程的一般形式是什么？课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数的相关概念问题1正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为.问题2n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？问题3某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？想一想：问题1~3中函数关系式有什么共同点?要点归纳：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.温馨提示：(1)a，b，c为常数，且a≠0；(2)等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；(3)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 典例精析例1下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x是自变量)①y=ax2+bx+c；②y=3－2x²；③y=x2；④；⑤y=x²+x³+25；⑥y=(x+3)²－x²；方法总结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数除了有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)之外，还有一些特殊形式，如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等.例2若函数是二次函数，求m的值.归纳：本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=-1的错误答案，需要引起同学们的重视.针对训练一个二次函数(1)求k的值；(2)当x=0.5时，y的值是多少？探究点2：根据实际问题列二次函数关系式问题矩形绿地的长为xm，面积为ym2.（1）若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为____m，y与x之间的关系式为______________；想一想自变量的取值范围是___________.（2）若该矩形绿地的长比宽多6m，则宽为______m，y与x之间的关系式为______________.想一想自变量的取值范围是___________.例3如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米)的函数关系式.注意：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.例4某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式. 三、课堂小结二次函数的定义形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c是常数)二次函数的特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a≠0，a，b，c是常数).当堂检测1.下列函数是二次函数的是()A．y＝2x＋1B．C．y＝3x2＋1D．2.函数y=(m－n)x2+mx+n是二次函数的条件是()A．m，n是常数，且m≠0B．m，n是常数，且n≠0C．m，n是常数，且m≠nD．m，n为任何实数3.把y=(2－3x)(6+x)变成y=ax²+bx+c的形式，二次项为，一次项系数为，常数项为.4.已知函数y=3x2m-1-5.①当m=时，y是关于x的一次函数；②当m=时，y是关于x的二次函数.5.若函数是二次函数，（1）求a的值.（2）求函数关系式.（3）当x=－2时，y的值是多少？6.写出下列各函数关系式：（1）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式；（2）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系式．7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式.(不必写出自变量x的取值范围) 8.矩形的周长为16cm，它的一边长为x(cm)，面积为y(cm2).（1）写出y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时，求矩形的面积.参考答案自主学习知识链接1.一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.2.一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.3.ax2+bx+c=0(a≠0)课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数的相关概念问题1y=6x2问题2问题3y=20(1+x)2=20x2+40x+20想一想函数都是用自变量的二次整式表示的.典例精析例1解：②③是二次函数；①不一定是，缺少a，b，c是常数，且a≠0的条件.④不是，等式右边是分式；⑤不是，x的最高次数是3；⑥不是，等式右边化简后，等式变形为y=6x+9，是一次函数.例2解：由题意得∴m=3.针对训练解：（1）由题意的解得k=2.(2)由(1)得，，将x=0.5代入函数关系式，得.探究点2：根据实际问题列二次函数关系式问题（1）0.5xy=0.5x2想一想x＞0（2）（x-6）y=x(x-6)想一想x＞6 例3解：∵AB边长为x米，∴AD边长为米.∴y＝(0＜x＜30).例4解：由题意得，第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元，产量减少了5(x－1)件．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10).当堂检测1.C2.C3.-3x2-16124.15.解：（1）由题意，得解得（2）当a=-1时，函数关系式为（3）将x=-2代入函数关系式中，有6.解：(1)(2)7.解：(1)当销售单价为每千克55元时，由题意，得月销售量=500−(55−50)×10=450(kg)单件销售利润=55−40=15(元)月销售利润=450×15=6750(元)(2)当销售单价为每千克x元时，由题意，得月销售量=500−(x−50)×10.单件销售利润=x−40.月销售利润y=[500−(x−50)×10](x−40)，整理，得y=-10x2+1400x−40000.8.解：（1）y＝(8－x)x＝－x2＋8x(0＜x＜8).（2）当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15(cm2).