3.3 垂径定理课件

*3.3垂径定理第三章圆 问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？情境引入 ·OABDPC问题：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AP=BP弧:理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，和,与重合．垂径定理及其推论 ·OABDCP已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP，，证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP，∠AOC=∠BOC.从而∠AOD=∠BOD.想一想：能不能用所学过的知识证明你的结论？ 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.∵CD是直径，CD⊥AB，(条件)∴AP=BP，(结论)归纳总结推导格式： 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOEABDCOEABOCDEOABC 垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOC归纳总结ABODC 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索 DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E③AE=BE证明猜想④ 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE解：（1）连接AO，BO，则AO=BO.又∵AE=BE，∴∠AEO=∠BEO=90°.∴CD⊥AB.证明举例∴△AOE≌△BOE（SSS）（2）由垂径定理可得与相等吗？与相等吗？为什么？ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论·OABCD圆的两条直径是互相平分的.归纳总结特别说明： 垂径定理的本质是:满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16∴cm.典例精析垂径定理及其推论的计算 例2如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=x-2，根据勾股定理，得解得x=5.即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2， .MCDABON例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：＝证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直弦的直径平分弦所对的弧）∴ 试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用 ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23. 解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2∵ 例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF┗设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m. 如图a、b，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm针对训练 在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrdd+h=rOABC· 1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为cm.52.⊙O的直径AB=20cm，∠BAC=30°，则弦AC=cm. 3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB，∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形. 4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？理由：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD.O.ACDBE解：AC=BD 6.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为.14cm或2cm5.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为______． 7.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．解：由题意得，AB=6m，OE⊥AB于F，∴AF=AB=3m，∵设AB所在圆O的半径为r，且EF=2m，∴AO=r，OF=r-2，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=32+（r-2）2解得r=m．即AB所在圆O的半径为m． 拓展提升：如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围.3cm≤OP≤5cmBAOP 垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形圆心到弦的距离