21.2.1 第2课时 配方法课件

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第2课时配方法21.2.1配方法 复习引入(1)9x2=1；(2)(x－2)2=2.1.用直接开平方法解下列方程：2.你还记得完全平方公式吗？填一填：(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba−b解：解： 3.下列方程能用直接开平方法来解吗?(1)x2+6x+9=5；(2)x2+4x+1=0. 用配方法解方程探究交流解：方程变形为(x+3)2=5，试一试解方程：x2+6x+9=5.开平方，得解得将方程左边因式分解，得到完全平方式用直接开平方法解方程任何一元二次方程都可以通过配方法求解.那如何配方呢？ 填上适当的数或式，使下列各等式成立.（1）x2+4x+=(x+)2；（2）x2−6x+=(x−)2；（3）x2+8x+=(x+)2；（4）x2−x+=(x−)2.你发现了什么规律？222323424填一填对于二次项系数为1的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式. 填一填：x2+px+()2=(x+)2.把握二次项系数为1的完全平方式的特点：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结配方的关键 想一想怎样解方程x2+4x+1=0(I)？问题1能不能将方程(I)变成(x+n)2=p的形式呢？解：x2+4x+1=0x2+4x=−1移项x2+4x+4=−1+4两边都加上4为什么在方程x2+4x=−1的两边加上4？加其他的数，行吗？(x+2)2=3左边写成完全平方的形式 要点归纳像上面这样，通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方法的定义配方法解一元二次方程的基本思路把方程化为(x+n)2=p的形式，再运用直接开平方法降次，转化为两个一元一次方程求解． 例1解下列方程：分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法；(2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程；(3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方.典例精析 解：移项，得x2－8x=－1.配方，得x2－8x+42=－1+42，(x－4)2=15.直接开平方得即 配方，得直接开平方得二次项系数化为1，得解：移项，得2x2－3x=－1.即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换呢? 配方，得∵实数的平方不会是负数，∴x取任何实数时，上式都不成立．∴原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为1，得为什么方程两边都加12？即 练一练解下列方程：(1)x2+8x+4=0；(2)4x2+8x=-4；(3)-2x2+6x-8=0.解：移项，得x2+8x=－4.配方，得(x+4)2=12.开平方，得解得解：整理，得x2+2x+1=0.配方，得(x+1)2=0.开平方，得x+1=0.解得x1=x2=−1.解：整理，得x2−3x=−4.配方，得所以原方程无实数根. ①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=-n.③当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.（Ⅱ）方法总结 思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？移项时需注意改变符号.一移常数项，并将二次项系数化为1；二配完全平方式[配上]；三写成(x+n)2=p；四直接开平方法解方程. 例2试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2−4k＋5的值必定大于零.解：k2−4k＋5=k2−4k＋4＋1=(k−2)2＋1.因为(k−2)2≥0，所以(k−2)2＋1≥1＞0.所以k2−4k＋5的值必定大于零.典例精析配方法的应用 用配方法求最值.(1)2x2−4x+5的最小值；(2)−3x2+6x−7的最大值.练一练解：原式=2(x−1)2+3当x=1时，有最小值3.解：原式=−3(x−1)2－4当x=1时，有最大值−4.ax2+bx+c(a，b，c均为常数)型代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x+m)2+n的形式来解决.归纳 例3若a，b，c为△ABC的三边长，且试判断△ABC的形状.解：将原式配方，得所以，△ABC为直角三角形.由非负式的性质可知即∴ 归纳总结配方法的应用类别解题策略2.求最值或证代数式的值恒为正（或负）将关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2+n的形式后，由于(x+m)2≥0，故当a＞0时，可得其最小值为n；当a＜0时，可得其最大值为n.1.完全平方式中的求参如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，则一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方构成非负式的和的形式对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的值，可考虑配成多个完全平方式的和为0，再根据“非负式的和为0，各式均为0”去求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，即a2＋(b－2)2=0，则a=0，b=2. 1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.∴此方程无解.解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.∴x1=6，x2=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.∴x1=-3，x2=1. 2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.解：根据题意，得x2+1=2x+4.整理，得x2−2x=3.配方，得(x−1)2=4.解得x1=−1，x2=3. 3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式−x2−x−1的值总是负数，并求出它的最大值.解：−x2−x−1=−(x2+x+)+−1∴−x2−x−1的值总是负数.当时，−x2−x−1有最大值 4.若，求(xy)z的值.解：对原式配方，得由非负式的性质可知 5.已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足等式，试判断△ABC的形状.解：对原式左右同乘2，并配方得由非负式的性质可知∴△ABC为等边三角形. 配方法定义通过配完全平方式解一元二次方程的方法步骤应用求代数式的最值或字母值一移常数项，并将二次项系数化为1；二配完全平方式[配上]；三写成(x+n)2=p；四直接开平方法解方程.