第三章圆3垂径定理课件（北师大版九下）

北师版·九年级下册3垂径定理 新课导入你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？37.4m7.2m 探究新知如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.CDABMO CDABMO连接OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， CD为⊙O的直径CD⊥AB条件CDABMO结论AM=BM CDABMO垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. CDABMO几何语言∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，∴AM=BM， 判断下列图形，能否使用垂径定理？CDABOCDEOCDABO定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦 如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.CDABMO CDABMOCD为⊙O的直径条件CD⊥ABAM=BM结论CD⊥AB 理由是：连接OA，OB，则OA=OB.在△OAM和△OBM中，∵OA=OB，AM=BM.∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠BMO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称，CDABMO∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， CDABMO平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（不是直径）垂径定理的逆定理 CDABMO几何语言∵CD为⊙O的直径，AM=BM，∴CD⊥AB， CDABMO还有如下正确结论：CD为直径CD⊥AB于MAM=BM 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论. 例如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点O是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.OEDCF OEDCF解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF=（R–90）m.∵OE⊥CD，∴在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+（R–90）2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m. 随堂练习1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）A.CM=DMB.C.∠ACD=∠ADCD.OM=MDD 2.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C.若AB=，OC=1，则半径OB的长为______.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.勾股定理12 3.赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？再逛赵州石拱桥 解：如图，OD=OC–DC=R–7.2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.72+（R–7.2）2解得R≈27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.AB=37.4，CD=7.2 4.如图所示，OC交AB于点D，AD=DB，AB=6cm，CD=1cm，求⊙O的半径长.解：设圆的半径为R，则OB=OC=R，∵AD=DB，∴OC⊥AB，根据勾股定理，得32+（R–1）2=R2，解得R=5cm.即⊙O的半径长为5cm. 5.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？圆心在平行弦外圆心在其中一条弦上圆心在平行弦内 若⊙O中弦AB∥CD.那么吗？为什么？MN解：理由是：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则，（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）. 课堂小结CDABMO 课后作业习题3.31、2、3、4