第三章圆3垂径定理教案（北师大版九下）

*3垂径定理【知识与技能】1.学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算和作图问题.2.掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用.【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法，渗透一般到特殊、特殊到一般的辩证关系.【情感态度】通过观察、操作、变换和研究的过程进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的运用数学的习惯和意识.通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力，促进学生创造思维水平的发展和提高.【教学重点】垂径定理的发现、记忆与证明；垂径定理的推论.【教学难点】垂径定理的运用，以及对推论的探究方法.一、情景导入，初步认知1.将手中的圆垂直于直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？2.—个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？3.赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？【教学说明】前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论.后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习.二、思考探究，获取新知1.垂径定理(思考）如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为E.(1)这个图形是轴对称图形吗？(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.(3)你能用一句话概括这些结论吗？(4)你能用几何方法证明这些结论吗？(5)你能用符号语言表达这个结论吗？【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.【教学说明】教师循序渐进地将一个个的问题拋出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理.4 2.垂径定理的推论AB是⊙O的一条弦（非直径），且AM=BM.过点M作直径CD.如图（1）是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？你能发现图中有哪些等量关系？与同伴说说你的想法和理由.我们发现图中有理由是：如图（2）连接OA,OB,则OA=OB.在△OAM和△OBM中，∵OA=OB,OM=OM,AM=BM∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠BMO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称,【归纳结论】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.还有如下正确结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【教学说明】根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.三、运用新知，深化理解1.见教材P74的例题.2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（)A.CM—DMB.4 C.∠ACD=∠ADCD.OM=MD解析：根据垂径定理得:CM=DM，，AC=AD，由AC=AD得∠ACD=∠ADC，而OM=MD不一定成立.答案：D.3.如图，AB是⊙O的弦，OC丄AB于C.若AB=2则半径OB的长为.解析：根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧”，可知，然后根据勾股定理，得.答案：24.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径.分析：利用垂径定理，解题过程中可以使用列方程的方法.解：如图，连接OC，设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m.∵OE丄CD，∴在Rt△OCF中，根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2解得R=545∴这段弯路的半径为545m.5.已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD.请证明：OA=OB解：证明：过O作OE丄AB于E，∵OE过圆心O，∴CE=DE，∵AC—BD，∴AE—BE，∵OE丄AB，∴OA=OB.4 【教学说明】简单应用由学生独立完成，教师可让学生自己进行评判.6.如图所示，OC交AB于点D，AD=DB,AB=6cm,CD=1cm，求⊙O的半径长.分析：根据垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧”.可知，OC⊥AB,此时便可用勾股定理，得解：设圆的半径为r，则OB=OC=r，∴32+（r-1）2=r2,解得r=5cm.即⊙O的半径长为5cm.【教学说明】简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.四、师生互动，课堂小结1.本节课你学到了哪些数学知识？2.垂径定理的推论有哪些？3.在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？4.从这些方法中你又用到了哪些数学思想？1.作业：教材“习题3.3”中第2、4题.2.判断：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.（2）平分弦的直线，必定过圆心.（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦.（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径.（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.3.完成练习册中本课时的练习.这节课我们主要学习了垂径定理及其推论（学生回答），它是这节课的重点，要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，引导学生应用垂径定理的证明方法来证明推论，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解，培养学生的思维能力.4