21.2.1 第2课时 配方法导学案

第二十一章一元二次方程21.2.1配方法第2课时配方法学习目标：1.了解配方法的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.重点：掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.自主学习一、知识链接1.用直接开平方法解下列方程.(1)9x2=1(2)(x－2)2=2.2.你还记得完全平方公式吗？填一填：(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2－2ab+b2=()2.3.下列方程能用直接开平方法来解吗?(1)x2+6x+9=5；(2)x2+4x+1=0.课堂探究二、要点探究探究点1：用配方法解方程试一试解方程：x2+6x+9=5填一填1填上适当的数或式，使下列各等式成立.(1)x2+4x+=(x+)2；(2)x2－6x+=(x－)2；(3)x2+8x+=(x+)2；(4)x2－x+=(x－)2.你发现了什么规律？归纳总结：配方的关键是把握二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.填一填2x2+px+()2=(x+)2想一想怎样解方程x2+4x+1=0(I)？问题1方程(I)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？ 问题2为什么在方程x2+4x=－1的两边加上4？加其他数行吗？要点归纳：配方法的定义：像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方法解一元二次方程的基本思路：把方程化为(x+n)2=p的形式，再运用直接开平方法降次，转化为两个一元一次方程求解．典例精析例1解下列方程：(1)x2－8x+1=0；(2)2x2+1=3x；(3)3x2－6x+4=0.练一练解下列方程：(1)x2+8x+4=0；(2)4x2+8x=-4；(3)-2x2+6x-8=0.归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p（Ⅱ）.①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，；②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n；③当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.思考1用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？思考2用配方法解一元二次方程的一般步骤？探究点2：配方法的应用例2试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.练一练应用配方法求最值.(1)2x2－4x+5的最小值；(2)－3x2+6x-7的最大值.例3若a，b，c为△ABC的三边长，且，试判断△ABC的形状. 归纳总结：配方法的应用类别解题策略1.完全平方式中的求参如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.2.求最值或证明代数式的值恒为正(或负)对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.3.利用配方构成非负式的和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.三、课堂小结配方法的定义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.配方法的步骤一移常数项，并将二次项系数化为1；二配完全平方式[配上]；三写成(x+n)2=p；四直接开平方法解方程.配方法的应用求代数式的最值或字母值当堂检测1.解下列方程.（1）x2+4x－9=2x－11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2－6x－3=0；（4）3x2+6x－9=0.2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.4.若，求(xy)z的值.5.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2－ab－ac－bc=0，试判断△ABC的形状. 参考答案自主学习一、知识链接1.解：(1)(2)2.a+ba-b3.解：(1)可以，方程可以转化成(x+3)2=5的形式，再利用开平方法求解；(2)可以，方程可以转化成(x+2)2=3的形式，再利用开平方法求解.课堂探究二、要点探究探究点1：用配方法解方程试一试解：方程变形为(x+3)2=5.开平方，得，∴.填一填1(1)222(2)323(3)424(4)规律：对于二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方.填一填2问题1解：移项，得x2+4x=-1.两边都加上4，得x2+4x+4=-1+4.整理，得(x+2)2=3.问题2解：∵二次项系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方，∴方程两边同时加上4.加其他的数不行.典例精析例1解：(1)移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，即(x-4)2=15.直接开平方，得，∴.(2)移项，得2x2－3x=－1，二次项系数化为1，得，配方，得，即.直接开平方，得，∴.(3)移项，得3x2－6x=－4，二次项系数化为1，得，配方，得，即.因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．练一练解：(1)移项，得x2+8x=－4，配方，得x2+8x+42=－4+42，即(x+4)2=12.开平方，得，∴.(2)整理，得x2+2x+1=0，配方，得(x+1)2=0.开平方，得，∴.(3)整理，得x2-3x=－4，配方，得，∴原方程无实数根.思考1移项时需注意改变符号.思考2一移常数项且二次项系数化为1；二配成完全平方公式[配上]；三写成(x+n)2=p；四直接开平方法解方程. 探究点2：配方法的应用例2解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k－2)2＋1.因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.k2－4k＋5的值必定大于零.练一练(1)解：原式=2(x-1)2+3，当x=1时，有最小值3.(2)解：原式=-3(x-1)2-4，当x=1时，有最大值-4.例3解：将原式配方，得由非负式的性质可知所以，△ABC为直角三角形.当堂检测1.解：(1)此方程无解；(2)；(3)；(4)2.解：根据题意得x2+1=2x+4，整理得x2－2x－3=0，配方得(x－1)2=4，解得x1=－1，x2=3.3.解：－x2－x－1=－(x2+x+)+－1=－(x+)2－.∵－(x+)2≤0，∴－(x+)2－＜0.∴－x2－x－1的值总是负数.当x=－时，－x2－x－1有最大值－.4.解：对原式配方，得，由非负式的性质可知，∴∴5.解：对原式配方，得由非负式的性质可知所以，△ABC为等边三角形.