21.3 第2课时 平均变化率与一元二次方程导学案

第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第2课时平均变化率问题与一元二次方程学习目标：1.学会建立数学模型以解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.重点：通过建立数学模型来解决增长率与降低率问题.难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.自主学习一、知识链接小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是75分，第二次月考增长了20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？课堂探究二、要点探究探究点1：平均变化率问题与一元二次方程探究归纳两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？注意：下降率不可为负，且不大于1.典例精析例1某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）例2为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率.注意：增长率不可为负，但可以超过1.问题你能总结出有关增长率和降低率问题的数量关系式吗？ 方法归纳：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”，降低取“－”).例3某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．探究点2：营销问题与一元二次方程合作探究填空：假设某种商品每件的成本为2元，售价为3元时，可卖100件.(1)此时的利润w=元；(2)若售价涨了1元，每件利润为元，同时少卖了10件，销售量为件，利润w=元；(3)若售价涨了2元，每件利润为元，同时少卖了20件，销售量为件，利润w=元；(4)若售价涨了3元，每件利润为元，同时少卖了30件，销售量为件，利润w=元；(5)若售价涨了x元，每件利润为元，同时少卖了件，销售量为件，利润w=元.想一想若想售卖这种商品获取利润300元，则每件商品应涨价多少元？变式训练假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？注意：题目中有限定条件时，要注意取舍.例4某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？变式训练增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 方法归纳：用一元二次方程解决营销问题的一般步骤1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润；2.根据利润=销量×单件利润列方程；3.解方程；4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍.5.作答.三、课堂小结平均变化率问题增长率问题a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.降低率问题a(1－x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意降低率不可为负，且不大于1.营销问题总利润=单件利润×销量=（售价－进价）×销量当堂检测1.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x，列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为8万元．若设该校今、明两年在实验器材投资上的年平均增长率是x，则可列方程为.3.某村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率.4.某超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？5.菜农小李种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，小李为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到小李处购买5吨该蔬菜，因数量多，小李决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 能力提升为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？参考答案自主学习知识链接75×（1+20%）（1+20%）=108（分），即小明第三次数学成绩是108分.课堂探究二、要点探究探究点1：平均变化率问题与一元二次方程探究解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元，于是有5000(1-x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后乙种药品成本为6000(1-y)元，两年后乙种药品成本为6000(1-y)2元，于是有6000(1-y)2=3600，解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.综上可知，甲、乙两种药品的下降率相同.典例精析例1解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得解这个方程，得（舍去），答：每次降价的百分率约为29.3%.例2解：设增长率为x，根据题意，得20（1+x）2=24.2.解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．答：增长率为10%.例3解：设这个增长率为x.根据题意，得200+200(1+x)+200(1+x)2=950.整理方程，得4x2+12x-7=0，这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5=50%． 答：这个增长率为50%.探究点2：营销问题与一元二次方程合作探究（1）100（2）290180（3）380240（4）470280（5）(1+x)10x(100-10x)(1+x)(100-10x)想一想解：设售价涨了x元，依题意得(1+x)(100-10x)=300，解得x1=4，x2=5.即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润.变式训练解：设售价涨了x元，依题意得(4+x)(100-5x)=640，解得x1=4，x2=12.∵售价不高于成本价的2.5倍，即x+12≤2.5×8.∴x≤8.∴x=4.即每千克糖应涨价4元.例4解：设每件衬衫降价x元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200，整理得x2-30x+200=0.解方程得x1=10，x2=20.答：每件衬衫应降价10元或20元.变式训练解：设每件衬衫降价x元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200，整理得，x2-30x+200=0.解方程得x1=10，x2=20.因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.答：每件衬衫应降价20元.当堂检测1.B2.2(1+x)+2(1+x)2=83.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得7200(1+x)2=8712，系数化为1得(1+x)2=1.21.直接开平方得，1+x=1.1，1+x=-1.1.则x1=0.1=10%，x2=-2.1(舍去).答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.4.解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则(500－10x)·[(50+x)－40]=8000，整理得x2－40x+300=0，解得x1=10，x2=30都符合题意.当x=10时，50+x=60，500－10x=400；当x=30时，50+x=80，500－10x=200.答：要想赚8000元，售价应定为60元/个，进货400个；或售价定为80元/个，进货200个.5.解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2=3.2，解得x1=20%，x2=1.8（舍去）∴平均每次下调的百分率为20%.（2）解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.能力提升解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，依题意得解得所以y与x的函数关系式为y=-5x+200．（2）依题知（x-25）（-5x+200）=130．整理方程，得x2-65x+1026=0．解得x1=27，x2=38．∵此设备的销售单价不得高于35万元，∴x2=38（舍），所以x=27．答：该设备的销售单价应是27万元．