21.3 第2课时 平均变化率与一元二次方程课件

21.3实际问题与一元二次方程第二十一章一元二次方程第2课时平均变化率问题与一元二次方程 问题引入小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是75分，第二次月考增长了20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？第二次数学成绩：75×(1+20%)=90(分)；第三次数学成绩：90×(1+20%)=108(分).即第三次数学成绩：75×(1+20%)2=108(分). 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？探究归纳下降率=下降前的量−下降后的量下降前的量平均变化率问题与一元二次方程×100% 分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为(5000−3000)÷2=1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000−3600)÷2=1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1−x)元，两年后甲种药品成本为5000(1−x)2元，于是有5000(1−x)2=3000.解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.注意一般下降率不可为负，且不大于1. 设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后乙种药品成本为6000(1−y)元，两年后乙种药品成本为6000(1−y)2元，于是有6000(1−y)2=3600.解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.综上可知，甲、乙两种药品的下降率相同. 例1某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率（精确到0.1%）.解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得解方程，得答：每次降价的百分率约为29.3%. 例2为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，某城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率.解：设增长率为x，根据题意，得20(1+x)2=24.2.解得x1=−2.1(舍去)，x2=0.1=10%．答：增长率为10%.注意增长率不可为负，但可以超过1. 问题你能总结出有关增长率和降低率问题的数量关系式吗？若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”，降低取“-”). 例3某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x.根据题意，得答：这个增长率为50%.200+200(1+x)+200(1+x)2=950，整理方程，得4x2+12x-7=0.解得x1=−3.5(舍去)，x2=0.5=50%. 填空：假设某种商品每件的成本为2元，售价为3元时，可卖100件.(1)此时的利润w=元；(2)若售价涨了1元，每件利润为_____元，同时少卖了10件，销售量为_____件，利润w=_____元；(3)若售价涨了2元，每件利润为_____元，同时少卖了20件，销售量为____件，利润w=_____元；100290180380240合作探究营销问题与一元二次方程 (4)若售价涨了3元，每件利润为____元，同时少卖了30件，销售量为____件，利润w=______元；(5)若售价涨了x元，每件利润为________元，同时少卖了____件，销售量为___________件，利润w=________________元.4(1+x)70(100−10x)10x280(1+x)(100−10x)想一想若想售卖这种商品获取利润300元，则每件商品应涨价多少元？解：设单价涨了x元，依题意得(1+x)(100-10x)=300，解得x1=4，x2=5.即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润.即x2−9x+20=0. 假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？变式训练解：设售价涨了x元，依题意得(4+x)(100−5x)=640，解得x1=4，x2=12.∵售价不高于成本价的2.5倍，即x+12≤2.5×8，∴x≤8.∴x=4.题目中有限定条件时，要注意取舍.注意答：每千克糖应涨价4元.即x2−16x+48=0. 解：设每件衬衫降价x元，根据题意得(40−x)(20+2x)=1200，整理得x2−30x+200=0.解方程得x1=10，x2=20.答：每件衬衫应降价10元或20元.例4某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？变式训练解：设每件衬衫降价x元，根据题意得(40−x)(20+2x)=1200，整理得，x2−30x+200=0.解方程得，x1=10，x2=20.因为要尽快减少库存，所以应取x=20.答：每件衬衫应降价20元. 1.设未知数x，用含x的代数式表示销量、单件利润；2.根据利润=销量×单件利润列方程；3.解方程；4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍；5.作答.要点归纳用一元二次方程解决营销问题的一般步骤 1.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨，平均每月的增长率是x，则可列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为8万元．若设该校今、明两年在实验器材投资上的年平均增长率是x，则可列方程为.B2(1+x)+2(1+x)2=8 3.某村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率.解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x.根据题意，得7200(1+x)2=8712，整理得(1+x)2=1.21.解得x1=-2.1(不符合题意，舍去)，x2=0.1=10%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%. 4.某超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？根据每件商品的利润×件数=总利润，分析：设每件商品涨价x元，则商品售价为_______元，则每个商品的利润为______________元，因为每涨价1元，其销售会减少10个，则每个涨价x元，其销售量会减少____个，故销售量为__________个，可列方程为______________________________.[(50+x)−40](500−10x)10x(50+x)(500−10x)·[(50+x)−40]=8000 解：设每个商品涨价x元，则单件利润为(50+x-40)元，销售量为(500−10x)个，则(500−10x)·(50+x−40)=8000，整理得x2−40x+300=0.解得x1=10，x2=30，都符合题意.当x=10时，50+x=60，500-10x=400；当x=30时，50+x=80，500-10x=200.答：要想赚8000元，售价应定为60元/个，进货400个；或售价定为80元/个，进货200个. 5.菜农小李种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，小李为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1−x)2=3.2.解得x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20%.∴平均每次下调的百分率为20%. (2)小华准备到小李处购买5吨该蔬菜，因数量多，小李决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)，方案二所需费用为：3.2×5000−200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠. 能力提升为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y(台)和销售单价x(万元)满足如图所示的一次函数关系．(1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？4028x/万元y/台O3260 (2)依题知(x−25)(−5x+200)=130，整理方程，得x2−65x+1026=0．解得x1=27，x2=38．∵此设备的销售单价不得高于35万元，∴x=38应舍去，则x=27．答：该设备的销售单价应是27万元．解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，依题意，得解得所以y与x的函数关系式为y=-5x+200． 平均变化率问题增长率问题a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量降低率问题a(1−x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意：降低率不可为负，且不大于1.营销问题常用公式：总利润=单件利润×销量=(售价−进价)×销量